положим температуру постоянной во времени и раскроем производные по времени: LaTeX Math Block |
---|
anchor | T_cond |
---|
alignment | left |
---|
| T(t, \mathbf{r} ) = T = const |
и раскроем производные по времени: Section |
---|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| s_w \partial_t \bigg ( \frac{\phi}{B_w} \bigg ) + \frac{\phi}{B_w} \partial_t s_w
+ \nabla \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = q_W(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| s_o \partial_t \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg ) + s_g \partial_t \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g} \bigg )
+ \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o + \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g} \bigg ) \partial_t s_g
+ \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o
+ \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = q_O(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| s_g \partial_t \bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg ) + s_o \partial_t \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg )
+ \bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg ) \partial_t s_g + \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o
+ \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g
+ \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = q_G(\mathbf{r}) |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| \mathbf{u}_w = - \alpha_w \ ( \nabla P_w - \rho_w \ \mathbf{g} ) |
LaTeX Math Block |
---|
| \mathbf{u}_o = - \alpha_o \ ( \nabla P_o - \rho_o \ \mathbf{g} ) |
LaTeX Math Block |
---|
| \mathbf{u}_g = - \alpha_g \ ( \nabla P_g - \rho_g \ \mathbf{g} ) |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
anchor | CapilarOW |
---|
alignment | left |
---|
| P_o - P_w = P_{cow}(s_w) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | CapilarOG |
---|
alignment | left |
---|
| P_o - P_g = P_{cog}(s_g) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | swsosg |
---|
alignment | left |
---|
| s_w + s_o + s_g = 1 |
|
|
где Section |
---|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| \alpha_w = k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| \alpha_o = k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| \alpha_g = k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} |
|
|
Учитывая, что пористость и PVT параметры явно не зависят от времени, но являются функциями от текущего давления компоненты в данной точке пласта:
LaTeX Math Block |
---|
| s_w \bigg ( \frac{\phi}{B_w}\bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_w + \frac{\phi}{B_w} \partial_t s_w
+ \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = q_W(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| s_o \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_o + s_g \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g} \bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_g
+ \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o + \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g} \bigg ) \partial_t s_g
+ \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o + \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = q_O(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| s_g \bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_g + s_o \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_o
+ \bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg ) \partial_t s_g + \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o
+ \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g + \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = q_G(\mathbf{r}) |
где точка означает производную по давлению LaTeX Math Block |
---|
| \bigg ( \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{d}{dP} \bigg ( \bigg ) |
Прямое вычисление дает: Section |
---|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| \bigg ( \frac{\phi}{B_w} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_w} (c_r + c_w) |
LaTeX Math Block |
---|
| \bigg ( \frac{\phi \ R_v}{B_g} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_g} ( \dot R_v + (c_r + c_g) \ R_v) |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_o} (c_r + c_o) |
LaTeX Math Block |
---|
| \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_o} (\dot R_s + (c_r + c_o) \ R_v) |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| \bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_g} (c_r + c_g) |
|
|
и соответственно LaTeX Math Block |
---|
| \frac{\phi}{B_w} s_w (c_r + c_w) \ \partial_t P_w + \frac{\phi}{B_w} \partial_t s_w
+ \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = q_W(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \frac{\phi}{B_o} s_o (c_r + c_o) \ \partial_t P_o + \frac{\phi }{B_g} s_g \big( \dot R_v + (c_r + c_w) R_v \big) \ \partial_t P_g
+ \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o + \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g} \bigg ) \partial_t s_g
+ \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o + \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = q_O(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \frac{\phi}{B_g} s_g (c_r + c_g) \ \partial_t P_g + \frac{\phi}{B_o} s_o \big( \dot R_s + (c_r + c_o) R_s \big) \ \partial_t P_o
+ \bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg ) \partial_t s_g + \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o
+ \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g + \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = q_G(\mathbf{r}) |
Домножая обе части всех уравнений непрерывности на соотвествующий объемный коэффициент, получим: LaTeX Math Block |
---|
| \phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big] \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w
+ B_w \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = B_w \ q_W(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o + \phi \big[ \frac{B_o \ \dot R_v}{B_g} s_g + \frac{B_o R_v}{B_g} (c_r s_g + c_g s_g) \big] \partial_t P_g
+ \phi \partial_t s_o + \big( \frac{\phi B_o R_v }{B_g} \big) \partial_t s_g
+ B_o \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o + \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = B_o \ q_O(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g + \phi \big[ \frac{B_g \ \dot R_s}{B_o} s_o + \frac{B_g R_s}{B_o} (c_r s_o + c_o s_o) \big] \partial_t P_o
+ \phi \partial_t s_g + \big( \frac{\phi B_g R_s}{B_o} \big) \partial_t s_o
+ B_g \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g + \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = B_g \ q_G(\mathbf{r}) |
Учтем, что LaTeX Math Block |
---|
| B_w \ q_W = q_w \, - \, \textrm{объемный дебит водяной компоненты в пластовых условиях} |
LaTeX Math Block |
---|
| B_o \ q_O = B_o \bigg( \frac{q_o}{B_o} + \frac{R_v q_g}{B_g} \bigg) = q_o + \frac{R_v B_o}{B_g} q_g \, - \, \textrm{объемный дебит нефтяной компоненты в пластовых условиях} |
LaTeX Math Block |
---|
| B_g \ q_G = B_g \bigg( \frac{q_g}{B_g} + \frac{R_s q_o}{B_o} \bigg) = q_g + \frac{R_s B_g}{B_o} q_o \, - \, \textrm{объемный дебит газовой компоненты в пластовых условиях} |
и следовательно: LaTeX Math Block |
---|
| \phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big] \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w
+ B_w \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = q_w(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o + \phi \big[ \frac{B_o \ \dot R_v}{B_g} s_g + \frac{B_o R_v}{B_g} (c_r s_g + c_g s_g) \big] \partial_t P_g
+ \phi \partial_t s_o + \big( \frac{\phi B_o R_v }{B_g} \big) \partial_t s_g
+ B_o \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o + \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = \bigg( q_o(\mathbf{r}) + \frac{R_v B_o}{B_g} q_g(\mathbf{r}) \bigg) |
LaTeX Math Block |
---|
| \phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g + \phi \big[ \frac{B_g \ \dot R_s}{B_o} s_o + \frac{B_g R_s}{B_o} (c_r s_o + c_o s_o) \big] \partial_t P_o
+ \phi \partial_t s_g + \big( \frac{\phi B_g R_s}{B_o} \big) \partial_t s_o
+ B_g \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g + \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = \bigg( q_g(\mathbf{r}) + \frac{R_s B_g}{B_o} q_o(\mathbf{r}) \bigg) |
Введем обозначение для нормированных коэффициентов межфазового обмена и их производных по давлению: Section |
---|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| R_{vn} = \frac{B_o R_v}{B_g} |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| R_{sn} = \frac{B_g R_s}{B_o} |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| R_{vp} = \frac{B_o \dot R_v}{B_g} |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| R_{sp} = \frac{B_g \dot R_s}{B_o} |
|
|
и уравнения непрерывности принимают вид: LaTeX Math Block |
---|
| \phi s_w ( c_r + c_w ) \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w
+ B_w \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = q_w(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \phi s_o (c_r + c_o ) \partial_t P_o + \phi s_g \big( R_{vp} + R_{vn} (c_r + c_g) \big) \partial_t P_g
+ \phi \partial_t s_o + \phi R_{vn} \partial_t s_g
+ B_o \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o + \frac{R_{vn}}{B_o} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = \big( q_o(\mathbf{r}) + R_{vn} q_g(\mathbf{r}) \big) |
LaTeX Math Block |
---|
| \phi s_g ( c_r + c_g ) \partial_t P_g + \phi s_o \big( R_{sp} + R_{sn} (c_r + c_o ) \big) \partial_t P_o
+ \phi \partial_t s_g + \phi R_{sn} \partial_t s_o
+ B_g \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g + \frac{R_{sn}}{B_g} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = \big( q_g(\mathbf{r}) + R_{sn} q_o(\mathbf{r}) \big) |
Введем допущение о том, что распределение объемных коэффициентов всех фаз медленно меняется по объему пласта
(что хорошо выполняется, так как объемные коэффициенты представляют собой более медленные функции, чем само давление): LaTeX Math Block |
---|
anchor | PZ_gradB |
---|
alignment | left |
---|
| | \nabla B_w | \sim 0 \ , \quad | \nabla B_o | \sim 0 \ , \quad | \nabla B_g | \sim 0 |
и можно считать объемный коэффициент локально постоянным и внести его под знак градиента: LaTeX Math Block |
---|
| \phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big] \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w
+ \nabla \mathbf{u}_w = q_w |
LaTeX Math Block |
---|
| \phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o + \phi \big[ \frac{B_o}{B_g} \dot R_v s_g + \frac{B_o R_v}{B_g} (c_r s_g + c_g s_g) \big] \partial_t P_g
+ \phi \partial_t s_o + \big( \frac{\phi \ B_o \ R_v }{B_g} \big) \partial_t s_g
+ \nabla \bigg ( \mathbf{u}_o + \frac{B_o \ R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = \bigg( q_o + \frac{R_v B_o}{B_g} q_g \bigg) |
LaTeX Math Block |
---|
| \phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g + \phi \big[ \frac{B_g}{B_o} \dot R_s s_o + \frac{B_g R_s}{B_o} (c_r s_o + c_o s_o) \big] \partial_t P_o
+ \phi \partial_t s_g + \big( \frac{\phi \ B_g \ R_s}{B_o} \big) \partial_t s_o
+ \nabla \bigg ( \mathbf{u}_g + \frac{B_g \ R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = \bigg( q_g + \frac{R_s B_g}{B_o} q_o \bigg) |
откуда LaTeX Math Block |
---|
| \phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big] \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w
+ \nabla \mathbf{u}_w = q_w |
LaTeX Math Block |
---|
| \phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o + \phi \big[ R_{vp} s_g + R_{vn} (c_r s_g + c_g s_g) \big] \partial_t P_g
+ \phi ( \partial_t s_o + R_{vn} \partial_t s_g )
+ \nabla \bigg ( \mathbf{u}_o + R_{vn} \mathbf{u}_g \bigg ) = ( q_o + R_{vn} q_g ) |
LaTeX Math Block |
---|
| \phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g + \phi \big[ R_{sp} s_o + R_{sn} (c_r s_o + c_o s_o) \big] \partial_t P_o
+ \phi ( \partial_t s_g + R_{sn} \partial_t s_o )
+ \nabla \bigg ( \mathbf{u}_g + R_{sn} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = ( q_g + R_{sn} q_o ) |
Подставим в вышеприведенные уравнения непрерывности выражения для скоростей каждой |