@wikipedia
Consider a differential volume with surface area and mass .
Пусть в этом объеме за время изменится масса сплошной среды за счет внешних источников (например, за счет притока флюида из ствола скважины, который вскрыл объем ).
Изменение массы сплошной среды в этом объеме за время приводит к изменению плотности среды за то же время и притоку/оттоку флюида через поверхность объема за то же время:| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{d \, \delta M}{dt} = \int_{\delta V} \frac{d \rho_{\delta V}}{dt} dV + \oint_{\delta \Sigma} {\bf j}_m \, dS |
где | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | {\bf j}_m = \frac{dm}{dt \, dS} {\bf e}_{\bf u} = \rho \, {\bf u} |
|---|
|
, где – плотность флюида, – вектор скорости потока флюида.
В случае порового коллектора насыщенного флюидом, масса сплошной среды в объеме можно представить как сумму массы скелета пород и массы флюида в порах : | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \delta M = \delta m_{rock} + \delta m |
|---|
|
.В процессе фильтрации изменением плотности материала пород можно пренебречь по сравнению с изменениями плотности флюида и, следовательно, масса скелета пород в данном объеме не меняется | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{d \, \delta m_{rock}}{ dt} =0 |
|---|
|
т. е. | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{d \, \delta M}{ dt} = \frac{d \, \delta m}{ dt} |
|---|
|
.При этом плотность среды выражается через плотность флюида как | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{ d\rho_{\delta V} }{dt}= \frac{ d (\rho \phi) }{dt} |
|---|
|
.Тогда закон сохранения массы среды запишется в виде: | LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} \frac{d (\rho \phi)}{dt} dV + \oint_{\delta \Sigma} \rho {\bf u} \, dS |
Выражая поверхностный интеграл через объемный | LaTeX Math Block |
|---|
| \oint_{\delta \Sigma} \rho {\bf u} \, dS = \int_{\delta V} \nabla \cdot (\rho {\bf u}) dV |
получим закон сохранения массы в виде: | LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} \bigg( \frac{d (\rho \phi)}{dt} + \nabla \cdot (\rho {\bf u}) \bigg) dV |
Обозначим изменение массы флюида в выделенном объеме пласта за счет внешних источников через скорость притока массы | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{ d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} q_m dV |
|---|
|
и перепишем закон сохранения массы как
| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} q_m dV = \int_{\delta V} \bigg( \frac{d (\rho \phi)}{dt} + \nabla \cdot (\rho {\bf u}) \bigg) dV |
и в силу произвольности выбора объема сплошной среды можно переписать закон сохранения массы в дифференциальном виде как| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{\partial ( \rho \phi)}{\partial t} + \nabla \cdot ({\rho \bf u}) = q_m |
и называется уравнением непрерывности сплошной среды. | 