Motivation
...
One of the key problems in designing the pipelines and wells and controlling the fluid transport along is to predict the pressure along-hole pressure distribution during the stationary fluid transportchallenges in Pipe Flow Dynamics is to predict the pressure distribution along the pipe during the steady-state fluid transport.
In many practical cases the flow stationary pressure distribution can be considered as approximated by Isothermal or Quasi-isothermal homogenous fluid flow model.
Pipeline flow simulator Flow Pressure Model is addressing this problem with account of the varying pipeline trajectory, gravity effects and fluid friction with pipeline walls.
...
Outputs
...
| Inputs | Outputs |
|---|
Pipeline trajectory {\bf r} = {\bf r} = \{ x(l), \, y(l), \, z(l) \}Inputs
...
along-pipe distribution of stabilised pressure |
| Fluid pressure at inlet point ( |
)Pipeline cross-section area A(l) | along-pipe distribution of stabilised flow rate Fluid density rho and muT, p)along-pipe distribution of stabilised average flow velocity u| --uriencoded--\displaystyle \cos \theta (l) |
|
|
Assumptions
...
Assumptions
| --uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial p%7D%7B\partial t%7D = 0 |
|
| | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial T%7D%7B\partial t%7D =0 \rightarrow T(t,l) = T(l) |
|---|
|
|
| Homogenous flow |
| Stationary fluid flow |
| Homogenous fluid flow |
Isothermal or Quasi-isothermal conditions | |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \frac%7B\partial p%7D%7B\partial \tau_x%7D =\frac%7B\partial p%7D%7B\partial \tau_y%7D =0 \rightarrow p(t, \tau_x,\tau_y,l) = p(l) |
|---|
|
|
along hole
Equations
...
9QRCZbigg1frac{\,\rho_0^2, q_0^2}{A^2} bigg) rhofrac{dz}{dl}\rho_0^2 \, q_0^2 A^2frac{f(p)}{\rho}1u\frac{\rho_0 \cdot q_0}{\rho(p) \cdot A(l)} Approximations
Incompressible fluid with constant friction
| Pressure profile | Pressure gradient profileH8MPTp p_0 + \rho \, g \, z(l)- \rho_0 \, q_0^2 }{2 A^2 d} \, f_0 \, lIFPGP\frac{dp}{dl}rho \, g \cos \theta - \frac{where
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle j_m =\frac%7B \rho_0 |
|---|
|
|
0^2 }{2 A^2 d} \, f_0 ...
\displaystyle \cos \theta) = \frac{dz(l)}{dl}correction factor for trajectory deviation | The first term in
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
defines the hydrostatic column of static fluid while the last term defines the friction losses under fluid movement:...
| user | ama@naftacollege.com |
|---|
| group | sofoil |
|---|
Профиль давления
...
| Fluid flowrate at inlet point () |
|
...
| Fluid density at inlet point ( |
...
...
...
...
условию баланса массы движущегося потока:
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | MatBal2 |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const |
и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d} |
где
...
...
Image Removed
...
...
...
...
...
профиль поперечного сечения ствола скважины
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | A(l) = 0.25 \, \pi \, d^2(l) |
|---|
|
...
...
...
Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.
Для несжимаемой жидкости
в отсутствии трения уравнение | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
принимает вид:...
| Fluid density at any point |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle с(p) = \frac%7B1%7D%7B\rho%7D \left( \frac%7B\partial \rho%7D%7B\partial p%7D \right)_T |
|---|
|
| Fluid Compressibility |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--f(T, \rho) = f(%7B\rm Re%7D(T, \rho), \, \epsilon) |
|---|
|
| Darcy friction factor |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle %7B\rm Re%7D(T,\rho) = \frac%7Bj_m \cdot d%7D%7B\mu(T, \rho)%7D |
|---|
|
| Reynolds number in Pipe Flow |
| dynamic viscosity as function of fluid temperature and density |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle d = \sqrt%7B \frac%7B4 A%7D%7B\pi%7D%7D= \rm const |
|---|
|
| Characteristic linear dimension of the pipe (or exactly a pipe diameter in case of a circular pipe) |
Alternative forms
...
| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dl} = \ |
|
...
...
...
...
...
и может быть явно проинтегрировано:
...
...
right)_G + \left( \frac{dp}{dl} \right)_K + \left( \frac{ |
|
...
...
...
where
и называется уравнением Бернулли.
...
...
...
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
...
| --uriencoded--\displaystyle \left( \frac%7Bdp%7D%7Bdl%7D \right)_G = \rho \cdot g \cdot \cos \theta |
|
|
gravity losses which represent pressure losses for upward flow and pressure gain for downward flow |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \left( \frac%7Bdp%7D%7Bdl%7D \right)_K = u%5e2 \cdot \frac%7Bd \rho%7D%7Bdl%7D |
|---|
|
|
kinematic losses, which grow contribution at high velocities
and high fluid compressibility (like turbulent gas flow) |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | --uriencoded--\displaystyle \left( \frac%7Bdp%7D%7Bdl%7D \right)_f = - \frac%7B j_m%5e2%7D%7B2 d%7D \cdot \frac%7Bf%7D%7B\rho%7D |
|---|
|
|
friction losses which are always negative along the flow direction |
Approximations
| LaTeX Math Block |
|---|
|
A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s |
откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)} |
Подставляя
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
в | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
получим уравнение на профиль давления вдоль ствола:| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Далее учтем, что угол наклона к горизонту
может быть выражен через абсолютные отметки глубин вдоль траектории скважины :| LaTeX Math Block |
|---|
|
\sin \theta = \frac{dz}{dl} |
и уравнение для давление примет вид:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | d = {\rm const}, \quad A = {\rm const} |
|---|
|
и уравнение может быть переписано следующим образом:| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | dp_implicit |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления
и, следовательно:| LaTeX Math Block |
|---|
|
\frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl}
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl} |
где
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | c(p)= \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{dp} |
|---|
|
– сжимаемость воды и уравнение профиля давления принимает вид:| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | dp_explicit |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\bigg( 1 - \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \bigg ) \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)} |
...
...
...
...
...
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
...
...
...
...
See also
...
| Show If |
|---|
|
| Panel |
|---|
| bgColor | papayawhip |
|---|
| title | ARAX |
|---|
| |
|
