...
Below is the list of popular physical phenomena and their mathematical models which can be covered by
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
model.
Compressible fluids
Pressure diffusion equation is going to be:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
c_t(p) \, \phi({\bf r}) \, \frac{\partial p}{\partial t} = \nabla ( \alpha(p) \nabla p ) |
where
| LaTeX Math Block |
|---|
|
c_t({\bf r},p) = c_r({\bf r}) + \sum_\alpha s_\alpha({\bf r}) c_\alpha(p) |
...
...
...
...
...
-phase compressibility as function of reservoir pressure for | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \alpha = \{ w, \, o, \, g \} |
|---|
|
...
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \displaystyle \alpha(p) = \frac{k}{\mu(p)} |
|---|
|
...
...
...
Formation permeability as function of location
...
...
...
...
...
...
Compressible rocks
Pressure diffusion equation is going to be:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
c_t(p) \phi(p) \frac{\partial p}{\partial t} = \nabla ( \alpha(p) \nabla p) |
where
...
...
...
...
...
...
Dependance on pressure gradient
...
Pressure diffusion / Pressure Diffusion @model / Single-phase pressure diffusion model
...
Зависимость кинетических коэффициентов от пластового давления
Модель плоскопараллельного течения Дарси дается следующим уравнением:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
{\bf u}= - \frac{k}{\mu} \nabla p |
и
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\mu = \mu(p) |
...
Зависимость проницаемости от депрессии
В сильно-сжимаемых коллекторах при больших депрессиях (или репрессиях) наблюдается падение проницаемости
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | k_nablap |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
k=k(|\nabla p|) |
Как правило используется экспоненциальный закон
| LaTeX Math Block |
|---|
|
k=k_0 \, e^{-\beta_G |\nabla p|} |
...
Threshold pressure gradient (TPG)
...
Зависимость проницаемости от скорости потока
При больших линейных скоростях течения сильно-сжимаемого флюида через пористую среду наблюдается отклонение от линейного закона течения Дарси, вызванное дополнительным сопротивлением от турбулентности и которое выражается в виде зависимости проницаемости коллектора от скорости флюида.
| LaTeX Math Block |
|---|
|
k=k(|\bf u|) |
Обычно это явление проявляется только в небольшой окрестности скважины.
Есть разные модели этого явления и наиболее популярной на практике является модель Форхгеймера.
Forchheimer model
...
Reference
[1] Vishal Jambhekar, Forchheimer Porous-media Flow Models -Numerical Investigation and Comparison with Experimental Data, Master Thesis, University Stuttgart – 2012
[2] Трифонова Т.А., Шеремет М.А., Сравнительный анализ моделей Дарси и Бринкмана ... – 2013
[3] Wojciech Sobieski, Anna Trykozko, Darcy's and Forchheimer's laws in practice. Part 1. The Experiment, Technical Sciences, 17(4), 2014
[4] Wojciech Sobieski, Anna Trykozko, Darcy's and Forchheimer's laws in practice. Part 2. The Numerical Model, Technical Sciences, 17(4), 2014
...
...
...
Зависимость кинетических коэффициентов от пластового давления
Модель плоскопараллельного течения Дарси дается следующим уравнением:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
{\bf u}= - \frac{k}{\mu} \nabla p |
и
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\mu = \mu(p) |
...
Зависимость проницаемости от депрессии
В сильно-сжимаемых коллекторах при больших депрессиях (или репрессиях) наблюдается падение проницаемости
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | k_nablap |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
k=k(|\nabla p|) |
Как правило используется экспоненциальный закон
| LaTeX Math Block |
|---|
|
k=k_0 \, e^{-\beta_G |\nabla p|} |
...
Threshold pressure gradient (TPG)
...
Зависимость проницаемости от скорости потока
При больших линейных скоростях течения сильно-сжимаемого флюида через пористую среду наблюдается отклонение от линейного закона течения Дарси, вызванное дополнительным сопротивлением от турбулентности и которое выражается в виде зависимости проницаемости коллектора от скорости флюида.
| LaTeX Math Block |
|---|
|
k=k(|\bf u|) |
Обычно это явление проявляется только в небольшой окрестности скважины.
Есть разные модели этого явления и наиболее популярной на практике является модель Форхгеймера.
Forchheimer model
...
Обобщенное уравнение нелинейного течения
Все вышеприведенные нелинейные модели сводятся к универсальному закону обобщенной фильтрации:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
{\bf u} = - \alpha(P, |\nabla p|) \nabla p |
...
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\alpha = \alpha(p, |\nabla p|) |
и может быть представлена как
| LaTeX Math Block |
|---|
|
\alpha = \frac{k_0}{\mu_0} \xi(p, |\nabla p|) |
где
– пространственное распределение проницаемости при начальном пластовом давлении, – вязкость флюида при начальном пластовом давлении и – некая функция от давления и градиента давления со свойством | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \xi (p \rightarrow p_0, |\nabla p| \rightarrow 0) \rightarrow 1 |
|---|
|
....
Reference
[1] Vishal Jambhekar, Forchheimer Porous-media Flow Models -Numerical Investigation and Comparison with Experimental Data, Master Thesis, University Stuttgart – 2012
[2] Трифонова Т.А., Шеремет М.А., Сравнительный анализ моделей Дарси и Бринкмана ... – 2013
[3] Wojciech Sobieski, Anna Trykozko, Darcy's and Forchheimer's laws in practice. Part 1. The Experiment, Technical Sciences, 17(4), 2014
...
/ Non-linear single-phase pressure diffusion @model
