Page History

...

Expand

title	Derivation

Panel

borderColor	wheat
bgColor	mintcream
borderWidth	7

Table. 1. Notations and Definitions

1

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\delta A_%7Byz%7D=\delta y\delta z

площадь боковой грани элементарной ячейки

2

LaTeX Math Inline

body	\delta V = \delta x \delta y \delta z

объем элементарной ячейки

4

LaTeX Math Inline

body	\rho

плотность флюила

5

LaTeX Math Inline

body	\phi

пористость породы

6

LaTeX Math Inline

body	p

давление флюида

7

LaTeX Math Inline

body	m

масса флюида

8

LaTeX Math Inline

body	k

проницаемость породы

9

LaTeX Math Inline

body	\mu

взякость флюида

10

LaTeX Math Inline

body	\sigma

гидропроводность пласта

11

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\vec%7Bj%7D = \rho \vec%7Bu%7D

,

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle j_%7B\delta A%7D = \frac%7B\delta m%7D%7B\delta t \delta A%7D

векторное поле, характеризующее скорость движения флюида в пространстве.

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\vec %7Bu%7D

линейная скорость потока

12

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle c_%7Br%7D = \frac%7B1%7D%7B\Phi%7D\frac%7B\partial \Phi%7D%7B\partial p%7D

сжимаемость породы (скелета)

13

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle c_%7Bf%7D = \frac%7B1%7D%7B\rho%7D \frac%7B\partial \rho%7D%7B\partial p%7D

сжимаемость флюида

14

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--c_%7Bt%7D = c_%7Br%7D + c_%7Bf%7D

полная сжимаемость

Consider the elementary volume

LaTeX Math Inline

body	\delta V = \delta x \, \delta y \, \delta z

of the fluid bounded by the six faces:

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\%7B (\Sigma_x, \, \Sigma_%7Bx+\delta x%7D), \, (\Sigma_y, \, \Sigma_%7By+\delta y%7D), \, (\Sigma_z, \, \Sigma_%7Bz+\delta z%7D), \%7D

which have the same area along corresponding axis:

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

A(\Sigma_x) = A(\Sigma_{x+\delta x }) = A_{yx} = \delta y \cdot \delta z
\\  
A(\Sigma_x) = A(\Sigma_{x+\delta x }) = A_{yx} = \delta y \cdot \delta z
\\
A(\Sigma_x) = A(\Sigma_{x+\delta x }) = A_{yx} = \delta y \cdot \delta z

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--A(\Sigma_x) = A(\Sigma_%7Bx+\delta x %7D) = A_%7Byx%7D = \delta y \cdot \delta z

.

Let fluid density be

LaTeX Math Inline

body	\rho(x,y,z)

being distributed through porous media with porosity

LaTeX Math Inline

body	\phi(x,y,z)

.

The mass flowrate through the elementary area

LaTeX Math Inline

body	\delta A

is going to be:

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

\frac{dm}{dt} \Big|_{\delta A} = {\bf j} \, {\bf \delta A}

where

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--%7B\bf \delta A%7D = \delta A \cdot %7B\bf n%7D

vector area

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--%7B\bf n%7D

normal vector to elementary area

LaTeX Math Inline

body	\delta A

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \frac%7Bdm%7D%7Bdt%7D \Big%7C_%7B\delta A%7D = %7B\bf j%7D \, %7B\bf \delta A%7D

1

2

3

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \frac%7Bdm%7D%7Bdt%7D = \sum_%7B\alpha%7D j_%7B\alpha%7DA_%7B\alpha%7D = j_x%7C_%7Bx%7D\cdot A_%7Byz%7D - j_x%7C_%7Bx+\delta x%7D\cdot A_%7Byz%7D + ...

Consider the mass flow rate balance along the

Рассмотрим приращение массы в элементарном кубе объема

LaTeX Math Inline

body	\delta V

. Предполагаем, что в самой ячейке нет источников, знак минус появляется за счет того, что нормали к противоположным граням кубика противонаправлены.

4

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \frac %7B\partial%7D%7B\partial t%7D%7B\rho \Phi%7D = \frac%7Bj_x%7C_x - j_x%7C_%7Bx+\delta x%7D%7D%7B\delta x%7D + \frac%7Bj_y%7C_y - j_y%7C_%7By+\delta y%7D%7D%7B\delta y%7D + \frac%7Bj_z%7C_z - j_z%7C_%7Bz+\delta z%7D%7D%7B\delta z%7D

Разделим ур-ние (1) на объем ячейки

5

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial%7D%7B\partial t%7D(\rho \Phi) = - \nabla \cdot \vec j

Ур-ние (2) есть развернутая форма записи ур-ния (3)

6

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial%7D%7B\partial t%7D(\rho \Phi) + \nabla \cdot \vec j = 0

Классическое уравнение непрерывности

7

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial%7D%7B\partial t%7D(\rho \Phi) + \nabla \cdot (\rho \vec u) = 0

Вспоминаем определение (4) поля

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\vec%7Bj%7D

8

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \vec u = -\frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec \nabla p

Феноменологический закон Дарси, связывающий скорость потока с градиентом давления

9

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial%7D%7B\partial t%7D(\rho \Phi) - \nabla \cdot \left( \rho \frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec \nabla p \right) = 0

Подставляем ур-ние (6) в ур-ние (5)

10

Здесь и далее работаем в приближении

процесс изотермический
плотность флюида и пористость породы не зависят от времени явно

11

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial%7D%7B\partial t%7D (\rho \Phi) = \frac%7B\partial%7D%7B\partial p%7D (\rho \Phi)_T \frac%7B\partial p%7D%7B\partial t%7D = (\dot %7B\Phi%7D \rho + \dot %7B\rho%7D \Phi)\frac%7B\partial p%7D%7B\partial t%7D = \rho \Phi (c_%7Br%7D + c_%7Bf%7D)\frac%7B\partial p%7D%7B\partial t%7D

Распишем временную производную в ур-нии (7)

12

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \nabla \cdot \left( \rho \frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec%7B\nabla%7D p \right) =\frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec%7B\nabla%7D\rho \cdot \vec%7B\nabla%7Dp + \rho \cdot \nabla \cdot \left( \frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec%7B\nabla%7Dp \right)

Распишем дивергенцию ур-ния (7)

13

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \nabla \cdot \left(\rho \frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec%7B\nabla%7D p \right) =\dot%7B\rho%7D\frac%7Bk%7D%7B\mu%7D (\vec%7B\nabla%7Dp)%5e2 + \rho \cdot \nabla \cdot \left( \frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec%7B\nabla%7Dp \right)

В ур-нии (9) вспоминаем, что плотность флюида явно зависит только от давления, соответственно градиент плотности представляет через градиент давления

14

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \rho \Phi c_%7Bt%7D \frac%7B\partial p%7D%7B\partial t%7D =\rho \left(\nabla \cdot \left( \frac%7Bk%7D%7B\mu%7D \vec%7B\nabla%7Dp \right) + c_%7Bf%7D\frac%7Bk%7D%7B\mu%7D (\vec%7B\nabla%7Dp)%5e2 \right)

Перепишем ур-ние (7), используя конечные соотношения в (10) и (8), и определения для

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--c_%7Bt%7D

(6) и

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--c_%7Bf%7D

(7)

15

LaTeX Math Inline

body	--uriencoded--\displaystyle \Phi(p) c_%7Bt%7D(p) \frac%7B\partial p%7D%7B\partial t%7D =\nabla \cdot \left( \frac%7Bk(p)%7D%7B\mu (p)%7D \vec%7B\nabla%7Dp \right) + c_%7Bf%7D(p)\frac%7Bk(p)%7D%7B\mu (p)%7D (\vec%7B\nabla%7Dp)%5e2

Классическая запись уравнения диффузии в приближении изотермического процесса и независимости от времени плотности флюида и пористости породы.

Правая часть уравнения представляет собой сумму двух частей. Первая отвечает за пространственное распределение давления, вторая же содержит множителем сжимаемость флюида.

...

Page tree

Versions Compared

Old Version 43

New Version 44

Key