Content

Motivation

For the single-phase flow the transient models do a fair job for practical needs.

Definition

Модель водяного потока по стволу скважины описывает распределение давления $\begin{array}{l}p(l)\end{array}$ , температуры $\begin{array}{l}T(l)\end{array}$ и скорости потока воды $\begin{array}{l}v(l)\end{array}$ по стволу скважины $\begin{array}{l}l\end{array}$ при заданных значениях:

tubing head pressure $\begin{array}{l}p_s\end{array}$ controlled by the choke and master pump
temperature $\begin{array}{l}T_s\end{array}$ of injected fluid
расхода на устье $\begin{array}{l}q_s\end{array}$
конструкции скважины (последовательность концентрических труб, изоляций, цементного камня, наполения затрубного пространства, шероховатости стенок труб)

и с учетом:

траектории скважины
гравитационных сил
трения флюида о стенки скважины
теплообмена между флюидом и окружающей средой

Модель записывается для водонагнетательной скважины, но может быть использована и для добывающих водяных скважин.

В общем случае задача представляет собой систему уравнений на давление и температуру и решается численными методами, а по результатам рассчитывается профиль скорости и расхода воды.

Однако большое количество экспериментов позволило создать несколько эмпирических моделей на основе аналитических формул, которые для ряда приложений работают вполне удовлетворительно.

При больших дебитах скважины формула

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=RelaxationRamey could not be found.

предсказывает малое значение

$\begin{array}{l}R(t)\end{array}$ и следовательно в экспоненте формулы

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=Tf_Ramey could not be found.

можно удержать только линейный член разложения по

$\begin{array}{l}R(t)\end{array}$ :

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle T(t, l) \approx T_s + (T_{0e} - T_s) \, \frac{l}{R(t)} \ = \ T_s + \frac{1}{q_s} \frac{ 2 \pi \, a_e \, (T_{0e} - T_s) }{ T_D(t) + \frac{\lambda}{r_f \, U}}\end{array}$

откуда видно, что прогрев температуры по стволу скважины уменьшается с ростом дебита скважины $\begin{array}{l}q_s\end{array}$ , что соответствует практическим наблюдениям.

При малых дебитах скважины формула

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=RelaxationRamey could not be found.

предсказывает большое значение

$\begin{array}{l}R(t)\end{array}$ и следовательно экспонентой в формуле

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=Tf_Ramey could not be found.

можно пренебречь:

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle T(t, l) \approx T_s + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - q_s \, \frac{G_T \, \sin \theta}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg)\end{array}$

то есть поток воды прогревается породами до геотермической температуры, что соответствует практическим наблюдениям.

Также формула

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=T_D could not be found.

предсказывает логарифмический рост

$\begin{array}{l}T_D(t)\end{array}$ со временем:

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_D(t) = \ln ( 1.5 \sqrt{t_D} ) = 0.4055 + 0.5 \, \ln ( t_D )\end{array}$

и начиная с какого-то момента времени неминуемо достигается соотношение $\begin{array}{l}T_D(t) \gg \frac{\lambda}{r_f \, U}\end{array}$ , то есть температура в стволе скважины перестает зависеть от радиуса НКТ и значения коэффициента теплопередачи, что тоже соответствует практическим наблюдениям.

Таким образом, значение радиуса НКТ и коэффициента теплопередачи оказывает основное влияние на скорость прогрева потока воды на начальном участке времени после включения скважины.

На больших же временах скважины с разными конструкциями и разными коэффициентами теплопередачи имеют схожую динамику и распределение температуры по стволу, которая определяется только дебитом скважины, геотермой и температуропроводностью пород.

Таким образов формула

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Math Block with anchor=Tf_Ramey could not be found.

работает в широких пределах дебетов и имеет правильные асимптоты и вполне пригодна для различного рода оценок.

Расчет коэффициента теплопередачи

Для течения в обсадной колонне:

(4)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{1}{ r_{ti} \, U} = \frac{1}{r_c \, \alpha_{ci}} + \frac{1}{\lambda_c} \ln \frac{r_c}{r_{ci}} + \frac{1}{\lambda_{cem}} \ln \frac{r_w}{r_c}\end{array}$

где

$\begin{array}{l}r_w\end{array}$	радиус скважины по долоту
$\begin{array}{l}r_c\end{array}$	внешний радиус обсадной колонны
$\begin{array}{l}h_c\end{array}$	толщина стенок обсадной колонны
$\begin{array}{l}r_{ci}= r_c - h_c\end{array}$	внутренний радиус обсадной колонны
$\begin{array}{l}\lambda_c\end{array}$	теплопроводность материала обсадной колонны
$\begin{array}{l}\lambda_{cem}\end{array}$	теплопроводность цементного камня
$\begin{array}{l}\alpha_{ci}\end{array}$	коэффициент теплообмена между внутренней стенкой колонны и омывающей ее жидкости

Для течения в трубке НКТ:

(5)

$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{1}{ r_{ti} \, U} = \frac{1}{r_{ti} \, \alpha_{ti}} + \frac{1}{\lambda_t} \, \ln \frac{r_t}{r_{ti}} + \frac{1}{r_t \, \alpha_{to}} + \frac{1}{r_c \, \alpha_{ci}} + \frac{1}{\lambda_c} \ln \frac{r_c}{r_{ci}} + \frac{1}{\lambda_{cem}} \ln \frac{r_w}{r_c}\end{array}$

где

$\begin{array}{l}r_t\end{array}$	внешний радиус НКТ
$\begin{array}{l}h_t\end{array}$	олщина стенок НКТ
$\begin{array}{l}r_{ti} = r_t - h_t\end{array}$	внутренний радиус НКТ
$\begin{array}{l}\lambda_t\end{array}$	теплопроводность материала трубы НКТ
$\begin{array}{l}\alpha_{ti}\end{array}$	коэффициент теплообмена между внутренней стенкой НКТ и омывающей ее жидкости
$\begin{array}{l}\alpha_{to}\end{array}$	коэффициент теплообмена между внешней стенкой НКТ и омывающей ее жидкости затрудним пространстве

Коэффициенты теплообмена удобно выразить через безразмерные величины чисел Нюссельта:

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_{ti} = \frac{\lambda}{r_{ti}} \, {\rm Nu}_{ti}\end{array}$

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_{to} = \frac{\lambda_a}{r_{to}} \, {\rm Nu}_{to}\end{array}$

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_{ci} = \frac{\lambda_a}{r_{ci}} \, {\rm Nu}_{ci}\end{array}$

где

$\begin{array}{l}\lambda\end{array}$	теплопроводность закачиваемого флюида
$\begin{array}{l}\lambda_a\end{array}$	теплопроводность флюида в затрубном пространстве

Удобство такого представления заключается в том, что для чисел Нюссельта есть богатый набор универсальных феноменологических корреляций.

Для задачи теплобмена потока воды в трубах популярной является следующая корреляция:

$\begin{array}{l}{\rm Nu}=\frac{ (f/8) \, ({\rm Re} - 1000) {\rm Pr} }{ 1 + 12.7 \, (f/8)^{1/2} \, ({\rm Pr}^{2/3} -1) }\end{array}$	корреляция Гниелинского для теплообмена вынужденного турбулентного течения с внутренней стенкой трубы
$\begin{array}{l}{\rm Nu}=3.66\end{array}$	для ламинарного течения или неподвижного флюида (OEIS sequence A282581)

где $\begin{array}{l}\rm Pr\end{array}$ число Прандтля, представляющее собой безразмерную величину отношения кинематической вязкости флюида к его температуропроводности: