Page History

...

Show If

group	editors

Panel

bgColor	papayawhip

Expand

title	Editor

Для модели движения летучей нефти в пласте

LaTeX Math Block Reference

anchor	divW
page	SFLBSZN:Модель фильтрации Летучей (Volatile Oil) и Нелетучей (Black Oil)

–

LaTeX Math Block Reference

anchor	swsosg
page	SFLBSZN:Модель фильтрации Летучей (Volatile Oil) и Нелетучей (Black Oil)

положим температуру постоянной во времени и раскроем производные по времени:

LaTeX Math Block

anchor	T_cond
alignment	left

T(t, \mathbf{r} ) = T = const

и раскроем производные по времени:

Section

Column

width	25%

LaTeX Math Block

anchor	divW
alignment	left

s_w \partial_t \bigg (  \frac{\phi}{B_w}  \bigg )  +  \frac{\phi}{B_w} \partial_t s_w
+  \nabla  \bigg (  \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w  \bigg )      = q_W(\mathbf{r})

LaTeX Math Block

anchor	divO
alignment	left

s_o \partial_t  \bigg (  \frac{\phi}{B_o} \bigg ) + s_g \partial_t  \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g}  \bigg )  
 
+ \bigg (  \frac{\phi}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o + \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g}  \bigg ) \partial_t s_g
 
+ \nabla  \bigg (     \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o 
+    \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g   \bigg )       = q_O(\mathbf{r})

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

s_g \partial_t \bigg (  \frac{\phi}{B_g} \bigg ) + s_o \partial_t \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o}  \bigg )   
 
+  \bigg (  \frac{\phi}{B_g} \bigg ) \partial_t s_g +  \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o}  \bigg )  \partial_t s_o
 
+   \nabla  \bigg (     \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g

+    \frac{R_s}{B_o} \  \mathbf{u}_o           \bigg )     = q_G(\mathbf{r})

Column

width	20%

LaTeX Math Block

anchor	uW
alignment	left

\mathbf{u}_w = - \alpha_w \ ( \nabla  P_w - \rho_w \ \mathbf{g} )

LaTeX Math Block

anchor	uO
alignment	left

\mathbf{u}_o = - \alpha_o \ (  \nabla P_o - \rho_o \ \mathbf{g} )

LaTeX Math Block

anchor	uG
alignment	left

\mathbf{u}_g = - \alpha_g \ (  \nabla P_g - \rho_g \ \mathbf{g} )

Column

width	20%

LaTeX Math Block

anchor	CapilarOW
alignment	left

P_o - P_w = P_{cow}(s_w)

LaTeX Math Block

anchor	CapilarOG
alignment	left

P_o - P_g = P_{cog}(s_g)

LaTeX Math Block

anchor	swsosg
alignment	left

s_w + s_o + s_g = 1

где

Section

Column

width	10%

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

\alpha_w = k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w}

Column

width	10%

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

\alpha_o = k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o}

Column

width	10%

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

\alpha_g = k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g}

Column

width	50%

Учитывая, что пористость и PVT параметры явно не зависят от времени, но являются функциями от текущего давления компоненты в данной точке пласта:

LaTeX Math Block

anchor	divW
alignment	left

s_w \bigg ( \frac{\phi}{B_w}\bigg )^{\LARGE \cdot}  \partial_t P_w   +  \frac{\phi}{B_w} \partial_t s_w 
 
+ \nabla \cdot \bigg (  \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w   \bigg )   = q_W(\mathbf{r})

LaTeX Math Block

anchor	divO
alignment	left

s_o   \bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_o + s_g   \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g}  \bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_g 
 
+ \bigg (  \frac{\phi}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o + \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g}  \bigg ) \partial_t s_g
 
+  \nabla  \bigg (  \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o  +  \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g   \bigg )   = q_O(\mathbf{r})

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

s_g  \bigg (  \frac{\phi}{B_g} \bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_g + s_o  \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o}  \bigg )^{\LARGE \cdot} \partial_t P_o   
 
+  \bigg (  \frac{\phi}{B_g} \bigg ) \partial_t s_g +  \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o}  \bigg )  \partial_t s_o
 
+   \nabla  \bigg (   \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g +  \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o  \bigg )  = q_G(\mathbf{r})

где точка означает производную по давлению

LaTeX Math Block

anchor	divW
alignment	left

\bigg (  \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{d}{dP} \bigg (  \bigg )

Прямое вычисление дает:

Section

Column

width	25%

LaTeX Math Block

anchor	divW
alignment	left

\bigg ( \frac{\phi}{B_w} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_w} (c_r + c_w)

LaTeX Math Block

anchor	divW
alignment	left

\bigg ( \frac{\phi \ R_v}{B_g} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_g} ( \dot R_v + (c_r + c_g) \ R_v)

Column

width	20%

LaTeX Math Block

anchor	divW
alignment	left

\bigg ( \frac{\phi}{B_o} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_o} (c_r + c_o)

LaTeX Math Block

anchor	divW
alignment	left

\bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_o} (\dot R_s + (c_r + c_o) \ R_v)

Column

width	20%

LaTeX Math Block

anchor	divW
alignment	left

\bigg ( \frac{\phi}{B_g} \bigg )^{\LARGE \cdot} = \frac{\phi}{B_g} (c_r + c_g)

Column

width	50%

и соответственно

LaTeX Math Block

anchor	divW
alignment	left

 \frac{\phi}{B_w} s_w (c_r + c_w) \  \partial_t P_w   +  \frac{\phi}{B_w} \partial_t s_w    
 
+  \nabla \cdot \bigg (  \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w  \bigg )   = q_W(\mathbf{r})

LaTeX Math Block

anchor	divO
alignment	left

\frac{\phi}{B_o} s_o (c_r + c_o) \ \partial_t P_o +  \frac{\phi }{B_g} s_g \big( \dot R_v + (c_r + c_w) R_v \big) \ \partial_t P_g 
 
+ \bigg (  \frac{\phi}{B_o} \bigg ) \partial_t s_o + \bigg ( \frac{\phi \ R_v }{B_g}  \bigg ) \partial_t s_g
 
+ \nabla  \bigg (  \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o + \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g  \bigg )  = q_O(\mathbf{r})

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

\frac{\phi}{B_g} s_g (c_r + c_g) \ \partial_t P_g +  \frac{\phi}{B_o}  s_o \big( \dot R_s + (c_r + c_o) R_s \big) \ \partial_t P_o 
 
+  \bigg (  \frac{\phi}{B_g} \bigg ) \partial_t s_g +  \bigg ( \frac{\phi \ R_s}{B_o}  \bigg )  \partial_t s_o  
 
+  \nabla  \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g +  \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o  \bigg )  = q_G(\mathbf{r})

Домножая обе части всех уравнений непрерывности на соотвествующий объемный коэффициент, получим:

LaTeX Math Block

anchor	divW
alignment	left

\phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big]  \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w       
 
+ B_w  \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w     \bigg )      = B_w \ q_W(\mathbf{r})

LaTeX Math Block

anchor	divO
alignment	left

\phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o +  \phi \big[ \frac{B_o \ \dot R_v}{B_g}  s_g +  \frac{B_o R_v}{B_g} (c_r s_g + c_g s_g)   \big] \partial_t P_g 
 
+ \phi \partial_t s_o +  \big( \frac{\phi B_o R_v }{B_g}  \big) \partial_t s_g
+ B_o \nabla  \bigg (  \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o +  \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g  \bigg ) = B_o \ q_O(\mathbf{r})

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

\phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g +  \phi \big[  \frac{B_g \ \dot R_s}{B_o}  s_o + \frac{B_g R_s}{B_o} (c_r s_o + c_o s_o)  \big] \partial_t P_o   
 
+  \phi \partial_t s_g +   \big( \frac{\phi B_g R_s}{B_o}  \big)  \partial_t s_o 
+  B_g \nabla  \bigg (  \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g +  \frac{R_s}{B_o} \  \mathbf{u}_o  \bigg )   = B_g \ q_G(\mathbf{r})

Учтем, что

LaTeX Math Block

anchor	N7PL3
alignment	left

B_w \ q_W  = q_w \, - \, \textrm{объемный дебит водяной компоненты в пластовых условиях}

LaTeX Math Block

anchor	EN3KB
alignment	left

B_o \ q_O  = B_o \bigg( \frac{q_o}{B_o} + \frac{R_v q_g}{B_g}  \bigg) = q_o + \frac{R_v B_o}{B_g} q_g \, - \, \textrm{объемный дебит нефтяной компоненты в пластовых условиях}

LaTeX Math Block

anchor	HMCC3
alignment	left

B_g \ q_G  = B_g \bigg( \frac{q_g}{B_g} + \frac{R_s q_o}{B_o}  \bigg) = q_g + \frac{R_s B_g}{B_o} q_o \, - \, \textrm{объемный дебит газовой компоненты в пластовых условиях}

и следовательно:

LaTeX Math Block

anchor	929QO
alignment	left

\phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big]  \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w       

+ B_w  \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w     \bigg )      = q_w(\mathbf{r})

LaTeX Math Block

anchor	N24SA
alignment	left

\phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o +  \phi \big[ \frac{B_o \ \dot R_v}{B_g}  s_g +  \frac{B_o R_v}{B_g} (c_r s_g + c_g s_g)   \big] \partial_t P_g 

+ \phi \partial_t s_o +  \big( \frac{\phi B_o R_v }{B_g}  \big) \partial_t s_g
+ B_o \nabla  \bigg (  \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o +  \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g  \bigg ) = \bigg( q_o(\mathbf{r}) + \frac{R_v B_o}{B_g} q_g(\mathbf{r}) \bigg)

LaTeX Math Block

anchor	O37X4
alignment	left

\phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g +  \phi \big[  \frac{B_g \ \dot R_s}{B_o}  s_o + \frac{B_g R_s}{B_o} (c_r s_o + c_o s_o)  \big] \partial_t P_o   
+  \phi \partial_t s_g +   \big( \frac{\phi B_g R_s}{B_o}  \big)  \partial_t s_o 
+  B_g \nabla  \bigg (  \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g +  \frac{R_s}{B_o} \  \mathbf{u}_o  \bigg )   = \bigg( q_g(\mathbf{r}) + \frac{R_s B_g}{B_o} q_o(\mathbf{r}) \bigg)

Введем обозначение для нормированных коэффициентов межфазового обмена и их производных по давлению:

Section

Column

width	10%

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

R_{vn} = \frac{B_o R_v}{B_g}

Column

width	10%

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

R_{sn} = \frac{B_g R_s}{B_o}

Column

width	10%

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

R_{vp} = \frac{B_o \dot R_v}{B_g}

Column

width	10%

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

R_{sp} = \frac{B_g \dot R_s}{B_o}

Column

width	50%

и уравнения непрерывности принимают вид:

LaTeX Math Block

anchor	ECXOK
alignment	left

\phi s_w ( c_r  + c_w ) \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w       

+ B_w  \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w     \bigg )      = q_w(\mathbf{r})

LaTeX Math Block

anchor	CBR2P
alignment	left

\phi s_o (c_r + c_o ) \partial_t P_o +  \phi s_g \big( R_{vp}  +  R_{vn} (c_r + c_g)   \big) \partial_t P_g 

+ \phi \partial_t s_o +   \phi R_{vn}   \partial_t s_g
+ B_o \nabla  \bigg (  \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o +  \frac{R_{vn}}{B_o} \ \mathbf{u}_g  \bigg ) = \big( q_o(\mathbf{r}) + R_{vn} q_g(\mathbf{r}) \big)

LaTeX Math Block

anchor	M466N
alignment	left

\phi s_g ( c_r + c_g ) \partial_t P_g +  \phi s_o \big(  R_{sp} + R_{sn} (c_r + c_o )  \big) \partial_t P_o   
+  \phi \partial_t s_g +   \phi R_{sn} \partial_t s_o 
+  B_g \nabla  \bigg (  \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g +  \frac{R_{sn}}{B_g} \  \mathbf{u}_o  \bigg )   = \big( q_g(\mathbf{r}) + R_{sn} q_o(\mathbf{r}) \big)

Введем допущение о том, что распределение объемных коэффициентов всех фаз медленно меняется по объему пласта

(что хорошо выполняется, так как объемные коэффициенты представляют собой более медленные функции, чем само давление):

LaTeX Math Block

anchor	PZ_gradB
alignment	left

|  \nabla B_w | \sim 0 \ , \quad |  \nabla B_o | \sim 0 \ ,  \quad |  \nabla B_g | \sim 0

и можно считать объемный коэффициент локально постоянным и внести его под знак градиента:

LaTeX Math Block

anchor	divW
alignment	left

\phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big]  \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w       
 
+  \nabla \mathbf{u}_w   = q_w

LaTeX Math Block

anchor	divO
alignment	left

\phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o +  \phi \big[ \frac{B_o}{B_g} \dot R_v s_g +  \frac{B_o R_v}{B_g} (c_r s_g + c_g s_g)   \big] \partial_t P_g 
 
+ \phi \partial_t s_o +  \big( \frac{\phi \ B_o \ R_v }{B_g}  \big) \partial_t s_g
+  \nabla  \bigg ( \mathbf{u}_o +  \frac{B_o \ R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g  \bigg )  = \bigg( q_o + \frac{R_v B_o}{B_g} q_g \bigg)

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

\phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g +  \phi \big[  \frac{B_g}{B_o} \dot R_s s_o + \frac{B_g R_s}{B_o} (c_r s_o + c_o s_o)  \big] \partial_t P_o   
 
+  \phi \partial_t s_g +   \big( \frac{\phi \ B_g \ R_s}{B_o}  \big)  \partial_t s_o 
+    \nabla  \bigg ( \mathbf{u}_g +  \frac{B_g \ R_s}{B_o} \  \mathbf{u}_o  \bigg )  = \bigg( q_g + \frac{R_s B_g}{B_o} q_o \bigg)

откуда

LaTeX Math Block

anchor	divW
alignment	left

\phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big]  \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w       
 
+  \nabla  \mathbf{u}_w  = q_w

LaTeX Math Block

anchor	divO
alignment	left

\phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o +  \phi \big[ R_{vp} s_g +  R_{vn} (c_r s_g + c_g s_g)   \big] \partial_t P_g 
 
+ \phi ( \partial_t s_o +  R_{vn} \partial_t s_g )
+   \nabla  \bigg ( \mathbf{u}_o +  R_{vn} \mathbf{u}_g  \bigg )  = ( q_o + R_{vn} q_g )

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

\phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g +  \phi \big[ R_{sp} s_o + R_{sn} (c_r s_o + c_o s_o)  \big] \partial_t P_o   
 
+  \phi ( \partial_t s_g +   R_{sn} \partial_t s_o )
+   \nabla  \bigg ( \mathbf{u}_g +  R_{sn} \  \mathbf{u}_o  \bigg )  = ( q_g + R_{sn} q_o )

Подставим в вышеприведенные уравнения непрерывности выражения для скоростей каждой компоненты

LaTeX Math Block Reference

anchor	uW

–

LaTeX Math Block Reference

anchor	uG

:

LaTeX Math Block

anchor	BUSQ6
alignment	left

\phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big]  \partial_t P_w + \phi \partial_t s_w       

-  \nabla \big( \alpha_w   ( \nabla P_w  - \rho_w \mathbf{g} ) \big)  = q_w(\mathbf{r})

LaTeX Math Block

anchor	WQBYG
alignment	left

\phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P_o +  \phi \big[ R_{vp} s_g +  R_{vn} (c_r s_g + c_g s_g)   \big] \partial_t P_g 

+ \phi ( \partial_t s_o +  R_{vn} \partial_t s_g )

  - \ \nabla  \bigg ( \alpha _o ( \nabla P_o - \rho_o \mathbf{g}) +  R_{vn} \alpha_g ( \nabla P_g -\rho_g \mathbf{g} )  \bigg )  = ( q_o + R_{vn} q_g )

LaTeX Math Block

anchor	1BQCV
alignment	left

\phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P_g +  \phi \big[ R_{sp} s_o + R_{sn} (c_r s_o + c_o s_o)  \big] \partial_t P_o   

+  \phi ( \partial_t s_g +   R_{sn} \partial_t s_o )

-    \nabla  \bigg ( \alpha_g ( \nabla P_g - \rho_g \mathbf{g}) +  R_{sn} \alpha_o (  \nabla P_o - \rho_o \mathbf{g} )  \bigg )  = ( q_g + R_{sn} q_o )

Введем понятие среднего давления по всем фазам:

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

P = \frac{1}{3} ( P_w + P_o + P_g)

через которое однозначно выражается давление каждой фазы:

Section

Column

width	10%

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

P_w = P +\frac{1}{3} (-2 P_{cow} + P_{cog})

Column

width	10%

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

P_o = P +\frac{1}{3} (P_{cow} + P_{cog})

Column

width	10%

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

P_g = P +\frac{1}{3} (P_{cow} - 2 P_{cog})

Column

width	40%

и предположим, что в течение исследуемого процесса насыщенности меняются так слабо, что изменением капиллярного давления во времени и пространстве можно пренебречь:

LaTeX Math Block

anchor	PZ_dP_gradP_zero
alignment	left

\partial_t P_{cow}(s) \sim 0  \quad \partial_t P_{cog}(s) \sim 0  \quad | \nabla P_{cow}(s) | \sim 0  \quad | \nabla P_{cog}(s) | \sim 0

и следовательно производные по времени и пространственные градиенты фазовых давлений определяются средне-фазовым давлением

LaTeX Math Block

anchor	divG
alignment	left

\partial_t P_w = \partial_t P_o = \partial_t P_g = \partial_t P

LaTeX Math Block

anchor	VNAXY
alignment	left

 \nabla P_w =  \nabla P_o =  \nabla P_g =  \nabla P

а уравнения непрерывности примут вид:

LaTeX Math Block

anchor	X6KRU
alignment	left

\phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big]  \partial_t P + \phi \partial_t s_w       
- \nabla \big( \alpha_w   ( \nabla P  - \rho_w \mathbf{g} ) \big)  = q_w

LaTeX Math Block

anchor	ZMA4D
alignment	left

\phi \big[ c_r s_o + c_o s_o \big] \partial_t P +  \phi \big[ R_{vp} s_g +  R_{vn} (c_r s_g + c_g s_g)   \big] \partial_t P 

+ \phi ( \partial_t s_o +  R_{vn} \partial_t s_g )

  -  \nabla  \big( \alpha _o ( \nabla P - \rho_o \mathbf{g}) +  R_{vn} \alpha_g ( \nabla P -\rho_g \mathbf{g} )  \big)  = ( q_o + R_{vn} q_g )

LaTeX Math Block

anchor	729JB
alignment	left

\phi \big[ c_r s_g + c_g s_g \big] \partial_t P +  \phi \big[ R_{sp} s_o + R_{sn} (c_r s_o + c_o s_o)  \big] \partial_t P  

+  \phi ( \partial_t s_g +   R_{sn} \partial_t s_o )

-    \nabla  \big( \alpha_g (\nabla P - \rho_g \mathbf{g}) +  R_{sn} \alpha_o ( \nabla P - \rho_o \mathbf{g})  \big)  = ( q_g + R_{sn} q_o )

или

LaTeX Math Block

anchor	TQXMY
alignment	left

\phi \big[ c_r s_w + c_w s_w \big]  \partial_t P + \phi \partial_t s_w       
-  \nabla \big( \alpha_w  \nabla P  \big) +  \nabla ( \alpha_w \rho_w \mathbf{g} )  = q_w

LaTeX Math Block

anchor	87C0T
alignment	left

\phi \big[ c_r s_o + c_o s_o + R_{vp} s_g +  R_{vn} (c_r s_g + c_g s_g)   \big] \partial_t P 

+ \phi ( \partial_t s_o +  R_{vn} \partial_t s_g )

  -  \nabla  \big( (\alpha _o + R_{vn} \alpha_g)  \nabla P \big) +  \nabla ( \alpha_o \rho_o \mathbf{g} + R_{vn} \alpha_g \rho_g \mathbf{g}  )   = ( q_o + R_{vn} q_g )

LaTeX Math Block

anchor	2T0L1
alignment	left

\phi \big[ c_r s_g + c_g s_g + R_{sp} s_o + R_{sn} (c_r s_o + c_o s_o)  \big] \partial_t P  

+  \phi ( \partial_t s_g +   R_{sn} \partial_t s_o )

-  \nabla  \big( (\alpha_g + R_{sn} \alpha_o)  \nabla P \big) +  \nabla ( \alpha_g \rho_g \mathbf{g} + R_{sn} \alpha_o \rho_o \mathbf{g} )  = ( q_g + R_{sn} q_o )

В вышеприведенных уравнениях разные коэффициенты при производных зависят от фазовых давлений, например:

LaTeX Math Inline

body	c_w = c_w(P_w)

,

LaTeX Math Inline

body	c_o = c_o(P_o)

,

LaTeX Math Inline

body	c_g = c_g(P_g)

.

Но в силу слабой зависимости этих коэффициентов от давления в целом, можно пренебречь капиллярным различием в аргументах и считать, что все коэффициенты зависят от средне-фазового давления, например:

LaTeX Math Inline

body	c_w = c_w(P)

,

LaTeX Math Inline

body	c_o = c_o(P)

,

LaTeX Math Inline

body	c_g = c_g(P)

, хотя это конечно приводит к небольшой потере точности в расчетах.

Сложим все три уравнения и учтем, что

LaTeX Math Inline

body	s_w + s_o + s_g = 1

:

LaTeX Math Block

anchor	1
alignment	left

\phi \big[ c_r (1 + R_{sn} s_o + R_{vn} s_g) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g (1 + R_{vn}) + R_{sp} s_o + R_{vp} s_g \big] \partial_t P + \phi R_{vn} \partial_t s_g  + \phi R_{sn} \partial_t s_o  \, -

LaTeX Math Block

alignment	left

- \,   \nabla  \big ( ( \alpha_w + \alpha_o (1+ R_{sn})  + \alpha_g (1 + R_{vn}) )  \nabla P   \big ) 


+  \nabla (\alpha_w \rho_w \mathbf{g} + \alpha_o \rho_o \mathbf{g} + R_{vn} \alpha_g \rho_g \mathbf{g} + \alpha_g \rho_g \mathbf{g} + R_{sn} \alpha_o \rho_o \mathbf{g} )
 
\, = \, q_w  + ( q_o + R_{vn} q_g )  + ( q_g + R_{sn} q_o )

Введем обозначения:

LaTeX Math Block

anchor	VJSJN
alignment	left

c_t =  c_r (1 + R_{sn} s_o + R_{vn} s_g) + c_w s_w + c_o s_o (1+R_{sn}) + c_g s_g (1 + R_{vn}) + R_{sp} s_o + R_{vp} s_g

для эффективной сжимаемости мультифазного пласта

LaTeX Math Block

anchor	C1KCN
alignment	left

\alpha = \alpha_w + \alpha_o (1+ R_{sn})  + \alpha_g (1 + R_{vn})

для эффективной проводимости пласта, насыщенного мультифазным флюидом

LaTeX Math Block

anchor	OT30K
alignment	left

\rho_{\alpha} = \frac{ \alpha_{rw} \rho_w + \alpha_{ro} \rho_o (1 + R_{sn})  + \alpha_{rg} \rho_g (1+R_{vn}) }{ \alpha_{rw}  + \alpha_{ro}  (1 + R_{sn})  + \alpha_{rg}  (1+R_{vn}) }

для эффективной плотности мультифазного флюида

LaTeX Math Block

anchor	3D8WH
alignment	left

q_t = q_w + q_o + q_g = B_w \, q_W + (B_o - R_v \, B_g) \, q_O + (B_g - R_s \, B_o) \, q_G

для суммарного объемного дебита источника мультифазного флюида в данной точке (пластопересечение скважины)

и получим следующее уравнение, связывающее динамику среднефазового давления в пласте с динамикой насыщенности во времени:

LaTeX Math Block

anchor	7OTAI
alignment	left

\phi c_t \partial_t P + \phi R_{vn} \partial_t s_g  + \phi R_{sn} \partial_t s_o -    \nabla  \big ( \alpha ( \nabla P - \rho_{\alpha} \mathbf{g} )  \big ) = q_t

В предположении малости нормированных коэффициентов межфазового обмена и слабого изменения насыщенности во времени:

LaTeX Math Block

anchor	PZ_sat_zero
alignment	left

 R_{vn} \partial_t s_g  \sim 0,    \quad   R_{sn} \partial_t s_o \sim 0

мы приходим к следующему уравнению мультифазной диффузии давления в пласте:

LaTeX Math Block

anchor	PZ_fin
alignment	left

\phi c_t \partial_t P -   \nabla  \big ( \alpha (  \nabla P - \rho_{\alpha} \mathbf{g} )   \big )  = q_t

что соответствует внешне совпадает с уравнением однофазной фильтрации

LaTeX Math Block Reference

anchor	PZ_singlephase
page	MultiSingle-phase pressure diffusion

, которое внешне совпадает с уравнением однофазной фильтрации

@model

и называется уравнением мультифазной пьезодинамики.

Напомним, что это уравнение имеет смысл только при соблюдении следующих условий:

LaTeX Math Block

anchor	3EIM4
alignment	left

|  \nabla B_w | \sim 0 \ , \quad |  \nabla B_o | \sim 0 \ ,  \quad |  \nabla B_g | \sim 0

LaTeX Math Block

anchor	UCEOE
alignment	left

 R_{vn} \partial_t s_g  \sim 0,    \quad   R_{sn} \partial_t s_o \sim 0

LaTeX Math Block

anchor	W4VEU
alignment	left

\partial_t P_{cow}(s) \sim 0  \quad \partial_t P_{cog}(s) \sim 0

LaTeX Math Block

anchor	JTGBS
alignment	left

| \nabla P_{cow}(s) | \sim 0  \quad | \nabla P_{cog}(s) | \sim 0

При условии незначительного изменения температуры и насыщенности в пласте за время наблюдения, условия

LaTeX Math Block Reference

anchor	3EIM4

,

LaTeX Math Block Reference

anchor	UCEOE

,

LaTeX Math Block Reference

anchor	W4VEU

и

LaTeX Math Block Reference

anchor	JTGBS

практически всегда выполняются в основной массе пласта, что позволяет анализировать давление мультифазного потока согласно

LaTeX Math Block Reference

anchor	PZ_fin

и получать весьма аккуратное приближение по средне-фазовому давлению к решению полной системы

LaTeX Math Block Reference

anchor	divW
page	SFLBSZN:Модель фильтрации Летучей (Volatile Oil) и Нелетучей (Black Oil)

–

LaTeX Math Block Reference

anchor	swsosg
page	SFLBSZN:Модель фильтрации Летучей (Volatile Oil) и Нелетучей (Black Oil)

.

...

Page tree

Versions Compared

Old Version 14

New Version Current

Key