@wikipedia

Consider a differential volume  with surface area  and mass .

Пусть в этом объеме за время изменится масса сплошной среды за счет внешних источников (например, за счет притока флюида из ствола скважины, который вскрыл объем ).

Изменение массы  сплошной среды в этом объеме за время приводит к изменению плотности среды за то же время и притоку/оттоку флюида через поверхность объема за то же время:

\frac{d \, \delta M}{dt} = \int_{\delta V} \frac{d \rho_{\delta V}}{dt} dV +  \oint_{\delta \Sigma} {\bf j}_m \, dS

где , где – плотность флюида, – вектор скорости потока флюида.

В случае порового коллектора насыщенного флюидом, масса сплошной среды в объеме можно представить как сумму массы скелета пород и массы флюида в порах : .

В процессе фильтрации изменением плотности материала пород можно пренебречь по сравнению с изменениями плотности флюида и, следовательно, масса скелета пород в данном объеме не меняется т. е. .

При этом плотность среды выражается через плотность флюида как .

Тогда закон сохранения массы среды запишется в виде:

\frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} \frac{d (\rho \phi)}{dt} dV +  \oint_{\delta \Sigma} \rho {\bf u} \, dS

Выражая поверхностный интеграл через объемный

\oint_{\delta \Sigma} \rho {\bf u} \, dS = \int_{\delta V} \nabla \cdot (\rho {\bf u}) dV

получим закон сохранения массы в виде:

\frac{d \, \delta m}{dt} = \int_{\delta V} \bigg( \frac{d (\rho \phi)}{dt} + \nabla \cdot (\rho {\bf u}) \bigg) dV 

Обозначим изменение массы флюида в выделенном объеме пласта за счет внешних источников через скорость притока массы и перепишем закон сохранения массы как

 \frac{d \, \delta m}{dt} =  \int_{\delta V} q_m dV = \int_{\delta V} \bigg( \frac{d (\rho \phi)}{dt} + \nabla \cdot (\rho {\bf u}) \bigg) dV 

и в силу произвольности выбора объема сплошной среды можно переписать закон сохранения массы в дифференциальном виде как

\frac{\partial ( \rho \phi)}{\partial t} + \nabla \cdot ({\rho \bf u}) = q_m

и называется уравнением непрерывности сплошной среды.