...

...

...

...

Motivation

Motivation

...

One of the key problems in designing the pipelines and controlling the pipeline fluid transport is to predict the temperature and pressure losses during the stationary fluid transport.challenges in Pipe Flow Dynamics is to predict the pressure distribution along the pipe during the steady-state fluid transport.

In many practical cases the stationary pressure distribution can be approximated by Isothermal or Quasi-isothermal homogenous fluid flow model.

Pipeline Flow Pressure Model is addressing this problem with account of Pipeline flow simulator is addressing this problem. It should account for the varying pipeline trajectory, gravity effects , and fluid friction with pipeline walls and varying heat exchange with surroundings.

Definition

Given 

...

Outputs

...

...

...

Inputs

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Assumptions

...

...

...

...

...

...

...

Simulate

...

...

...

...

...

...

...

Профиль давления

В процессе эксплуатации нагнетательной скважины движение флюида вдоль ствола

условию баланса массы движущегося потока:

 A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const

и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d}

где

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.

Уравнение

\frac{dp}{dl} =  \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_f

где

\bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g = \rho \, g \, \sin \theta,

...

Equations

...

\left( \rho(p) -  j_m^2 \cdot c(p)   \right) \cdot  \frac{dp}{dl} = \rho^2(p) \, g \, \cos \theta(l)  - \frac{ j_m^2 }{2 d} \cdot  f(p)

p(l=0) = p_0

u(l) = \frac{j_m}{\rho(l)}

q(l) =A \cdot u(l)

where

Alternative forms

...

  \frac{dp}{dl} = \left(   

...

...

\frac{dp}{dl} \

...

right)_

...

G 

...

+ 

...

 \

...

left(   \frac{

...

dp}{dl}

...

 \right)_K  +  \left(   \frac{dp}{dl} \right)_f

where

...

...

Approximations

See also

...

\bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_f = - \frac{ f \, \rho v^2}{2 d},

фрикционная компонента вариации давления, формируемая трением флюида со стенкой скважины

она всегда имеет отрциательный знак и приводит к потере давления вдоль направления движения потока

Для несжимаемой жидкости

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl}

и может быть явно проинтегрировано:

p(l) - \rho \, g \, l \, \sin \theta +  \frac{1}{2} \rho \, v^2 = \rm const

и называется уравнением Бернулли.

...

...

Уравнение неразрывности одномерного потока с линейной плотностью

\frac{\partial (\rho A)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial l} \big( A \, \rho \, v \big) = 0

для стационарного режима течения принимает вид:

\frac{\partial (\rho A)}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial l} \big( A \, \rho \, v \big) = 0

откуда и следует формула

Для вывода уравнения

Рассмотрим стационарное (то есть установившееся во времени) течение потока по трубе.

Движение поперек трубы отсуствует и, следовательно, сумма проекций всех сил на трансверсальное направление

dF_p \bigg |_{l_{\perp}} + dF_g \bigg |_{l_{\perp}} + dF_f \bigg |_{l_{\perp}}+ dF_N \bigg |_{l_{\perp}} =0

и выполняется автоматически, при наличии достаточного запаса прочности трубы

Уравнение движения флюида вдоль оси трубы

 dF_p \bigg |_l + dF_g \bigg |_l + dF_f \bigg |_l+ dF_N \bigg |_l = \frac{d I}{dt}\bigg |_l

где

Изменение импульса c учетом стационарности скорости потока

Сила, формируемая гидравлическим напором

Проекция гравитационной силы

Сила трения со стенками трубы дается феноменологическим уравнением Дарси-Вейсбаха:

Аксиальная компонента реакции опоры труб по определению отсутствует

Подставляя вышеприведенные выражения в уравнение

- A dp + \rho \, A\, \delta l \, g \, \sin \theta - \frac{f \, \rho \, v^2}{2 d} \, A \, \delta l = \rho \, A \, v \, dv

Разделив уравнение на бесконечно малый объем элемента

Если дебит скважины на устье составляет

A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s

откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:

v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)}

Подставляя 

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Далее учтем, что угол наклона к горизонту

\sin \theta = \frac{dz}{dl}

и уравнение для давление примет вид:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} -  \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра 

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления

\frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl} 
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl}

где

\bigg( 1 -  \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}   \bigg )  \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl}  - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)}

...

...

...

...

Как будет показано ниже коэффициент трения

Если предположить постоянство коэффициента трения

p(l) = p_s + \rho \, g \, z(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s \, l

Pressure gradient will be:

\frac{dp}{dl} = \cos \theta(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s 

where

The first term defines the hydrostatic column of static fluid while the last term defines the friction losses under fluid movement:

\frac{dp}{dl} \Bigg|_{loss} =  \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s 

В калькуляторе Well Flow Performance Calculator можно оценить величину потерь на трения для различных сценариев диаметров труб и дебитов скважин.

Коэффициент трения

Коэффициент трения Дарси

Для гладкой трубы

f = 64 \, \rm Re^{-1}

...

...

...

переходной режим течение

f = 0.32 \, \rm Re^{-0.25}

турбулентный режим течения

f = 0.184 \, \rm Re^{-0.2}

сильно турбулентный поток режим течения

где

...

...

число Рейнольдса

...

...

...

Для переходных и турбулентных режимов течения коэффициент трения удовлетворяет эмпирической модели Колбрука-Уайта (Colebrook–White), которая учитывает шероховатость внутренней поверхности трубы

\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \, \log \Bigg( \frac{\epsilon}{3.7 \, d}  + \frac{2.51}{{\rm Re} \sqrt{f}} \Bigg)

Типичное значение шероховатости труб

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Существует множество явных аппроксимаций решения уравнения

f = 0.25 \, \bigg[ \log \bigg( \frac{\epsilon / d}{3.7065} - \frac{5.0272}{\rm Re} \log \Lambda \bigg)   \bigg]^{-2}

где

\Lambda = \frac{(\epsilon/d)}{3.827} - \frac{4.657}{\rm Re} \log \Bigg[  \bigg( \frac{\epsilon/d}{7.7918} \bigg)^{0.9924} + \bigg( \frac{5.3326}{208.815+Re} \bigg)^{0.9345} \Bigg]

Однако, в пределах измерительной погрешности (< 2 %) можно пользоваться универсальной корреляцией (Churchil) для всех режимов течения, от ламинарного до сильно турбулентного:

f = \frac{64}{\rm Re} \, \Bigg [ 1+ \frac{\big(\rm Re / 8 \big)^{12} }{ \big( \Theta_1 + \Theta_2 \big)^{1.5} }  \Bigg]^{1/12}

где

Как видно из вышеприведенных корреляций, коэффициент трения меняется в зависимости от скорости потока и соответствующего числа Рейнольдса.

Основным вкладом в вариабельность коэффициента трения вдоль трубы является диаметр трубы в данной точке траектории скважины, который может приводить к значительным изменениям скорости потока.

Тем не менее, зависимость от дебита является слабой. Из формулы

...

Зависимость коэффициента трения от давления формируется только через число Рейнольдса:

...

...

...

{\rm Re} = \frac{ d \, \rho_s \, q_s}{A \, \mu(p)}

отсюда следует, что зависимость коэффициента трения от давления формируется вязкостью

δμ/μ = 25 % при вариации μ = 2.4·10^-5 Па · с для p = 1 атм до μ = 3.0·10^-5 Па · с для 300 атм (cм. Свойства воды).

...

Для оценки числа Рейнольдса для нагнетаемой по 2.5 " НКТ воды можно пользоваться формулой

Отсюда видно, что при дебитах более 18 м³/сут число Рейнольдса становится больше 4,000 и режим течения является турбулентным и коэффициент трения можно считать практически постоянным вдоль ствола нагнетательной скважины.

А учитывая, что рост давления с глубиной сопровождается увеличением температуры, что компенсирует рост вязкости воды, то для большинства практических реализаций ППД можно полагать, что вариация коэффициента трения вдоль ствола не превышает 2-3 % и в оценках потери напора на трение принимать коэффициент трения постоянным

Профиль температуры 

В отличие от задач гидравлики процессы теплообмена существенно нестационарны и температурный профиль жидкости и окружающих скважину пород будет непрерывно меняться в процессе закачки.

Хотя со временем изменения могут становиться настолько малы, что ими можно пренебречь в пределах погрешности измерительной аппаратуры в пределах времени конкретного исследования скважины.

В этом случае говорят о квазистационарном распределении температурного поля.

Помимо этого процесс распространения тепла идет не только в стволе скважины, где распространяется поток, но и далеко за ее пределами, что приводит к необходимости решать задачу и температурном поле скважины в совокупности с прилегающими к ней породами, что увиливает размерность задачи с одномерной до трехмерной (или двухмерной в случае осевой симметрии теплофизических параметров пород).

Поэтому решение задачи термометрии в стволах скважины формулируется на две температурные функции:

...

...

...

...

Температурный профиль

\rho \, c \, \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{d}{dl} \, \bigg( \lambda \, \frac{dT}{dl} \bigg)  - \rho \, c \, v \, \frac{dT}{dl}

с начальным условием:

T(t=0, l) = T_g(l)

и граничным условием на поверхности:

T(t, l=0) = T_s(t)

Распределение температуры в массиве горных пород

\rho_e \, c_e \, \frac{\partial T_e}{\partial t} = \nabla ( \lambda_e \nabla T_e)

с начальным условием:

T_e(t=0, l, r) = T_g(l)

и граничным условием на бесконечном удалении от скважины:

T_e(t, l, r \rightarrow \infty) = T_g(l)

Геотермическое распределение температуры (также называемое геотермой) вдоль ствола скважины

T_g(l) = T_{0e} + \int_{z_0}^{z(l)} G_T(z) dz = T_{0e} + \int_{l_0}^l G_T(z(l)) \sin \theta dl 

геотермический градиент задается отношением регионального теплового потока из недр Земли

G_T(z(l)) = \frac{j_e}{\lambda_e(l)}

где

...

...

...

...

...

В регионах, где геотермический градиент остается постоянным

T_g(l) = T_{0e} + G_T \, z 

Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле

...

Замыкает систему уравнений условие теплобмена между жидкостью в стволе скважины и окружающими горными породами, задаваемое условием непрерывности радиального теплового потока:

2 \pi \, \lambda_e \, r_w \, \frac{\partial T_e}{\partial r} \, \bigg|_{r=r_w} = 2 \pi \, r_f \, U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg)

где

...

Если между внутренней стенкой НКТ и внутренней стенкой скважины по долоту нет источников или стоков тепла, то линейная плотность радиального потока тепла

Плотность радиального теплового потока между закачиваемой жидкостью и стенкой трубки НКТ может быть выражена через коэффициент теплопередачи

j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_f } =  \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_f  } = U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg) 

Это по-сути эта формула является определением коэффициента теплопередачи.

Плотность радиального теплового потока между стенкой скважины и породами определяется законом теплопроводности Фурье:

j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_w } =  \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_w  } = \lambda \, \frac{\partial T}{\partial r}

Исключая из вышеприведенных уравнений линейную плотность теплового потока

Эта задача решается численными методами.

Но для простых случаев есть аналитические оценки, которые правильно воспроизводят крупномасштабные формы температурного профиля.

Одна из популярных аналитических моделей для стационарной (

(

T(t, l) = T_{0e} + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta  +  \big( T_s - T_{0e} + R(t) \, G_T \, \sin \theta \big)  \, e^{ - l/R(t)} 

где

R(t) = \frac{q_s}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg)

релаксационное расстояние

T_D(t) = \ln \big[ e^{-0.2 \, t_D} + (1.5 - 0.3719 \, e^{-t_D}) \, \sqrt{t_D} \big]  

безразмерная температура  (Hasan, Kabir, 1994)

t_D(t) = \frac{a_e \, t}{r_w^2}

безразмерное время

a_e = \frac{\lambda_e}{ c_e \, \rho_e}

температуропроводность пород

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

При больших дебитах скважины формула 

T(t, l) \approx T_s + (T_{0e} - T_s) \, \frac{l}{R(t)} \ = \ T_s + \frac{1}{q_s} \frac{ 2 \pi \, a_e \, (T_{0e} - T_s) }{ T_D(t) + \frac{\lambda}{r_f \, U}} 

откуда видно, что прогрев температуры по стволу скважины уменьшается с ростом дебита скважины

При малых дебитах скважины формула 

T(t, l) \approx T_s + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - R(t) \, G_T \, \sin \theta \  = \ T_g(l) - q_s \,  \frac{G_T \, \sin \theta}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg)

то есть поток воды прогревается породами до геотермической температуры, что соответствует практическим наблюдениям.

Также формула 

T_D(t) = \ln ( 1.5 \sqrt{t_D} ) = 0.4055 + 0.5 \, \ln ( t_D )

и начиная с какого-то момента времени неминуемо достигается соотношение 

...

Таким образов формула 

See Also

Petroleum Industry / Upstream / Pipe Flow Simulation

[ Heat Transfer Coefficient (HTC) ]

...

References

...

solverbook.com – Коэффициент теплоотдачи