Рассмотрим однофазную фильтрацию ньютоновской жидкости :
\phi \, c_t \, \frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot \big( \alpha \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) \big) + c \alpha \nabla p \cdot \big( \nabla p - \rho {\bf g} \big) = q(t, {\bf r}) |
Пласт называется слабо-сжимаемым, если:
1) параметры среды (пород и флюида), входящие в коэффициенты уравнения не зависят от давления:
, , , , ,
и, следовательно, ,
2) значение сжимаемости флюида достаточно низкое, чтобы соблюдалось условие
c \ll \frac{\Delta p}{ |\nabla p|^2 } |
в результате чего дивергентный член уравнения непрерывности принимает вид
\nabla \cdot ( \rho {\bf u} ) = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} + \rho \, c \, {\bf u} \cdot \nabla p = \rho \, (\nabla \cdot {\bf u} ) \bigg[ 1 + c \frac{{\bf u} \cdot \nabla p }{|\nabla {\bf u}|} \bigg] = \rho \, \nabla \cdot {\bf u} |
где – скорость потока флюида в пласте |
Отсюда получается основное уравнение однофазной диффузии в приближении слабо-сжимаемого флюида:
c_t \phi \, \frac{\partial p}{\partial t} = \nabla \big( \alpha \, ( \nabla p - \rho {\bf g} ) \big) + q(t, {\bf r}) |
которое теперь является линейным дифференциальным уравнением.
Условие по сути означает что изменение давления в объема пласте настолько медленное, что пространственным градиентом плотности можно пренебречь и следовательно
\nabla p - \rho {\bf g} = \nabla ( p - \rho {\bf g}) = \nabla \tilde p |
где – скорректированное давление на опорную глубину (датум), которая часто выбирается на уровне ВНК.
В результате уравнение пьезодинамики в приближении слабо-сжимаемого пласта принимает вид:
c_t \phi \, \frac{\partial \tilde p}{\partial t} = \nabla \big( \alpha \, \nabla \tilde p \big) + q(t, {\bf r}) |
В случае однородного коллектора и слабой зависимости вязкости от давления (что, как правило, всегда выполняется для слабо-сжимаемого приближения) основное уравнение пьезодинамики принимает вид:
\frac{\partial \tilde p}{\partial t} = \chi \Delta \tilde p + \frac{1}{\phi c_t} q(t, {\bf r}) |
где – пьезопроводность пласта (константа) и – упругоемкость пласта (константа).
В таблице 1 приведен явный вид уравнения однофазной пьезодинамики для наиболее популярных случаев фильтрационной симметрии.
Табл. 1
Линейная одномерная диффузия | Радиальная одномерная диффузия | Двумерная диффузия | Трехмерная диффузия | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Неоднородный пласт |
|
|
|
| ||||
Однородный пласт |
|
|
|
|
толщина пласта, где протекает фильтрация | |
пористость пласта | |
фазовая проницаемость пласта для данного флюида | |
вязкость флюида | |
сжимаемость порового скелета | |
сжимаемость флюида | |
сжимаемость пласта | |
проводимость пласта | |
упругоемкость пласта | |
гидропроводность пласта | |
пьезопроводность пласта |