Здесь представлены уравнения фильтрации модели летучей нефти (Volatile Oil) .

Уравнения движения модели нелетучей нефти (Black Oil) являются частным случаем модели летучей нефти (Volatile Oil) при R v =0  Rv=0.

Уравнение движения

Уравнения термогидродинамического движения "Летучей Нефти"  в матрично-поровом коллекторе имеют следующий вид:

Расшифровка обозначений приведена в  Списке динамических величин и параметров модели.

Уравнения  (1) –  (3) представляют собой уравнения непрерывности каждой компоненты флюида, то есть выражают закон сохранения массы каждой компоненты $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ m_W, \ m_O, \ m_G \}\end{array} //]]>$ в процессе ее перемещения в пространстве.

Уравнения  (4) –  (6) представляют собой уравнения переноса каждой фазы, то есть выражают связь между скоростью потока фазы $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\bar u_\alpha\end{array} //]]>$ и градиентом давления этой фазы $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\bar \nabla P_\alpha\end{array} //]]>$ (в данной модели это линейный закон Дарси с учетом действия гравитации и эффекта фазовой проницаемости).

Уравнения  (7) –  (8) представляют собой условие гидродинамического равновесия фаз, выражающегося в виде связи между давлениями разных фаз $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_\alpha\end{array} //]]>$, возникающее на их границе за счет капиллярных сил в поровом коллекторе $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{cow}, \ P_{cog}\end{array} //]]>$ (в отсутствии капиллярных сил гидродинамическое равновесие фаз сводится к простому равенству давлений всех фаз). При этом делается допущение, что на границе нефть-вода капиллярное давление зависит только от водонасыщенности $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{cow} = P_{cow}(s_w)\end{array} //]]>$, а на границе нефть-газ капиллярное давление зависит только от газонасыщенности $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{cog} = P_{cog}(s_g)\end{array} //]]>$.

Уравнения  (9)  представляет собой связь между удельными поровыми объемами (насыщенностями) фаз $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ s_w, s_o, s_g \}\end{array} //]]>$.

Уравнение  (10)   представляет собой уравнение непрерывности переноса тепловой энергии, то есть выражает закон сохранения тепловой энергии за счет кондуктивного и конвективного теплопереносов с учетом адибатического и дроссельного (Джоуль-Томсона) эффектов.

В зонах отсутствия коллектора ( $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\phi =0, \; \bar u_\alpha = 0\end{array} //]]>$) перенос тепла сводится в кондуктивному теплопереносу:

Эффективная удельная  массовая теплоемкость пласта, насыщенного мультифазным флюидом, рассчитывается по следующей формуле:

Эффективная теплопроводность пласта, насыщенного мультифазным флюидом, рассчитывается по следующей формуле:

Компонента  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \ \bar \nabla T\end{array} //]]>$ описывает конвективный перенос тепла, то есть перенос тепла вместе с движущейся массой флюида.

Компонента  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \epsilon_\alpha \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \bar \nabla P\end{array} //]]>$  описывает тепловой эффект (нагревание или охлаждение) от дросселирования мультифазного флюида сквозь поровую среду (эффект Джоуля-Томсона). Этот эффект наиболее сильно проявляется в легких нефтях и газах.

Компонента  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\ \phi \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \eta_{s \alpha} \ \frac{\partial P_\alpha}{\partial t}\end{array} //]]>$ описывает тепловой эффект (нагревание или охлаждение) от адиабатического изменения давления мультифазного флюида. Этот эффект обычно наблюдается при быстрых сменах режима работы скважины и незначителен при моделировании квази-стационарных процессов переноса флюида в пласте и, как правило, не учитывается в задачах адаптации истории добычи скважин.

Система  (1) –  (10) представляет собой 16 скалярных уравнений на 16 неизвестных величины: 

$//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ T, \ P_w, \ P_o, \ P_g, \ s_w, \ s_o, \ s_g, \ u_w^x, \ u_w^y, \ u_w^z, \ u_o^x, \ u_o^y, \ u_o^z, \ u_g^x, \ u_g^y, \ u_g^z \}\end{array} //]]>$,

которые являются функциями времени и координат  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}(t, \mathbf{r}) = (t,x,y,z)\end{array} //]]>$.

Выражая молярные плотности через массовые доли и плотности фаз (см. "Модель Летучей Нефти"), получаем:

Подставляя значения плотностей и массовых долей компонент  (см. "Модель Летучей Нефти") и разделив каждое уравнение на плотность соотвествующей компоненты в стандартных условиях, получаем наиболее популярную форму записи уравнений движения Летучей Нефти:

В уравнениях  (23) –  (25) правые части равны нулю во всем объеме пласта за исключением контакта скважин с пластом, который описывается моделью скважины (см. ниже).

Начальное условие

Начальное условие по температуре задается распределением температурного поля:

Начальное условие на давления, скоростей и насыщенности задается одним из двух вариантов.

Условие I  – Стационарный старт

Стационарный старт означает, что до начального момента времени поле давлений $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ P_w, \ P_o, \ P_g \}\end{array} //]]>$ , скоростей $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ \mathbf{u}_w, \ \mathbf{u}_o, \ \mathbf{u}_g \}\end{array} //]]>$  и насыщенностей $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ s_w, \ s_o, \ s_g, \}\end{array} //]]>$ находилось в стационарном (не меняющемся во времени) состоянии, соответствующем гидродинамическому равновесию:

Условие II – Нестационарный старт

Нестационарный старт означает, что к начальному моменту времени поле насыщенностей $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ s_w, \ s_o, \ s_g, \}\end{array} //]]>$ является произвольным, с условием

поле давлений $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ P_w, \ P_o, \ P_g \}\end{array} //]]>$ является произвольным с условием

При этом начальное поле скоростей $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\{ \vec u_w, \ \vec u_o, \ \vec u_g \}\end{array} //]]>$ автоматически рассчитывается по следующим формулам:

На практике, нестационарное начальное поле давлений, скоростей и насыщенностей является, как правило, результатом промежуточных расчетов этой же модели, либо более крупной модели.

Краевое условие на внешней границе

Краевое условие на температурное поле на внешней границе задается одним из двух вариантов

Термодинамическое Условие I  – Фиксированная температура 

Термодинамическое Условие II  – Фиксированный теплообмен

где  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\zeta\end{array} //]]>$  – коэффициент теплообмена на границе резервуара.

Краевое условие на поле давления, скоростей  насыщенности на внешней границе задается одним из двух вариантов

Гидродинамическое Условие I  – Непроницаемая граница  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\Gamma_e\end{array} //]]>$

где   $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\mathbf{n}\end{array} //]]>$ – вектор нормали к границе  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\Gamma_e\end{array} //]]>$ и  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\alpha = \{ w, o, g \}\end{array} //]]>$.

Гидродинамическое Условие II – Постоянное давление на границе  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\Gamma_e\end{array} //]]>$

где   $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\alpha = \{ w, o, g \}\end{array} //]]>$.

Краевое условие на разломах

Моделирование скважины

Модель притока (или закачки) на каждой скважине связывает объемы добычи (закачки) каждой фазы и перепад давления в пласте и на забое скважины и задается следующей формулой:

где  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}\Gamma_{WRC}\end{array} //]]>$ – линия контакта скважины и порового коллектора.

Забойное давление $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{wf}(t) \big|_{\Gamma_{WFC}} = P_{wf}(t,h)\end{array} //]]>$ напротив точки контакта скважины и пласта (на глубине  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}h\end{array} //]]>$)   определяется по одному из трех популярных на практике условий:

• Условие   I – Контроль по забойному давлению
• Условие  II – Контроль по жидкости
• Условие III – Контроль по нефти

Условие I   – Контроль по забойному давлению

Это условие предполагает, что в каждый момент времени известно опорное забойное давление $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{wf} (t, h_{ref})\end{array} //]]>$ на глубине $//<![CDATA[ \begin{array}{l}h_{ref}\end{array} //]]>$ , а забойное давление в каждой точке контакта скважины и пласта  рассчитывается по формуле:

где  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{\delta}(t, \delta h)\end{array} //]]>$ – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины.

При адаптации модели к промысловым данным это условие выполняется для

• нагнетательных скважин, чьи забойные давления пересчитываются по 
  • показаниям устьевых манометров с учетом потерь на трение в стволе скважины
  • по известному давлению на выходе КНС с учетом потерь на трение в стволе скважины и наземных трубопроводах
• для добывающих скважин с мониторингом забойного давления по 
  • глубинным манометрам 
  • эхолотам 
• для добывающих скважин с низким забойным давлением (когда уровень находится вблизи точки подвеса насоса или газлифтного клапана).

При прогнозных расчетах это условие выполняется для

• нагнетательных скважин, чьи режимы закачки определяются давлением на КНС с учетом потерь на трение в стволе скважины и наземных трубопроводах
• для добывающих скважин с низким забойным давлением (когда уровень находится вблизи точки подвеса насоса или газлифтного клапана).

При этом для фонтанной, газлифтной и насосной эксплуатации скважин с забойным давлением выше критического это условие не является физичным и необходимо прогнозировать работу скважины согласно Условию II.

Условие II  – Контроль по жидкости

Это условие предполагает, что известна добыча жидкости на сепараторе каждой скважины  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}q_L(t)\end{array} //]]>$ и изменение забойного давления на каждой скважине  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{wf} (t)\end{array} //]]>$ рассчитывается по формуле:

где  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{\delta}(t, \delta h)\end{array} //]]>$ – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины,

а опорное давление на глубине $//<![CDATA[ \begin{array}{l}h_{ref}\end{array} //]]>$  определяется по следующей формуле:

которая обеспечивает устьевой дебит по жидкости в размере $//<![CDATA[ \begin{array}{l}q_L(t)\end{array} //]]>$:

Если пользователь ввел ограничение на минимальное забойное давление  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{wf}^{ \ min}\end{array} //]]>$ (определяемое например, глубиной спуска насоса или газлифтного клапана), то при достижении  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{wf}(t) = P_{wf}^{ \ min}\end{array} //]]>$ скважина автоматически переходит в режим постоянного давления: 

которое будет сопровождаться изменением дебита всех фаз согласно

Этот режим соотвествует работе насоса с пониженным КПД и в случае если условия на границе контакта поменяются (например, в процессе подъема пластового давления) и потенциал забойного давления согласно  (54) поднимется выше  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{wf}^{min}\end{array} //]]>$, то скважина опять перейдет в режим работы с заданным дебитом  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}q_L(t)\end{array} //]]>$.

При адаптации модели к промысловым данным это условие выполняется для всех типов добывающих и нагнетательных скважин, для которых отборы известны точно (что, кстати, далеко не всегда имеет место быть на практике).

При прогнозных расчетах это условие выполняется для

• нагнетательных и добывающих скважин, чьи режимы работы определяются диаметром штуцером
• для добывающих скважин с высоким забойным давлением (когда уровень находится выше точки подвеса насоса или газлифтного клапана).

При этом для скважин с низким забойным давлением это условие не является физичным и необходимо прогнозировать работу скважины согласно Условию I.

Условие III – Контроль по нефти

Это условие предполагает, что добыча воды и газа неизвестна (или известна неточно) и забойное давление добывающей скважины  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{wf}(t,h)\end{array} //]]>$ в каждый момент времени определяется только значениями устьевых отборов нефти $//<![CDATA[ \begin{array}{l}q_O(t)\end{array} //]]>$ (которые, как правило, известны точно) по следующей формуле:

где  – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины,

а опорное давление на глубине  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}h_{ref}\end{array} //]]>$  определяется по следующей формуле:

которая обеспечивает устьевой дебит по жидкости в размере  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}q_O(t)\end{array} //]]>$:

Если пользователь ввел ограничение на минимальное забойное давление  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{wf}^{ \ min}\end{array} //]]>$ (определяемое например, глубиной спуска насоса или газлифтного клапана), то при достижении  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{wf}(t) = P_{wf}^{ \ min}\end{array} //]]>$ скважина автоматически переходит в режим постоянного давления

которое будет сопровождаться изменением дебита по нефти согласно  (60).

Этот режим соотвествует работе насоса с пониженным КПД и в случае если условия на границе контакта поменяются (например, в процессе подъема пластового давления) и потенциал забойного давления согласно  (58) поднимется выше  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}P_{wf}^{min}\end{array} //]]>$, то скважина опять перейдет в режим работы с заданным дебитом  $//<![CDATA[ \begin{array}{l}q_O(t)\end{array} //]]>$.

Условие III по своему определению накладывается только на добывающие скважины и выполняется для всех типов добывающих скважин, для которых отборы нефти известны точно (что наиболее часто встречается на практике).

При этом условие на нагнетательных скважинах не оговорено и может быть как I-ого так и II-ого типа в зависимости от реализации системы ППД.

При прогнозных расчетах условие III использоваться не может в силу своей нефизичности, за исключением случая безводной эксплуатации недонасыщенной нефти, в котором это условие становится физичным и эквивалетным Условию II (контроль по жидкости). 

На практике Условие III рекомендуется накладывать для первичной настройки модели (настройки ее базовых параметров) и потом рекомендуется переключать контроль на Условие I или Условие II в зависимости от промысловых условий эксплуатации скважин.

Список динамических величин и параметров модели