| Panel |
|---|
| borderColor | wheat |
|---|
| bgColor | mintcream |
|---|
| borderWidth | 7 |
|---|
|
Table. 1. Notations and Definitions |
| 1 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\delta A_%7Byz%7D=\delta y\delta z |
|---|
|
| площадь боковой грани элементарной ячейки |
| 2 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \delta V = \delta x \delta y \delta z |
|---|
|
| объем элементарной ячейки |
| 4 | | плотность флюила |
| 5 | | пористость породы |
| 6 | | давление флюида |
| 7 | | масса флюида |
| 8 | | проницаемость породы |
| 9 | | взякость флюида |
| 10 | | гидропроводность пласта |
| 11 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\vec%7Bj%7D = \rho \vec%7Bu%7D |
|---|
|
, | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle j_%7B\delta A%7D = \frac%7B\delta m%7D%7B\delta t \delta A%7D |
|---|
|
| векторное поле, характеризующее скорость движения флюида в пространстве. |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\vec %7Bu%7D |
|---|
|
| линейная скорость потока | | 12 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle c_%7Br%7D = \frac%7B1%7D%7B\Phi%7D\frac%7B\partial \Phi%7D%7B\partial p%7D |
|---|
|
| сжимаемость породы (скелета) |
| 13 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle c_%7Bf%7D = \frac%7B1%7D%7B\rho%7D \frac%7B\partial \rho%7D%7B\partial p%7D |
|---|
|
| сжимаемость флюида |
| 14 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--c_%7Bt%7D = c_%7Br%7D + c_%7Bf%7D |
|---|
|
| полная сжимаемость |
Consider the Cartesian coordinates in 3D space:
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--ℝ%5e3 \Big %7C_%7B \%7Bx, y, z \%7D %7D |
|---|
|
and its infinitesimal volumetric element: | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\delta \Omega = \%7B (x, x+\delta), (y, y+\delta y), (z, z+\delta z) \%7D \in ℝ%5e3 |
|---|
|
with volume | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \delta V = \delta x \, \delta y \, \delta z |
|---|
|
bounded by six faces: | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\%7B (\delta \Sigma_x, \, \delta \Sigma_%7Bx+\delta x%7D), \, (\delta \Sigma_y, \, \delta \Sigma_%7By+\delta y%7D), \, (\delta \Sigma_z, \, \delta \Sigma_%7Bz+\delta z%7D) \%7D |
|---|
|
which have the same area along corresponding axis:| LaTeX Math Block |
|---|
|
\delta A(\delta \Sigma_x) = \delta A(\Sigma_{x+\delta x }) = \delta A_{yz} = \delta y \cdot \delta z |
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\delta A(\delta \Sigma_y) = \delta A(\Sigma_{y+\delta y }) = \delta A_{xz} = \delta x \cdot \delta z |
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\delta A(\delta \Sigma_z) = \delta A(\Sigma_{z+\delta z }) = \delta A_{xy} = \delta x \cdot \delta y |
Consider the volumetric element is filled with porous media with porosity saturated by fluid with density .
The pore volume is going to be | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\delta V_%7B\phi%7D = \phi \cdot \delta V |
|---|
|
and the fluid mass contained in this volume is | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\delta m = \rho \cdot \delta V_%7B\phi%7D = \rho \cdot \phi \cdot \delta V |
|---|
|
.
The mass flowrate through any face
with area is defined as:| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dm}{dt} \Big|_{\delta \Sigma} = {\bf j} \, {\bf \delta A} |
where
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--%7B\bf \delta A%7D = \delta A \cdot %7B\bf n%7D |
|---|
|
| vector area |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--%7B\bf n%7D |
|---|
|
| normal vector to elementary area |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--%7B\bf j%7D = \rho \cdot %7B\bf u%7D |
|---|
|
| mass flux vector |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--%7B\bf u%7D |
|---|
|
| fluid flow velocity |
The total mass balance of the volumetric element honours the mass conservation:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dm}{dt} \Big|_{\delta \Omega} = \sum_{\alpha} j_{\alpha}A_{\alpha} + \delta \dot m_q |
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dm}{dt} \Big|_{\delta \Omega} =
j_x|_{x}\cdot \delta A_{yz} - j_x|_{x+\delta x}\cdot \delta A_{yz} +j_y|_{y}\cdot \delta A_{xz} - j_y|_{y+\delta y}\cdot \delta A_{xz} +
j_z|_{z}\cdot \delta A_{xy} - j_z|_{z+\delta z}\cdot \delta A_{xy} + \delta \dot m_q |
where
| the rate of the mass variation which happens inside the volumetric element |
Dividing the
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
by the volume :| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dm}{dt \, \delta V} \Big|_{\delta \Omega} = \frac {\partial (\rho \, \phi)}{\partial t} = \frac{j_x|_x - j_x|_{x+\delta x}}{\delta x} + \frac{j_y|_y - j_y|_{y+\delta y}}{\delta y} + \frac{j_z|_z - j_z|_{z+\delta z}}{\delta z} + \frac{\delta \dot m_q}{\delta V} |
or in differential form:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} = - \nabla \, {\bf j} + \frac{\delta \dot m_q}{\delta V} |
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | prelast |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} + \nabla \, {\bf j} = \frac{\delta \dot m_q}{\delta V} |
The mass rate generated/consumed inside the volumetric element by a finite number of sources can be expressed as:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{\delta \dot m_q}{\delta V} = \sum_k q({\bf r}) \cdot \delta({\bf r}-{\bf r}_k) |
where
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--q(%7B\bf r%7D) |
|---|
|
| distribution of volumetric rates of the sources/stocks |
which turns
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
into:| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{\partial (\rho \phi)}{\partial t} + \nabla \, {\bf j} = \sum_k q({\bf r}) \cdot \delta({\bf r}-{\bf r}_k) |
1 | 2 | | 3 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \frac%7Bdm%7D%7Bdt%7D = \sum_%7B\alpha%7D j_%7B\alpha%7DA_%7B\alpha%7D = j_x%7C_%7Bx%7D\cdot A_%7Byz%7D - j_x%7C_%7Bx+\delta x%7D\cdot A_%7Byz%7D + ... |
|---|
|
| Consider the mass flow rate balance along the Рассмотрим приращение массы в элементарном кубе объема . Предполагаем, что в самой ячейке нет источников, знак минус появляется за счет того, что нормали к противоположным граням кубика противонаправлены. |
| 4 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \frac %7B\partial%7D%7B\partial t%7D%7B\rho \Phi%7D = \frac%7Bj_x%7C_x - j_x%7C_%7Bx+\delta x%7D%7D%7B\delta x%7D + \frac%7Bj_y%7C_y - j_y%7C_%7By+\delta y%7D%7D%7B\delta y%7D + \frac%7Bj_z%7C_z - j_z%7C_%7Bz+\delta z%7D%7D%7B\delta z%7D |
|---|
|
| Разделим ур-ние (1) на объем ячейки |
| 5 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial%7D%7B\partial t%7D(\rho \Phi) = - \nabla \cdot \vec j |
|---|
|
| Ур-ние (2) есть развернутая форма записи ур-ния (3) |
| 6 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial%7D%7B\partial t%7D(\rho \Phi) + \nabla \cdot \vec j = 0 |
|---|
|
| Классическое уравнение непрерывности |
| 7 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial%7D%7B\partial t%7D(\rho \Phi) + \nabla \cdot (\rho \vec u) = 0 |
|---|
|
| Вспоминаем определение (4) поля | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\vec%7Bj%7D |
|---|
|
|
| 8 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \vec u = -\frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec \nabla p |
|---|
|
| Феноменологический закон Дарси, связывающий скорость потока с градиентом давления |
| 9 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial%7D%7B\partial t%7D(\rho \Phi) - \nabla \cdot \left( \rho \frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec \nabla p \right) = 0 |
|---|
|
| Подставляем ур-ние (6) в ур-ние (5) |
| 10 | Здесь и далее работаем в приближении - процесс изотермический
- плотность флюида и пористость породы не зависят от времени явно
|
| 11 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial%7D%7B\partial t%7D (\rho \Phi) = \frac%7B\partial%7D%7B\partial p%7D (\rho \Phi)_T \frac%7B\partial p%7D%7B\partial t%7D = (\dot %7B\Phi%7D \rho + \dot %7B\rho%7D \Phi)\frac%7B\partial p%7D%7B\partial t%7D = \rho \Phi (c_%7Br%7D + c_%7Bf%7D)\frac%7B\partial p%7D%7B\partial t%7D |
|---|
|
| Распишем временную производную в ур-нии (7) |
| 12 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \nabla \cdot \left( \rho \frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec%7B\nabla%7D p \right) =\frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec%7B\nabla%7D\rho \cdot \vec%7B\nabla%7Dp + \rho \cdot \nabla \cdot \left( \frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec%7B\nabla%7Dp \right) |
|---|
|
| Распишем дивергенцию ур-ния (7) |
| 13 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \nabla \cdot \left(\rho \frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec%7B\nabla%7D p \right) =\dot%7B\rho%7D\frac%7Bk%7D%7B\mu%7D (\vec%7B\nabla%7Dp)%5e2 + \rho \cdot \nabla \cdot \left( \frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec%7B\nabla%7Dp \right) |
|---|
|
| В ур-нии (9) вспоминаем, что плотность флюида явно зависит только от давления, соответственно градиент плотности представляет через градиент давления |
| 14 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \rho \Phi c_%7Bt%7D \frac%7B\partial p%7D%7B\partial t%7D =\rho \left(\nabla \cdot \left( \frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec%7B\nabla%7Dp \right) + c_%7Bf%7D\frac%7Bk%7D%7B\mu%7D (\vec%7B\nabla%7Dp)%5e2 \right) |
|---|
|
| Перепишем ур-ние (7), используя конечные соотношения в (10) и (8), и определения для | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--c_%7Bt%7D |
|---|
|
(6) и | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--c_%7Bf%7D |
|---|
|
(7) |
15 | | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \Phi(p) c_%7Bt%7D(p) \frac%7B\partial p%7D%7B\partial t%7D =\nabla \cdot \left( \frac%7Bk(p)%7D%7B\mu (p)%7D \vec%7B\nabla%7Dp \right) + c_%7Bf%7D(p)\frac%7Bk(p)%7D%7B\mu (p)%7D (\vec%7B\nabla%7Dp)%5e2 |
|---|
|
| Классическая запись уравнения диффузии в приближении изотермического процесса и независимости от времени плотности флюида и пористости породы.
Правая часть уравнения представляет собой сумму двух частей. Первая отвечает за пространственное распределение давления, вторая же содержит множителем сжимаемость флюида.Derivation of Single-phase pressure diffusion @model
