Профиль давления

В процессе эксплуатации нагнетательной скважины движение флюида вдоль ствола

условию баланса массы движущегося потока:

 A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const

и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d}

где

Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.

Уравнение

\frac{dp}{dl} =  \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_f

где

\bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g = \rho \, g \, \sin \theta,

\bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v = - \rho \, v \, \frac{dv}{dl},

\bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_f = - \frac{ f \, \rho v^2}{2 d},

Для несжимаемой жидкости

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl}

и может быть явно проинтегрировано:

p(l) - \rho \, g \, l \, \sin \theta +  \frac{1}{2} \rho \, v^2 = \rm const

и называется уравнением Бернулли.

\frac{\partial (\rho A)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial l} \big( A \, \rho \, v \big) = 0

\frac{\partial (\rho A)}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial l} \big( A \, \rho \, v \big) = 0

dF_p \bigg |_{l_{\perp}} + dF_g \bigg |_{l_{\perp}} + dF_f \bigg |_{l_{\perp}}+ dF_N \bigg |_{l_{\perp}} =0

 dF_p \bigg |_l + dF_g \bigg |_l + dF_f \bigg |_l+ dF_N \bigg |_l = \frac{d I}{dt}\bigg |_l

- A dp + \rho \, A\, \delta l \, g \, \sin \theta - \frac{f \, \rho \, v^2}{2 d} \, A \, \delta l = \rho \, A \, v \, dv

Если дебит скважины на устье составляет

A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s

откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:

v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)}

Подставляя 

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Далее учтем, что угол наклона к горизонту

\sin \theta = \frac{dz}{dl}

и уравнение для давление примет вид:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} -  \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра 

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления

\frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl} 
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl}

где

\bigg( 1 -  \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}   \bigg )  \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl}  - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)}

Функция

Как будет показано ниже коэффициент трения

Если предположить постоянство коэффициента трения

p(l) = p_s + \rho \, g \, z(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s \, l

Pressure gradient will be:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \cos \theta(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s 

where

The first term defines the hydrostatic column of static fluid while the last term defines the friction losses under fluid movement:

\frac{dp}{dl} \Bigg|_{loss} =  \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s 

В калькуляторе Well Flow Performance Calculator можно оценить величину потерь на трения для различных сценариев диаметров труб и дебитов скважин.

Коэффициент трения

Коэффициент трения Дарси

Для гладкой трубы

f = 64 \, \rm Re^{-1}

f = 0.32 \, \rm Re^{-0.25}

f = 0.184 \, \rm Re^{-0.2}

где

Для переходных и турбулентных режимов течения коэффициент трения удовлетворяет эмпирической модели Колбрука-Уайта (Colebrook–White), которая учитывает шероховатость внутренней поверхности трубы

\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \, \log \Bigg( \frac{\epsilon}{3.7 \, d}  + \frac{2.51}{{\rm Re} \sqrt{f}} \Bigg)

Типичное значение шероховатости труб

Существует множество явных аппроксимаций решения уравнения

f = 0.25 \, \bigg[ \log \bigg( \frac{\epsilon / d}{3.7065} - \frac{5.0272}{\rm Re} \log \Lambda \bigg)   \bigg]^{-2}

где

\Lambda = \frac{(\epsilon/d)}{3.827} - \frac{4.657}{\rm Re} \log \Bigg[  \bigg( \frac{\epsilon/d}{7.7918} \bigg)^{0.9924} + \bigg( \frac{5.3326}{208.815+Re} \bigg)^{0.9345} \Bigg]

Однако, в пределах измерительной погрешности (< 2 %) можно пользоваться универсальной корреляцией (Churchil) для всех режимов течения, от ламинарного до сильно турбулентного:

f = \frac{64}{\rm Re} \, \Bigg [ 1+ \frac{\big(\rm Re / 8 \big)^{12} }{ \big( \Theta_1 + \Theta_2 \big)^{1.5} }  \Bigg]^{1/12}

где

Как видно из вышеприведенных корреляций, коэффициент трения меняется в зависимости от скорости потока и соответствующего числа Рейнольдса.

Основным вкладом в вариабельность коэффициента трения вдоль трубы является диаметр трубы в данной точке траектории скважины, который может приводить к значительным изменениям скорости потока.

Тем не менее, зависимость от дебита является слабой. Из формулы

Еще более слабой является вариабельность коэффициента трения от давления вдоль ствола, что можно проиллюстрировать следующими соображениями.

Зависимость коэффициента трения от давления формируется только через число Рейнольдса:

При этом число Рейнольдса

{\rm Re} = \frac{ d \, \rho_s \, q_s}{A \, \mu(p)}

отсюда следует, что зависимость коэффициента трения от давления формируется вязкостью

δμ/μ = 25 % при вариации μ = 2.4·10^-5 Па · с для p = 1 атм до μ = 3.0·10^-5 Па · с для 300 атм (cм. Свойства воды).

Это приводит к 25 % вариации коэффициента трения для ламинарного потока (в котором сила трения минимальна) и порядка 4.5 % для турбулентного потока (и максимальным вкладом трения).

Для оценки числа Рейнольдса для нагнетаемой по 2.5 " НКТ воды можно пользоваться формулой

Отсюда видно, что при дебитах более 18 м³/сут число Рейнольдса становится больше 4,000 и режим течения является турбулентным и коэффициент трения можно считать практически постоянным вдоль ствола нагнетательной скважины.

А учитывая, что рост давления с глубиной сопровождается увеличением температуры, что компенсирует рост вязкости воды, то для большинства практических реализаций ППД можно полагать, что вариация коэффициента трения вдоль ствола не превышает 2-3 % и в оценках потери напора на трение принимать коэффициент трения постоянным

Профиль температуры 

В отличие от задач гидравлики процессы теплообмена существенно нестационарны и температурный профиль жидкости и окружающих скважину пород будет непрерывно меняться в процессе закачки.

Хотя со временем изменения могут становиться настолько малы, что ими можно пренебречь в пределах погрешности измерительной аппаратуры в пределах времени конкретного исследования скважины.

В этом случае говорят о квазистационарном распределении температурного поля.

Помимо этого процесс распространения тепла идет не только в стволе скважины, где распространяется поток, но и далеко за ее пределами, что приводит к необходимости решать задачу и температурном поле скважины в совокупности с прилегающими к ней породами, что увиливает размерность задачи с одномерной до трехмерной (или двухмерной в случае осевой симметрии теплофизических параметров пород).

Поэтому решение задачи термометрии в стволах скважины формулируется на две температурные функции:

Температурный профиль

\rho \, c \, \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{d}{dl} \, \bigg( \lambda \, \frac{dT}{dl} \bigg)  - \rho \, c \, v \, \frac{dT}{dl}

с начальным условием:

T(t=0, l) = T_g(l)

и граничным условием на поверхности:

T(t, l=0) = T_s(t)

Распределение температуры в массиве горных пород

\rho_e \, c_e \, \frac{\partial T_e}{\partial t} = \nabla ( \lambda_e \nabla T_e)

с начальным условием:

T_e(t=0, l, r) = T_g(l)

и граничным условием на бесконечном удалении от скважины:

T_e(t, l, r \rightarrow \infty) = T_g(l)

Геотермическое распределение температуры (также называемое геотермой) вдоль ствола скважины

T_g(l) = T_{0e} + \int_{z_0}^{z(l)} G_T(z) dz = T_{0e} + \int_{l_0}^l G_T(z(l)) \sin \theta dl 

геотермический градиент задается отношением регионального теплового потока из недр Земли

G_T(z(l)) = \frac{j_e}{\lambda_e(l)}

где

В регионах, где геотермический градиент остается постоянным

T_g(l) = T_{0e} + G_T \, z 

Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле

Справедливости ради стоит заметить, что эта проблема становится актуальной при анализе термограмма в бурящих и добывающих скважинах, а при анализе водяных нагнетательных скважин, использование постоянного усредненного термоградиента вполне допустимо.

Замыкает систему уравнений условие теплобмена между жидкостью в стволе скважины и окружающими горными породами, задаваемое условием непрерывности радиального теплового потока:

2 \pi \, \lambda_e \, r_w \, \frac{\partial T_e}{\partial r} \, \bigg|_{r=r_w} = 2 \pi \, r_f \, U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg)

где

j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_f } =  \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_f  } = U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg) 

j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_w } =  \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_w  } = \lambda \, \frac{\partial T}{\partial r}

Эта задача решается численными методами.

Но для простых случаев есть аналитические оценки, которые правильно воспроизводят крупномасштабные формы температурного профиля.

Одна из популярных аналитических моделей для стационарной (

(

T(t, l) = T_{0e} + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta  +  \big( T_s - T_{0e} + R(t) \, G_T \, \sin \theta \big)  \, e^{ - l/R(t)} 

где

R(t) = \frac{q_s}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg)

T_D(t) = \ln \big[ e^{-0.2 \, t_D} + (1.5 - 0.3719 \, e^{-t_D}) \, \sqrt{t_D} \big]  

t_D(t) = \frac{a_e \, t}{r_w^2}

a_e = \frac{\lambda_e}{ c_e \, \rho_e}