Профиль давления
В процессе эксплуатации нагнетательной скважины движение флюида вдоль ствола происходит в стационарном режиме, при этом профиль скорости потока и давления удовлетворяютусловию баланса массы движущегося потока: | LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | MatBal2 |
|---|
| alignment | left |
|---|
| A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const |
и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины: | LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d} |
где | длина ствола скважины, отсчитываемая вниз от поверхности | | | профиль плотности воды | | профиль угла наклона скважины к горизонту | | профиль диаметра скважины, вдоль которого идет поток | | профиль поперечного сечения ствола скважины | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | A(l) = 0.25 \, \pi \, d^2(l) |
|---|
|
| | профиль коэффициента трения Дарси | | ускорение свободного падения ( = 9.87 м2/сек ) | |
|
Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.
Уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
часто в литературе записывают как разложение изменения давление вдоль ствола скважины на компоненты:| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | gradP_General |
|---|
| alignment | left |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_f |
где
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | gradP_G |
|---|
| alignment | left |
|---|
| \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g = \rho \, g \, \sin \theta, |
|
гидростатическая компонента вариации давления, формируемая гравитационными силами
- в случае движения флюида вниз она имеет положительный знак и приводит к приросту давления
- в случае движения жидкости наверх эта компонента имеет отрицательный знак и приводит
к потере давления в процессе подъема жидкости
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | gradP_v |
|---|
| alignment | left |
|---|
| \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v = - \rho \, v \, \frac{dv}{dl}, |
|
кинетическая компонента вариация давления, формируемая вариацией скорости потока вдоль ствола скважины, которая вызвана сжатием-расжатием флюида и изменением диаметра труб - в случае падения скорости потока в направлении движения она имеет положительный знак и приводит к приросту давления
- в случае роста скорости потока в направлении движения она имеет отрицательный знак и приводит к потере давления
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | gradP_f |
|---|
| alignment | left |
|---|
| \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_f = - \frac{ f \, \rho v^2}{2 d}, |
|
фрикционная компонента вариации давления, формируемая трением флюида со стенкой скважины она всегда имеет отрциательный знак и приводит к потере давления вдоль направления движения потока |
Для несжимаемой жидкости в отсутствии трения уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
принимает вид:| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} |
и может быть явно проинтегрировано: | LaTeX Math Block |
|---|
| p(l) - \rho \, g \, l \, \sin \theta + \frac{1}{2} \rho \, v^2 = \rm const |
и называется уравнением Бернулли.
| Expand |
|---|
| title | Вывод уравнений движения флюида в стволе |
|---|
|
| Info |
|---|
Уравнение неразрывности одномерного потока с линейной плотностью массы:| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | MatBal1 |
|---|
| alignment | left |
|---|
| \frac{\partial (\rho A)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial l} \big( A \, \rho \, v \big) = 0 |
для стационарного режима течения принимает вид: | LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | MatBal1 |
|---|
| alignment | left |
|---|
| \frac{\partial (\rho A)}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial l} \big( A \, \rho \, v \big) = 0 |
откуда и следует формула | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
.
Для вывода уравнения | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
заметим, что на бесконечно малый элемент объема жидкости массой | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | dm = \rho \, A \, dl |
|---|
|
действуют четыре сил: – сила гидравлического напора, вызванная разностью давлений на торцах элемента, – сила гравитации, – сила трения со стенками трубы, – номральная реакция опоры стенок трубы.
Рассмотрим стационарное (то есть установившееся во времени) течение потока по трубе.
Движение поперек трубы отсуствует и, следовательно, сумма проекций всех сил на трансверсальное направление к трубе должно равняться нулю:| LaTeX Math Block |
|---|
| dF_p \bigg |_{l_{\perp}} + dF_g \bigg |_{l_{\perp}} + dF_f \bigg |_{l_{\perp}}+ dF_N \bigg |_{l_{\perp}} =0 |
и выполняется автоматически, при наличии достаточного запаса прочности трубы | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | dF_N \bigg |_{l_{\perp}} |
|---|
|
.
Уравнение движения флюида вдоль оси трубы имеет вид:
| LaTeX Math Block |
|---|
| dF_p \bigg |_l + dF_g \bigg |_l + dF_f \bigg |_l+ dF_N \bigg |_l = \frac{d I}{dt}\bigg |_l |
где представляет собой изменение импульса | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | I = \delta m \, v = \rho \, A \, \delta l \, v |
|---|
|
элементарного объема флюида под действием внешних сил.
Изменение импульса c учетом стационарности скорости потока и сохранения массы | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{d (\delta m)}{dt}=0 |
|---|
|
имеет вид: | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt} (\delta m \, v) = \frac{d (\delta m \, v)}{\delta l} \frac{dl}{dt} = v \frac{ d (\delta m) \, v + \delta m \, dv}{\delta l} =v \frac{\delta m}{ \delta l} dv = \rho \, A \, v \, dv |
|---|
|
.Сила, формируемая гидравлическим напором | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | dF_p \bigg |_l = A (p - dp) - A p = - A \, dp |
|---|
|
.Проекция гравитационной силы | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | dF_g \bigg |_l = \delta m \, g \, \sin \theta = \rho \, A\, \delta l \, g \, \sin \theta |
|---|
|
.Сила трения со стенками трубы дается феноменологическим уравнением Дарси-Вейсбаха: | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | dF_f \bigg |_l = - \frac{f}{d} \frac{dm \, v^2}{2} = - \frac{f \, \rho \, v^2}{2 d} \, A \, \delta l |
|---|
|
.Аксиальная компонента реакции опоры труб по определению отсутствует .Подставляя вышеприведенные выражения в уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
получим:
| LaTeX Math Block |
|---|
| - A dp + \rho \, A\, \delta l \, g \, \sin \theta - \frac{f \, \rho \, v^2}{2 d} \, A \, \delta l = \rho \, A \, v \, dv
|
Разделив уравнение на бесконечно малый объем элемента получим | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
. |
|
Если дебит скважины на устье составляет , а плотность воды на устье , то уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
можно записать в следующем виде:| LaTeX Math Block |
|---|
| A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s |
откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу: | LaTeX Math Block |
|---|
| v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)} |
Подставляя | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
в | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
получим уравнение на профиль давления вдоль ствола:| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Далее учтем, что угол наклона к горизонту может быть выражен через абсолютные отметки глубин вдоль траектории скважины :| LaTeX Math Block |
|---|
| \sin \theta = \frac{dz}{dl} |
и уравнение для давление примет вид: | LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | d = {\rm const}, \quad A = {\rm const} |
|---|
|
и уравнение может быть переписано следующим образом:| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | dp_implicit |
|---|
| alignment | left |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления и, следовательно:| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl}
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl} |
где | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | c(p)= \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{dp} |
|---|
|
– сжимаемость воды и уравнение профиля давления принимает вид:| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | dp_explicit |
|---|
| alignment | left |
|---|
| \bigg( 1 - \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \bigg ) \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)} |
Функция определяется траекторией скважины.
Cжимаемость и плотность воды слабо зависят от вариации давления вдоль ствола.Как будет показано ниже коэффициент трения тоже слабо зависит от вариации давления и, следовательно, уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию со слабой нелинейностью.
Если предположить постоянство коэффициента трения и несжимаемость флюида | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \rho(p) = \rho_s = \rm const |
|---|
|
, то уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
можно явно проинтегрировать:| LaTeX Math Block |
|---|
| p(l) = p_s + \rho \, g \, z(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s \, l |
Pressure gradient will be: | LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \cos \theta(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s |
where | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \cos \theta(l) = \frac{dz(l)}{dl} |
|---|
|
The first term defines the hydrostatic column of static fluid while the last term defines the friction losses under fluid movement: | LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dl} \Bigg|_{loss} = \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s |
В калькуляторе Well Flow Performance Calculator можно оценить величину потерь на трения для различных сценариев диаметров труб и дебитов скважин. |
