Содержание

Геотермическое поле земли

Геотермическое распределение температуры $\begin{array}{l}T_g(x,y,z)\end{array}$ в массиве пород данного региона являестя стационарным и определяется региональным тепловым потоком из недр земли, условием теплообмена на поверхности и теплопроводностью пород.

В отсутствии латерального теплового потока и сильной анизотропии теплопроводности, это распределение может быть записано через вертикальный геотермический градиент, следующим образом (см. вывод):

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_g(x,y,z) = T_{ref}(x,y) + \int_{z_{ref}}^z G_T(x,y,z) dz\end{array}$

где

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle G_T(z) =\frac{d T_g}{d z}= \frac{j_z}{\lambda_e}\end{array}$

вертикальная проекция регионального геотермического градиента

$\begin{array}{l}j_z(x,y)\end{array}$

распределение вертикальной проекции регионального теплового потока из недр Земли на заданной глубине $\begin{array}{l}z\end{array}$ (обычно $\begin{array}{l}j_e = 25 \div 55 \ mW/m^2\end{array}$ )

$\begin{array}{l}\lambda_e( x,y,z)\end{array}$

профиль теплопроводности в массиве горных пород

$\begin{array}{l}z_{ref}(x,y)\end{array}$

опорная глубина, для которой известна стационарная температура пород

$\begin{array}{l}T_{ref}(x,y) = T_g(x,y,z_{ref})\end{array}$

значение опорной температуры

Общий подход к моделированию геотермического поля

В общем случае, геотермическое распределение температуры $\begin{array}{l}T_g(x,y,z)\end{array}$ в массиве пород данного региона является решением стационарного уравнения теплопроводности:

(3)	$\begin{array}{l}\displaystyle \nabla {\bf j} = 0 \quad \rightarrow \quad \partial_{\alpha} \, j_{\alpha} = 0\end{array}$

где

(4)	$\begin{array}{l}\displaystyle j_{\alpha} = \lambda_{\, \alpha \beta} \: \partial_{\beta} T_g\end{array}$

плотность теплового потока Земли

$\begin{array}{l}\hat \lambda = \lambda_{\, \alpha \, \beta}\end{array}$

тензор теплопроводности

Как правило, теплопроводность имеет небольшую анизотропию вдоль и поперек горизонта залегания и в главных осях имеет вид:

(5)	$\begin{array}{l}\hat \lambda= \begin{pmatrix} \lambda_{\perp} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{\perp} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{\|\|} \end{pmatrix}\end{array}$

где

$\begin{array}{l}\lambda_{\perp}\end{array}$	теплопроводность пород вдоль горизонта залегания
$\begin{array}{l}\lambda_{\|\|}\end{array}$	теплопроводность пород перпендикулярно горизонту залегания

При анализе небольших по площади участков (десятки километров) можно пренебречь влиянием латерального теплового потока и анизотропией тензора теплопроводности и тогда, геотермическое распределение температуры в регионе можно записать как

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle \partial j_z = 0\end{array}$

откуда

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle \lambda_z(x,y,z) \, \partial_z \, T_g = j_z(x,y)\end{array}$

где $\begin{array}{l}j_z(x,y)\end{array}$ региональное распределение вертикально компоненты плотности теплового потока Земли.

Интегрируя уравнение (7) получим уравнение (1).

Условия теплообмена на поверхности задаются опорной глубиной и температурой.

Понятие опорной глубины и температуры связано с тем, что верхний слой грунта не является стационарным во времени и подвержен дневным и сезонным колебаниям температуры, вызванным переменным влиянием солнца и атмосферных явлений.

Как правило, эти влияния проникают не глубже 20 – 30 м.

Эта отметка $\begin{array}{l}z_{n_0}(x,y)\end{array}$ называется глубиной залегания нейтрального слоя, а его температура $\begin{array}{l}T_{n_0} = T_g(x,y,z_{n_0})\end{array}$ называется температурой нейтрального слоя.

Именно ее и выбирают в качестве опорной для расчета температурного поля ниже опорной отметки.

Нейтральный слой

Математическая модель температуры грунта на произвольной глубине $\begin{array}{l}z\end{array}$ и в произвольный момент времени $\begin{array}{l}t\end{array}$ , от момента начала цикла температурных колебаний, может быть решена численно.

Однако полезность этих расчетов на коротких временах (сутки и даже месяцы) ограничивается спонтанностью входящих в модель параметров:

волатильность степени солнечного потока в данном регионе в зависимости от облачности и степени поглощения/отражения поверхности земли
волатильности атмосферных явлений (ветер и осадки)
волатильности активности грунтовых вод

Для практических целей моделирования температуры пород выше нейтрального слоя вполне достаточно феноменологической корреляции [Kasuda, 2965]:

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle T(t, z) = T_{srf} + \frac{j_z}{\lambda_e} (z-z_{srf}) + T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{srf}-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg] \, \cos \bigg[ \, 2 \pi \frac{t - t_{min}}{\delta_T} + (z_{srf} -z) \sqrt {\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg]\end{array}$

где

$\begin{array}{l}z_{srf}\end{array}$	абсолютная отметка поверхности земли (обычно полагается $\begin{array}{l}z_{ref} =0\end{array}$ )
$\begin{array}{l}T_{srf}\end{array}$	средняя температура пород на поверхности (обычно по метеосводкам региона)
$\begin{array}{l}T_A\end{array}$	среднее значение амплитуды циклических колебаний на поверхности земли (обычно по метеосводкам региона)
$\begin{array}{l}\delta_T\end{array}$	период циклических колебаний температуры (обычно $\begin{array}{l}\delta t = 1 \, {\rm год}\end{array}$ )
$\begin{array}{l}t_{min}\end{array}$	смещение от начала цикла при котором отклонение температуры от среднего $\begin{array}{l}T_{ref}\end{array}$ минимально
$\begin{array}{l}a_e = \frac{\lambda_e}{\rho_e \, c_e}\end{array}$	температуропроводность грунта
$\begin{array}{l}\rho_e\end{array}$	плотность грунта
$\begin{array}{l}\mathrm{c_e}\end{array}$	удельная объемная теплоемкость грунта при постоянном давлении

Волатильность теплообмена с атмосферой зашифрована в параметры $\begin{array}{l}T_{srf}\end{array}$ и $\begin{array}{l}T_A\end{array}$ и определяется по региональным метеосводкам.

Формула (8) применима как к сезонным, так и дневным колебаниям температуры, но с учетом вышесказанных оговорок о волатильности параметров теплообмена на коротких временах наблюдений.

По этой же формуле можно оценить глубину залегания нейтрального слоя (по пороговому значению погрешности температурных измерений):

(9)	$\begin{array}{l}\displaystyle z_{n_0} = z_{srf} + \sqrt{\frac{a_e \, \delta_T }{\pi}} \, \ln \frac{T_A }{\delta T_{err} }\end{array}$

где

$\begin{array}{l}\delta T_{err}\end{array}$

измерительная погрешность термометра (обычно $\begin{array}{l}\delta T_{err} = 0.1 \, ^\circ \rm C\end{array}$ )

Вывод формулы глубины залегания нейтрального слоя

Для вывода формулы (9) запишем значение максимальной и минимальной температуры по формуле (8) в зависимости от момента времени на хронологической шкале цикла:

(10)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_{max} = T_{srf} + \frac{j_z}{\lambda_e} (z-z_{ref}) + T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{ref}-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg]\end{array}$

(11)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_{min} = T_{srf} + \frac{j_z}{\lambda_e} (z-z_{ref}) - T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{srf}-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg]\end{array}$

откуда получается размах температурных колебаний на глубине $\begin{array}{l}z\end{array}$ :

(12)	$\begin{array}{l}\displaystyle \delta T_{max} = T_{max} - T_{min} = 2 T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{srf}-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg]\end{array}$

Если метрологическая погрешность термометра составляет $\begin{array}{l}\delta T_{err}\end{array}$ , то он в состоянии зарегистровать колебания свыше $\begin{array}{l}\delta T_{max} = 2 \, \delta T_{err}\end{array}$ то есть:

(13)	$\begin{array}{l}\displaystyle \delta T_{err} = T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{srf}-z_0}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg]\end{array}$

откуда и вытекает формула (9).

Геотерма скважины

Геотермическое распределение температуры $\begin{array}{l}T_g(l)\end{array}$ вдоль траектории данной скважины называется геотермой данной скважины и являестя как функцией геотермического поля региона, так и траектории данной скважины и задается следующей моделью:

(14)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_g(l) = T_{n_0}(x,y) + \int_{z_{n_0}}^{z(l)} G_T(x,y,z) dz = T_{n_0}(x,y) + \int_{l_{n_0}}^l G_T(x,y,z(l)) \sin \theta dl\end{array}$

где

$\begin{array}{l}l_{n_0} = l(z_{n_0})\end{array}$

отметка нейтрального слоя вдоль траектории скважины

(обычно $\begin{array}{l}l_{n_0} = z_{n_0}\end{array}$ так как начальные участки скважин не имеют сильного отклонения от вертикали)

В регионах, где нейтральный слой остается постоянным по площади $\begin{array}{l}T_{n_0}(x,y) = T_{n_0}= \rm const\end{array}$ , а геотермический градиент остается постоянным по площади по глубине $\begin{array}{l}G_T(x,y,z) = G_T = \rm const\end{array}$ , геотермическое распределение температуры в породах принимает простой вид:

(15)	$\begin{array}{l}\displaystyle T_g(l) = T_{n_0} + (z(l) - z_{n_0}) \, G_T \, \sin \theta(l)\end{array}$

Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле (15) может привести к значительным погрешностям.

Наиболее популярные причины отклонения геотермического профиля от (15) являются:

большой контраст теплопроводности по горизонтам
латеральные потоки флюида (как секулярные так и возникшие в процессе разработки месторождений)
близкое расположение активного разлома

к котором следует еще добавить техногенные явления в процессе геотермических исследований:

действующие перетоки в исследуемой скважине
недостаточный срок стабилизации температуры после останова скважины для геотермических исследований

Наиболее популярными причинами дрейфа геотермы или е отдельных участков по площади являются:

переменный по площади профиль теплопроводности пластов (вызванный особенностями распределения фаций и вертикальными разломами)
вертикальные перетоки в разломах и скважинах
переменный тепловой поток Земли вызванный конвективными ячейками в мантии
переменные условия теплообмена на поверхности земли (например суша-вода)

Ссылки

Kasuda, T., and Archenbach, P.R. "Earth Temperature and Thermal Diffusivity at Selected Stations in the United States", ASHRAE Transactions, Vol. 71, Part 1, 1965.

Page tree

GTM – Geothermal Modelling

Геотермическое поле земли

Нейтральный слой

Геотерма скважины

Ссылки