Content

Motivation

One of the key problems in designing the pipelines and controlling the pipeline fluid transport is to predict the temperature and pressure losses during the stationary fluid transport.

Pipeline flow simulator is addressing this problem. It should account for the varying pipeline trajectory, gravity effects, fluid friction with pipeline walls and varying heat exchange with surrounding media.

Definition

Given

space coordinates are $\begin{array}{l}\{ x, \, y, \, z \}\end{array}$
inflow pipeline coordinates $\begin{array}{l}\{ x_s = 0, \, y_s = 0, \, z_s = 0 \}\end{array}$
pipeline trajectory $\begin{array}{l}\{ x_w(l), \, y_w(l), \, z_w(l) \}\end{array}$ , where $\begin{array}{l}l = \int_0^l \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} = \int_0^l \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2} dl\end{array}$ , is pipeline length from inflow point $\begin{array}{l}\{ x_s = 0, \, y_s = 0, \, z_s = 0 \}\end{array}$
pipeline cross-section area $\begin{array}{l}A(l)\end{array}$
inflow temperature $\begin{array}{l}T_s\end{array}$ , inflow pressure $\begin{array}{l}p_s\end{array}$ , inflow rate $\begin{array}{l}q_s\end{array}$
pvt properties of water $\begin{array}{l}\rho(T, p)\end{array}$ , $\begin{array}{l}\mu(T, p)\end{array}$
temperature $\begin{array}{l}T_g(l)\end{array}$ , thermal diffusivity $\begin{array}{l}a_e(l)\end{array}$ , thermal conductivity $\begin{array}{l}\lambda_e(l)\end{array}$ of surrounding media
heat exchange coefficient $\begin{array}{l}U(l)\end{array}$ based on pipeline schematics

Simulate

flow temperature $\begin{array}{l}T(t, l)\end{array}$ , pressure $\begin{array}{l}p(t, l)\end{array}$ and inflow rate $\begin{array}{l}T(t, l)\end{array}$ at any moment in time $\begin{array}{l}t\end{array}$ and any location of the pipleine trajectory $\begin{array}{l}l\end{array}$

В общем случае задача представляет собой систему уравнений на давление и температуру и решается численными методами, а по результатам рассчитывается профиль скорости и расхода воды.

Однако большое количество экспериментов позволило создать несколько эмпирических моделей на основе аналитических формул, которые для ряда приложений работают вполне удовлетворительно.

При больших дебитах скважины формула

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=RelaxationRamey could not be found.

предсказывает малое значение

$\begin{array}{l}R(t)\end{array}$ и следовательно в экспоненте формулы

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=Tf_Ramey could not be found.

можно удержать только линейный член разложения по

$\begin{array}{l}R(t)\end{array}$ :

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle T(t, l) \approx T_s + (T_{0e} - T_s) \, \frac{l}{R(t)} \ = \ T_s + \frac{1}{q_s} \frac{ 2 \pi \, a_e \, (T_{0e} - T_s) }{ T_D(t) + \frac{\lambda}{r_f \, U}}\end{array}$

откуда видно, что прогрев температуры по стволу скважины уменьшается с ростом дебита скважины $\begin{array}{l}q_s\end{array}$ , что соответствует практическим наблюдениям.

При малых дебитах скважины формула

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=RelaxationRamey could not be found.

предсказывает большое значение

$\begin{array}{l}R(t)\end{array}$ и следовательно экспонентой в формуле

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=Tf_Ramey could not be found.

можно пренебречь:

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle T(t, l) \approx T_s + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - q_s \, \frac{G_T \, \sin \theta}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg)\end{array}$

то есть поток воды прогревается породами до геотермической температуры, что соответствует практическим наблюдениям.

Также формула

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=T_D could not be found.

предсказывает логарифмический рост

$\begin{array}{l}T_D(t)\end{array}$ со временем:

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_D(t) = \ln ( 1.5 \sqrt{t_D} ) = 0.4055 + 0.5 \, \ln ( t_D )\end{array}$

и начиная с какого-то момента времени неминуемо достигается соотношение $\begin{array}{l}T_D(t) \gg \frac{\lambda}{r_f \, U}\end{array}$ , то есть температура в стволе скважины перестает зависеть от радиуса НКТ и значения коэффициента теплопередачи, что тоже соответствует практическим наблюдениям.

Таким образом, значение радиуса НКТ и коэффициента теплопередачи оказывает основное влияние на скорость прогрева потока воды на начальном участке времени после включения скважины.

На больших же временах скважины с разными конструкциями и разными коэффициентами теплопередачи имеют схожую динамику и распределение температуры по стволу, которая определяется только дебитом скважины, геотермой и температуропроводностью пород.

Таким образов формула

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=Tf_Ramey could not be found.

работает в широких пределах дебетов и имеет правильные асимптоты и вполне пригодна для различного рода оценок.

Расчет коэффициента теплопередачи

Для течения в обсадной колонне:

(4)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{1}{ r_{ti} \, U} = \frac{1}{r_c \, \alpha_{ci}} + \frac{1}{\lambda_c} \ln \frac{r_c}{r_{ci}} + \frac{1}{\lambda_{cem}} \ln \frac{r_w}{r_c}\end{array}$

где

$\begin{array}{l}r_w\end{array}$	радиус скважины по долоту
$\begin{array}{l}r_c\end{array}$	внешний радиус обсадной колонны
$\begin{array}{l}h_c\end{array}$	толщина стенок обсадной колонны
$\begin{array}{l}r_{ci}= r_c - h_c\end{array}$	внутренний радиус обсадной колонны
$\begin{array}{l}\lambda_c\end{array}$	теплопроводность материала обсадной колонны
$\begin{array}{l}\lambda_{cem}\end{array}$	теплопроводность цементного камня
$\begin{array}{l}\alpha_{ci}\end{array}$	коэффициент теплообмена между внутренней стенкой колонны и омывающей ее жидкости

Для течения в трубке НКТ:

(5)

$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{1}{ r_{ti} \, U} = \frac{1}{r_{ti} \, \alpha_{ti}} + \frac{1}{\lambda_t} \, \ln \frac{r_t}{r_{ti}} + \frac{1}{r_t \, \alpha_{to}} + \frac{1}{r_c \, \alpha_{ci}} + \frac{1}{\lambda_c} \ln \frac{r_c}{r_{ci}} + \frac{1}{\lambda_{cem}} \ln \frac{r_w}{r_c}\end{array}$

где

$\begin{array}{l}r_t\end{array}$	внешний радиус НКТ
$\begin{array}{l}h_t\end{array}$	олщина стенок НКТ
$\begin{array}{l}r_{ti} = r_t - h_t\end{array}$	внутренний радиус НКТ
$\begin{array}{l}\lambda_t\end{array}$	теплопроводность материала трубы НКТ
$\begin{array}{l}\alpha_{ti}\end{array}$	коэффициент теплообмена между внутренней стенкой НКТ и омывающей ее жидкости
$\begin{array}{l}\alpha_{to}\end{array}$	коэффициент теплообмена между внешней стенкой НКТ и омывающей ее жидкости затрудним пространстве

Коэффициенты теплообмена удобно выразить через безразмерные величины чисел Нюссельта:

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_{ti} = \frac{\lambda}{r_{ti}} \, {\rm Nu}_{ti}\end{array}$

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_{to} = \frac{\lambda_a}{r_{to}} \, {\rm Nu}_{to}\end{array}$

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_{ci} = \frac{\lambda_a}{r_{ci}} \, {\rm Nu}_{ci}\end{array}$

где

$\begin{array}{l}\lambda\end{array}$	теплопроводность закачиваемого флюида
$\begin{array}{l}\lambda_a\end{array}$	теплопроводность флюида в затрубном пространстве

Удобство такого представления заключается в том, что для чисел Нюссельта есть богатый набор универсальных феноменологических корреляций.

Для задачи теплобмена потока воды в трубах популярной является следующая корреляция:

$\begin{array}{l}{\rm Nu}=\frac{ (f/8) \, ({\rm Re} - 1000) {\rm Pr} }{ 1 + 12.7 \, (f/8)^{1/2} \, ({\rm Pr}^{2/3} -1) }\end{array}$	корреляция Гниелинского для теплообмена вынужденного турбулентного течения с внутренней стенкой трубы
$\begin{array}{l}{\rm Nu}=3.66\end{array}$	для ламинарного течения или неподвижного флюида (OEIS sequence A282581)

где $\begin{array}{l}\rm Pr\end{array}$ число Прандтля, представляющее собой безразмерную величину отношения кинематической вязкости флюида к его температуропроводности: