...
Рассмотрим однофазную фильтрацию ньютоновской жидкости
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
| anchor | MainPiezoEquation |
|---|
| page | Newtonian single-phase pressure diffusion (model) |
|---|
|
:
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | MainPiezoEquation |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \big( \alpha \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) \big) + c \alpha \nabla p \cdot \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) = q(t, {\bf r}) |
...
в результате чего дивергентный член уравнения непрерывности
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
| anchor | Continuity |
|---|
| page | Newtonian single-phase pressure diffusion (model) |
|---|
|
принимает вид
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | grad_rho=0 |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
\nabla \cdot ( \rho {\bf u} ) = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \rho \, c \, {\bf u} \cdot \nabla p = \rho \, (\nabla \cdot {\bf u} ) \bigg[ 1 + c \frac{{\bf u} \cdot \nabla p }{|\nabla {\bf u}|} \bigg] = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} |
...
| Expand |
|---|
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{|\nabla {\bf u}|}{{\bf u} \cdot \nabla p } = \frac{\Delta p - {\bf g} \cdot \nabla \rho }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }= \frac{\Delta p - \rho \, c \, {\bf g} \cdot \nabla p }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }
= c \frac{(1/c) \, \Delta p - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p } \ll
c \frac{|\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p }{ |\nabla p|^2 - \rho \, {\bf g} \cdot \nabla p } = c
\rightarrow |\nabla {\bf u}| \ll c {\bf u} \cdot \nabla p |
где – скорость потока флюида в пласте | LaTeX Math Block Reference |
|---|
| anchor | Darci |
|---|
| page | Newtonian single-phase pressure diffusion (model) |
|---|
|
|
Отсюда получается основное уравнение однофазной диффузии в приближении слабо-сжимаемого флюида:
...
| Линейная одномерная диффузия | Радиальная одномерная диффузия | Двумерная диффузия | Трехмерная диффузия |
|---|
Неоднородный пласт
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{k}{\mu} = \frac{k}{\mu} \big( x, \, y, \, z \big) |
|---|
|
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p}{\partial x} \bigg) + q(t, x) |
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \bigg( \frac{k}{\mu} \, r \, \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) + q(t, r) |
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \bigg[ \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial x} \bigg) +
\frac{\partial }{\partial y} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial y}\bigg)
\bigg] + q(t, x) |
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \bigg[ \frac{\partial }{\partial x} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial x} \bigg) +
\frac{\partial }{\partial y} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial y} \bigg)
+
\frac{\partial }{\partial z} \bigg( \frac{k}{\mu} \, \frac{\partial p} {\partial z}\bigg)
\bigg] + q(t, x) |
|
Однородный пласт
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{k}{\mu} = \rm const |
|---|
|
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \frac{\partial^2 p }{\partial x^2} + \frac{1}{\phi c_t} q(t, r) |
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \bigg(r \, \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) + \frac{1}{\phi c_t} q(t, r) |
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \bigg( \frac{\partial^2 p }{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 p }{\partial y^2} \bigg)+ \frac{1}{\phi c_t} q(t, r) |
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \bigg( \frac{\partial^2 p }{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 p }{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 p }{\partial z^2}
\bigg)+ \frac{1}{\phi c_t} q(t, r) |
|
Список ключевых параметров однофазной фильтрационной модели
|
|
|---|
| толщина пласта, где протекает фильтрация |
| пористость пласта |
| фазовая проницаемость пласта для данного флюида |
| вязкость флюида |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | c_r = - \frac{1}{\phi} \frac{d\phi}{dP} |
|---|
|
| сжимаемость порового скелета |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | c = \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dP} |
|---|
|
| сжимаемость флюида |
| сжимаемость пласта |
|
|
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \alpha =\frac{k} {\mu} |
|---|
|
| проводимость пласта |
| упругоемкость пласта |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \sigma = \frac{k \, h} {\mu} |
|---|
|
| гидропроводность пласта |
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \chi = \frac{\alpha}{\beta}= \frac{k} {\mu} \frac{1}{\phi c_t} |
|---|
|
| пьезопроводность пласта |
...
