Построение модели мультифазной диффузии давления

Для модели движения летучей нефти в пласте (Модель фильтрации Летучей (Volatile Oil) и Нелетучей (Black Oil):23) – (Модель фильтрации Летучей (Volatile Oil) и Нелетучей (Black Oil):31) положим температуру постоянной во времени и раскроем производные по времени:

(1)	$\begin{array}{l}\displaystyle T(t, \mathbf{r} ) = T = const\end{array}$

и раскроем производные по времени:

(2)	$\begin{array}{l}\displaystyle s_w \partial_t \bigg ( \frac{\phi}{B_w} \bigg ) + \frac{\phi}{B_w} \partial_t s_w + \nabla \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = q_W(\mathbf{r})\end{array}$

(3)

$\begin{array}{l}\displaystyle s_o \partial_t \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg ) + s_g \partial_t \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g} \bigg ) + \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o + \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g} \bigg ) \partial_t s_g + \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o + \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = q_O(\mathbf{r})\end{array}$

(4)

$\begin{array}{l}\displaystyle s_g \partial_t \bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg ) + s_o \partial_t \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg ) + \bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg ) \partial_t s_g + \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o + \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g + \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = q_G(\mathbf{r})\end{array}$

(5)	$\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf{u}_w = - \alpha_w \ ( \nabla P_w - \rho_w \ \mathbf{g} )\end{array}$

(6)	$\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf{u}_o = - \alpha_o \ ( \nabla P_o - \rho_o \ \mathbf{g} )\end{array}$

(7)	$\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf{u}_g = - \alpha_g \ ( \nabla P_g - \rho_g \ \mathbf{g} )\end{array}$

(8)	$\begin{array}{l}\displaystyle P_o - P_w = P_{cow}(s_w)\end{array}$

(9)	$\begin{array}{l}\displaystyle P_o - P_g = P_{cog}(s_g)\end{array}$

(10)	$\begin{array}{l}\displaystyle s_w + s_o + s_g = 1\end{array}$

где

(11)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_w = k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w}\end{array}$

(12)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_o = k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o}\end{array}$

(13)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha_g = k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g}\end{array}$

Учитывая, что пористость и PVT параметры явно не зависят от времени, но являются функциями от текущего давления компоненты в данной точке пласта:

(14)	$\begin{array}{l}\displaystyle s_w \bigg ( \frac{\phi}{B_w}\bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_w + \frac{\phi}{B_w} \partial_t s_w + \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = q_W(\mathbf{r})\end{array}$

(15)

$\begin{array}{l}\displaystyle s_o \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_o + s_g \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g} \bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_g + \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o + \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g} \bigg ) \partial_t s_g + \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o + \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = q_O(\mathbf{r})\end{array}$

(16)

$\begin{array}{l}\displaystyle s_g \bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_g + s_o \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_o + \bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg ) \partial_t s_g + \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o + \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g + \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = q_G(\mathbf{r})\end{array}$

где точка означает производную по давлению

(17)	$\begin{array}{l}\displaystyle \bigg ( \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{d}{dP} \bigg ( \bigg )\end{array}$

Прямое вычисление дает:

(18)	$\begin{array}{l}\displaystyle \bigg ( \frac{\phi}{B_w} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_w} (c_r + c_w)\end{array}$

(19)	$\begin{array}{l}\displaystyle \bigg ( \frac{\phi \ R_v}{B_g} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_g} ( \dot R_v + (c_r + c_g) \ R_v)\end{array}$

(20)	$\begin{array}{l}\displaystyle \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_o} (c_r + c_o)\end{array}$

(21)	$\begin{array}{l}\displaystyle \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_o} (\dot R_s + (c_r + c_o) \ R_v)\end{array}$

(22)	$\begin{array}{l}\displaystyle \bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_g} (c_r + c_g)\end{array}$

и соответственно

(23)	$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\phi}{B_w} s_w (c_r + c_w) \ \partial_t P_w + \frac{\phi}{B_w} \partial_t s_w + \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = q_W(\mathbf{r})\end{array}$

(24)

$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\phi}{B_o} s_o (c_r + c_o) \ \partial_t P_o + \frac{\phi }{B_g} s_g \big( \dot R_v + (c_r + c_w) R_v \big) \ \partial_t P_g + \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o + \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g} \bigg ) \partial_t s_g + \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o + \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = q_O(\mathbf{r})\end{array}$

(25)

$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\phi}{B_g} s_g (c_r + c_g) \ \partial_t P_g + \frac{\phi}{B_o} s_o \big( \dot R_s + (c_r + c_o) R_s \big) \ \partial_t P_o + \bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg ) \partial_t s_g + \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o + \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g + \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = q_G(\mathbf{r})\end{array}$

Домножая обе части всех уравнений непрерывности на соотвествующий объемный коэффициент, получим:

(26)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big] \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w + B_w \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = B_w \ q_W(\mathbf{r})\end{array}$

(27)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o + \phi \big[ \frac{B_o \ \dot R_v}{B_g} s_g + \frac{B_o R_v}{B_g} (c_r s_g + c_g s_g) \big] \partial_t P_g + \phi \partial_t s_o + \big( \frac{\phi B_o R_v }{B_g} \big) \partial_t s_g + B_o \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o + \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = B_o \ q_O(\mathbf{r})\end{array}$

(28)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g + \phi \big[ \frac{B_g \ \dot R_s}{B_o} s_o + \frac{B_g R_s}{B_o} (c_r s_o + c_o s_o) \big] \partial_t P_o + \phi \partial_t s_g + \big( \frac{\phi B_g R_s}{B_o} \big) \partial_t s_o + B_g \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g + \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = B_g \ q_G(\mathbf{r})\end{array}$

Учтем, что

(29)	$\begin{array}{l}\displaystyle B_w \ q_W = q_w \, - \, \textrm{объемный дебит водяной компоненты в пластовых условиях}\end{array}$

(30)	$\begin{array}{l}\displaystyle B_o \ q_O = B_o \bigg( \frac{q_o}{B_o} + \frac{R_v q_g}{B_g} \bigg) = q_o + \frac{R_v B_o}{B_g} q_g \, - \, \textrm{объемный дебит нефтяной компоненты в пластовых условиях}\end{array}$

(31)	$\begin{array}{l}\displaystyle B_g \ q_G = B_g \bigg( \frac{q_g}{B_g} + \frac{R_s q_o}{B_o} \bigg) = q_g + \frac{R_s B_g}{B_o} q_o \, - \, \textrm{объемный дебит газовой компоненты в пластовых условиях}\end{array}$

и следовательно:

(32)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big] \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w + B_w \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = q_w(\mathbf{r})\end{array}$

(33)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o + \phi \big[ \frac{B_o \ \dot R_v}{B_g} s_g + \frac{B_o R_v}{B_g} (c_r s_g + c_g s_g) \big] \partial_t P_g + \phi \partial_t s_o + \big( \frac{\phi B_o R_v }{B_g} \big) \partial_t s_g + B_o \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o + \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = \bigg( q_o(\mathbf{r}) + \frac{R_v B_o}{B_g} q_g(\mathbf{r}) \bigg)\end{array}$

(34)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g + \phi \big[ \frac{B_g \ \dot R_s}{B_o} s_o + \frac{B_g R_s}{B_o} (c_r s_o + c_o s_o) \big] \partial_t P_o + \phi \partial_t s_g + \big( \frac{\phi B_g R_s}{B_o} \big) \partial_t s_o + B_g \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g + \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = \bigg( q_g(\mathbf{r}) + \frac{R_s B_g}{B_o} q_o(\mathbf{r}) \bigg)\end{array}$

Введем обозначение для нормированных коэффициентов межфазового обмена и их производных по давлению:

(35)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{vn} = \frac{B_o R_v}{B_g}\end{array}$

(36)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{sn} = \frac{B_g R_s}{B_o}\end{array}$

(37)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{vp} = \frac{B_o \dot R_v}{B_g}\end{array}$

(38)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{sp} = \frac{B_g \dot R_s}{B_o}\end{array}$

и уравнения непрерывности принимают вид:

(39)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi s_w ( c_r + c_w ) \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w + B_w \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = q_w(\mathbf{r})\end{array}$

(40)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi s_o (c_r + c_o ) \partial_t P_o + \phi s_g \big( R_{vp} + R_{vn} (c_r + c_g) \big) \partial_t P_g + \phi \partial_t s_o + \phi R_{vn} \partial_t s_g + B_o \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o + \frac{R_{vn}}{B_o} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = \big( q_o(\mathbf{r}) + R_{vn} q_g(\mathbf{r}) \big)\end{array}$

(41)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi s_g ( c_r + c_g ) \partial_t P_g + \phi s_o \big( R_{sp} + R_{sn} (c_r + c_o ) \big) \partial_t P_o + \phi \partial_t s_g + \phi R_{sn} \partial_t s_o + B_g \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g + \frac{R_{sn}}{B_g} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = \big( q_g(\mathbf{r}) + R_{sn} q_o(\mathbf{r}) \big)\end{array}$

Введем допущение о том, что распределение объемных коэффициентов всех фаз медленно меняется по объему пласта

(что хорошо выполняется, так как объемные коэффициенты представляют собой более медленные функции, чем само давление):

(42)	$\begin{array}{l}\displaystyle \| \nabla B_w \| \sim 0 \ , \quad \| \nabla B_o \| \sim 0 \ , \quad \| \nabla B_g \| \sim 0\end{array}$

и можно считать объемный коэффициент локально постоянным и внести его под знак градиента:

(43)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big] \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w + \nabla \mathbf{u}_w = q_w\end{array}$

(44)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o + \phi \big[ \frac{B_o}{B_g} \dot R_v s_g + \frac{B_o R_v}{B_g} (c_r s_g + c_g s_g) \big] \partial_t P_g + \phi \partial_t s_o + \big( \frac{\phi \ B_o \ R_v }{B_g} \big) \partial_t s_g + \nabla \bigg ( \mathbf{u}_o + \frac{B_o \ R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = \bigg( q_o + \frac{R_v B_o}{B_g} q_g \bigg)\end{array}$

(45)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g + \phi \big[ \frac{B_g}{B_o} \dot R_s s_o + \frac{B_g R_s}{B_o} (c_r s_o + c_o s_o) \big] \partial_t P_o + \phi \partial_t s_g + \big( \frac{\phi \ B_g \ R_s}{B_o} \big) \partial_t s_o + \nabla \bigg ( \mathbf{u}_g + \frac{B_g \ R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = \bigg( q_g + \frac{R_s B_g}{B_o} q_o \bigg)\end{array}$

откуда

(46)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big] \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w + \nabla \mathbf{u}_w = q_w\end{array}$

(47)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o + \phi \big[ R_{vp} s_g + R_{vn} (c_r s_g + c_g s_g) \big] \partial_t P_g + \phi ( \partial_t s_o + R_{vn} \partial_t s_g ) + \nabla \bigg ( \mathbf{u}_o + R_{vn} \mathbf{u}_g \bigg ) = ( q_o + R_{vn} q_g )\end{array}$

(48)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g + \phi \big[ R_{sp} s_o + R_{sn} (c_r s_o + c_o s_o) \big] \partial_t P_o + \phi ( \partial_t s_g + R_{sn} \partial_t s_o ) + \nabla \bigg ( \mathbf{u}_g + R_{sn} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = ( q_g + R_{sn} q_o )\end{array}$

Подставим в вышеприведенные уравнения непрерывности выражения для скоростей каждой компоненты (5) – (7):

(49)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big] \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w - \nabla \big( \alpha_w ( \nabla P_w - \rho_w \mathbf{g} ) \big) = q_w(\mathbf{r})\end{array}$

(50)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o + \phi \big[ R_{vp} s_g + R_{vn} (c_r s_g + c_g s_g) \big] \partial_t P_g + \phi ( \partial_t s_o + R_{vn} \partial_t s_g ) - \ \nabla \bigg ( \alpha _o ( \nabla P_o - \rho_o \mathbf{g}) + R_{vn} \alpha_g ( \nabla P_g -\rho_g \mathbf{g} ) \bigg ) = ( q_o + R_{vn} q_g )\end{array}$

(51)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g + \phi \big[ R_{sp} s_o + R_{sn} (c_r s_o + c_o s_o) \big] \partial_t P_o + \phi ( \partial_t s_g + R_{sn} \partial_t s_o ) - \nabla \bigg ( \alpha_g ( \nabla P_g - \rho_g \mathbf{g}) + R_{sn} \alpha_o ( \nabla P_o - \rho_o \mathbf{g} ) \bigg ) = ( q_g + R_{sn} q_o )\end{array}$

Введем понятие среднего давления по всем фазам:

(52)	$\begin{array}{l}\displaystyle P = \frac{1}{3} ( P_w + P_o + P_g)\end{array}$

через которое однозначно выражается давление каждой фазы:

(53)	$\begin{array}{l}\displaystyle P_w = P +\frac{1}{3} (-2 P_{cow} + P_{cog})\end{array}$

(54)	$\begin{array}{l}\displaystyle P_o = P +\frac{1}{3} (P_{cow} + P_{cog})\end{array}$

(55)	$\begin{array}{l}\displaystyle P_g = P +\frac{1}{3} (P_{cow} - 2 P_{cog})\end{array}$

и предположим, что в течение исследуемого процесса насыщенности меняются так слабо, что изменением капиллярного давления во времени и пространстве можно пренебречь:

(56)	$\begin{array}{l}\displaystyle \partial_t P_{cow}(s) \sim 0 \quad \partial_t P_{cog}(s) \sim 0 \quad \| \nabla P_{cow}(s) \| \sim 0 \quad \| \nabla P_{cog}(s) \| \sim 0\end{array}$

и следовательно производные по времени и пространственные градиенты фазовых давлений определяются средне-фазовым давлением

(57)	$\begin{array}{l}\displaystyle \partial_t P_w = \partial_t P_o = \partial_t P_g = \partial_t P\end{array}$

(58)	$\begin{array}{l}\displaystyle \nabla P_w = \nabla P_o = \nabla P_g = \nabla P\end{array}$

а уравнения непрерывности примут вид:

(59)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big] \partial_t P + \phi \partial_t s_w - \nabla \big( \alpha_w ( \nabla P - \rho_w \mathbf{g} ) \big) = q_w\end{array}$

(60)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P + \phi \big[ R_{vp} s_g + R_{vn} (c_r s_g + c_g s_g) \big] \partial_t P + \phi ( \partial_t s_o + R_{vn} \partial_t s_g ) - \nabla \big( \alpha _o ( \nabla P - \rho_o \mathbf{g}) + R_{vn} \alpha_g ( \nabla P -\rho_g \mathbf{g} ) \big) = ( q_o + R_{vn} q_g )\end{array}$

(61)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P + \phi \big[ R_{sp} s_o + R_{sn} (c_r s_o + c_o s_o) \big] \partial_t P + \phi ( \partial_t s_g + R_{sn} \partial_t s_o ) - \nabla \big( \alpha_g (\nabla P - \rho_g \mathbf{g}) + R_{sn} \alpha_o ( \nabla P - \rho_o \mathbf{g}) \big) = ( q_g + R_{sn} q_o )\end{array}$

или

(62)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big] \partial_t P + \phi \partial_t s_w - \nabla \big( \alpha_w \nabla P \big) + \nabla ( \alpha_w \rho_w \mathbf{g} ) = q_w\end{array}$

(63)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_o + c_o s_o + R_{vp} s_g + R_{vn} (c_r s_g + c_g s_g) \big] \partial_t P + \phi ( \partial_t s_o + R_{vn} \partial_t s_g ) - \nabla \big( (\alpha _o + R_{vn} \alpha_g) \nabla P \big) + \nabla ( \alpha_o \rho_o \mathbf{g} + R_{vn} \alpha_g \rho_g \mathbf{g} ) = ( q_o + R_{vn} q_g )\end{array}$

(64)

$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r s_g + c_g s_g + R_{sp} s_o + R_{sn} (c_r s_o + c_o s_o) \big] \partial_t P + \phi ( \partial_t s_g + R_{sn} \partial_t s_o ) - \nabla \big( (\alpha_g + R_{sn} \alpha_o) \nabla P \big) + \nabla ( \alpha_g \rho_g \mathbf{g} + R_{sn} \alpha_o \rho_o \mathbf{g} ) = ( q_g + R_{sn} q_o )\end{array}$

В вышеприведенных уравнениях разные коэффициенты при производных зависят от фазовых давлений, например: $\begin{array}{l}c_w = c_w(P_w)\end{array}$ , $\begin{array}{l}c_o = c_o(P_o)\end{array}$ , $\begin{array}{l}c_g = c_g(P_g)\end{array}$ .

Но в силу слабой зависимости этих коэффициентов от давления в целом, можно пренебречь капиллярным различием в аргументах и считать, что все коэффициенты зависят от средне-фазового давления, например: $\begin{array}{l}c_w = c_w(P)\end{array}$ , $\begin{array}{l}c_o = c_o(P)\end{array}$ , $\begin{array}{l}c_g = c_g(P)\end{array}$ , хотя это конечно приводит к небольшой потере точности в расчетах.

Сложим все три уравнения и учтем, что $\begin{array}{l}s_w + s_o + s_g = 1\end{array}$ :

(65)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi \big[ c_r (1 + R_{sn} s_o + R_{vn} s_g) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g (1 + R_{vn}) + R_{sp} s_o + R_{vp} s_g \big] \partial_t P + \phi R_{vn} \partial_t s_g + \phi R_{sn} \partial_t s_o \, -\end{array}$

$\begin{array}{l}\displaystyle - \, \nabla \big ( ( \alpha_w + \alpha_o (1+ R_{sn}) + \alpha_g (1 + R_{vn}) ) \nabla P \big ) + \nabla (\alpha_w \rho_w \mathbf{g} + \alpha_o \rho_o \mathbf{g} + R_{vn} \alpha_g \rho_g \mathbf{g} + \alpha_g \rho_g \mathbf{g} + R_{sn} \alpha_o \rho_o \mathbf{g} ) \, = \, q_w + ( q_o + R_{vn} q_g ) + ( q_g + R_{sn} q_o )\end{array}$

Введем обозначения:

(66)	$\begin{array}{l}\displaystyle c_t = c_r (1 + R_{sn} s_o + R_{vn} s_g) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g (1 + R_{vn}) + R_{sp} s_o + R_{vp} s_g\end{array}$

для эффективной сжимаемости мультифазного пласта

(67)	$\begin{array}{l}\displaystyle \alpha = \alpha_w + \alpha_o (1+ R_{sn}) + \alpha_g (1 + R_{vn})\end{array}$

для эффективной проводимости пласта, насыщенного мультифазным флюидом

(68)	$\begin{array}{l}\displaystyle \rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} \rho_g (1+R_{vn}) }{ \alpha_{rw} + \alpha_{ro} (1 + R_{sn}) + \alpha_{rg} (1+R_{vn}) }\end{array}$

для эффективной плотности мультифазного флюида

(69)	$\begin{array}{l}\displaystyle q_t = q_w + q_o (1+R_{sn}) + q_g (1 + R_{vn}) = = B_w \, q_W + \frac{B_o - R_s B_g}{1 - R_v R_s} \, q_O + \frac{B_g - R_v B_o}{1 - R_v R_s} \, q_G\end{array}$

для суммарного объемного дебита источника мультифазного флюида в данной точке (пластопересечение скважины)

и получим следующее уравнение, связывающее динамику среднефазового давления в пласте с динамикой насыщенности во времени:

(70)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi c_t \partial_t P + \phi R_{vn} \partial_t s_g + \phi R_{sn} \partial_t s_o - \nabla \big ( \alpha ( \nabla P - \rho_{\alpha} \mathbf{g} ) \big ) = q_t\end{array}$

В предположении малости нормированных коэффициентов межфазового обмена и слабого изменения насыщенности во времени:

(71)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{vn} \partial_t s_g \sim 0, \quad R_{sn} \partial_t s_o \sim 0\end{array}$

мы приходим к следующему уравнению мультифазной диффузии давления в пласте:

(72)	$\begin{array}{l}\displaystyle \phi c_t \partial_t P - \nabla \big ( \alpha ( \nabla P - \rho_{\alpha} \mathbf{g} ) \big ) = q_t\end{array}$

что соответствует

Error rendering macro 'mathblock-ref' : Page Модель мультифазной диффузии could not be found.

, которое внешне совпадает с уравнением однофазной фильтрации и называется уравнением мультифазной пьезодинамики.

Напомним, что это уравнение имеет смысл только при соблюдении следующих условий:

(73)	$\begin{array}{l}\displaystyle \| \nabla B_w \| \sim 0 \ , \quad \| \nabla B_o \| \sim 0 \ , \quad \| \nabla B_g \| \sim 0\end{array}$

(74)	$\begin{array}{l}\displaystyle R_{vn} \partial_t s_g \sim 0, \quad R_{sn} \partial_t s_o \sim 0\end{array}$

(75)	$\begin{array}{l}\displaystyle \partial_t P_{cow}(s) \sim 0 \quad \partial_t P_{cog}(s) \sim 0\end{array}$

(76)	$\begin{array}{l}\displaystyle \| \nabla P_{cow}(s) \| \sim 0 \quad \| \nabla P_{cog}(s) \| \sim 0\end{array}$

При условии незначительного изменения температуры и насыщенности в пласте за время наблюдения, условия (73), (74), (75) и (76) практически всегда выполняются в основной массе пласта, что позволяет анализировать давление мультифазного потока согласно (72) и получать весьма аккуратное приближение по средне-фазовому давлению к решению полной системы (Модель фильтрации Летучей (Volatile Oil) и Нелетучей (Black Oil):23) – (Модель фильтрации Летучей (Volatile Oil) и Нелетучей (Black Oil):31).

Page tree

Построение модели мультифазной диффузии давления