Здесь представлены уравнения фильтрации модели летучей нефти (Volatile Oil) .
Уравнения движения модели нелетучей нефти (Black Oil) являются частным случаем модели летучей нефти (Volatile Oil) при R v =0 Rv=0.
Уравнения термогидродинамического движения "Летучей Нефти" в матрично-поровом коллекторе имеют следующий вид:
|
(\rho \,c_{pt})_p \frac{\partial T}{\partial t} - \ \phi \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \eta_{s \alpha} \ \frac{\partial P_\alpha}{\partial t} + \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \epsilon_\alpha \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \nabla P + \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \ \nabla T - \nabla (\lambda_t \nabla T) = 0 |
Расшифровка обозначений приведена в Списке динамических величин и параметров модели.
Уравнения – представляют собой уравнения непрерывности каждой компоненты флюида, то есть выражают закон сохранения массы каждой компоненты в процессе ее перемещения в пространстве.
Уравнения – представляют собой уравнения переноса каждой фазы, то есть выражают связь между скоростью потока фазы и градиентом давления этой фазы (в данной модели это линейный закон Дарси с учетом действия гравитации и эффекта фазовой проницаемости).
Уравнения – представляют собой условие гидродинамического равновесия фаз, выражающегося в виде связи между давлениями разных фаз , возникающее на их границе за счет капиллярных сил в поровом коллекторе (в отсутствии капиллярных сил гидродинамическое равновесие фаз сводится к простому равенству давлений всех фаз). При этом делается допущение, что на границе нефть-вода капиллярное давление зависит только от водонасыщенности , а на границе нефть-газ капиллярное давление зависит только от газонасыщенности .
Уравнения представляет собой связь между удельными поровыми объемами (насыщенностями) фаз .
Уравнение представляет собой уравнение непрерывности переноса тепловой энергии, то есть выражает закон сохранения тепловой энергии за счет кондуктивного и конвективного теплопереносов с учетом адибатического и дроссельного (Джоуль-Томсона) эффектов.
В зонах отсутствия коллектора () перенос тепла сводится в кондуктивному теплопереносу:
\rho_r \, c_{pr} \frac{\partial T}{\partial t} - \nabla (\lambda_t \nabla T) = 0 |
Эффективная удельная массовая теплоемкость пласта, насыщенного мультифазным флюидом, рассчитывается по следующей формуле:
(\rho \,c_{pt})_p = (1-\phi) \rho_r \, \ c_{pr} + \phi \ (s_w \rho_w \, c_{pw} + s_o \rho_o \, c_{po} + s_g \rho_g \, c_{pg} ) |
Эффективная теплопроводность пласта, насыщенного мультифазным флюидом, рассчитывается по следующей формуле:
\lambda_{t} = (1-\phi) \ \lambda_r + \phi \ (s_w \lambda_w + s_o \lambda_o + s_g \lambda_g ) |
Компонента описывает конвективный перенос тепла, то есть перенос тепла вместе с движущейся массой флюида.
Компонента описывает тепловой эффект (нагревание или охлаждение) от дросселирования мультифазного флюида сквозь поровую среду (эффект Джоуля-Томсона). Этот эффект наиболее сильно проявляется в легких нефтях и газах.
Компонента описывает тепловой эффект (нагревание или охлаждение) от адиабатического изменения давления мультифазного флюида. Этот эффект обычно наблюдается при быстрых сменах режима работы скважины и незначителен при моделировании квази-стационарных процессов переноса флюида в пласте и, как правило, не учитывается в задачах адаптации истории добычи скважин.
Система – представляет собой 16 скалярных уравнений на 16 неизвестных величины:
,
которые являются функциями времени и координат .
Выражая молярные плотности через массовые доли и плотности фаз (см. "Модель Летучей Нефти"), получаем:
|
Подставляя значения плотностей и массовых долей компонент (см. "Модель Летучей Нефти") и разделив каждое уравнение на плотность соотвествующей компоненты в стандартных условиях, получаем наиболее популярную форму записи уравнений движения Летучей Нефти:
|
В уравнениях – правые части равны нулю во всем объеме пласта за исключением контакта скважин с пластом, который описывается моделью скважины (см. ниже).
Начальное условие по температуре задается распределением температурного поля:
T(0, \mathbf{r}) = T_0(\mathbf{r}) |
Начальное условие на давления, скоростей и насыщенности задается одним из двух вариантов.
Стационарный старт означает, что до начального момента времени поле давлений , скоростей и насыщенностей находилось в стационарном (не меняющемся во времени) состоянии, соответствующем гидродинамическому равновесию:
|
Нестационарный старт означает, что к начальному моменту времени поле насыщенностей является произвольным, с условием
s_w(0, \mathbf{r}) + s_o(0, \mathbf{r}) + s_g(0, \mathbf{r}) = 1 |
поле давлений является произвольным с условием
P_o(0, \mathbf{r}) - P_w(0, \mathbf{r}) = P_{cow}(s_w) |
P_o(0, \mathbf{r}) - P_g(0, \mathbf{r}) = P_{cog}(s_g). |
При этом начальное поле скоростей автоматически рассчитывается по следующим формулам:
\mathbf{u}_w(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla P_w(0, \mathbf{r}) - \rho_w \ \mathbf{g} ) |
\mathbf{u}_o(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ ( \nabla P_o(0, \mathbf{r}) - \rho_o \ \mathbf{g} ) |
\mathbf{u}_g(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g(0, \mathbf{r}) - \rho_g \ \mathbf{g} ) |
На практике, нестационарное начальное поле давлений, скоростей и насыщенностей является, как правило, результатом промежуточных расчетов этой же модели, либо более крупной модели.
Краевое условие на температурное поле на внешней границе задается одним из двух вариантов
T(t, \mathbf{r}) |_{\Gamma_e} = T_e( \mathbf{r}) |
\big( \mathbf{n}, \nabla T(t, \mathbf{r} \big) \big |_{\Gamma_e} = \zeta \cdot \big( T(t, \mathbf{r}) - T_e( \mathbf{r}) \big) |
где – коэффициент теплообмена на границе резервуара.
Краевое условие на поле давления, скоростей насыщенности на внешней границе задается одним из двух вариантов
\big( \mathbf{n}, \ (\nabla P_\alpha(t, \mathbf{r}) - \rho_\alpha \mathbf{r}) \big) \big|_{\Gamma_e} = 0 |
где – вектор нормали к границе и .
P_\alpha(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_e} = P_i = const |
где .
Предполагается выполнение одного из двух условий на разломах (индивидуально по каждому разлому).
\big( \mathbf{n}, \ ( \nabla P_\alpha(t, \mathbf{r}) - \rho_\alpha \mathbf{g}) \big) \big|_{\Gamma_F} = 0 |
где – вектор нормали к разлому и .
... |
где .
Модель притока (или закачки) на каждой скважине связывает объемы добычи (закачки) каждой фазы и перепад давления в пласте и на забое скважины и задается следующей формулой:
P_w(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_o(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_g(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}}= P_{wf}(t) \big|_{\Gamma_{WRC}} |
где – линия контакта скважины и порового коллектора.
Забойное давление напротив точки контакта скважины и пласта (на глубине ) определяется по одному из трех популярных на практике условий:
Это условие предполагает, что в каждый момент времени известно опорное забойное давление на глубине , а забойное давление в каждой точке контакта скважины и пласта рассчитывается по формуле:
P_{wf}(t) = P_{wf}(t, h_0) + P_{\delta}(t, \delta h) |
где – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины.
При адаптации модели к промысловым данным это условие выполняется для
При прогнозных расчетах это условие выполняется для
При этом для фонтанной, газлифтной и насосной эксплуатации скважин с забойным давлением выше критического это условие не является физичным и необходимо прогнозировать работу скважины согласно Условию II.
Это условие предполагает, что известна добыча жидкости на сепараторе каждой скважины и изменение забойного давления на каждой скважине рассчитывается по формуле:
P_{wf}(t) = P_{wf}(t, h_{ref}) + P_{\delta}(t, \delta h) |
где – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины,
а опорное давление на глубине определяется по следующей формуле:
P_{wf}(t, h_{ref}) = \frac{ \int_{\Gamma_{WRC}} \bigg( \frac{M_w (P_{ew}- \delta P_{wf})}{B^S_w} + \frac{M_o (P_{eo}- \delta P_{wf})}{B^S_o} + \frac{R_v M_g (P_{eg}- \delta P_{wf})}{B^S_g} \bigg) T_h dh - q_L(t) } { \int_{\Gamma_{WRC}} \bigg( \frac{M_w}{B^S_w} + \frac{M_o}{B^S_o} + \frac{R_v M_g}{B^S_g} \bigg) T_h dh } |
которая обеспечивает устьевой дебит по жидкости в размере :
q_L(t) = q_W(t) + q_O(t) = \int_{\Gamma_{WRC}} \bigg( \frac{M_w (P_{ew} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_w} + \frac{M_o (P_{eo} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_o} + \frac{R_v M_g (P_{eg} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_g} \bigg) T_h dh |
Если пользователь ввел ограничение на минимальное забойное давление (определяемое например, глубиной спуска насоса или газлифтного клапана), то при достижении скважина автоматически переходит в режим постоянного давления:
P_w(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_o(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_g(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_{wf}^{min} = const |
которое будет сопровождаться изменением дебита всех фаз согласно – .
Этот режим соотвествует работе насоса с пониженным КПД и в случае если условия на границе контакта поменяются (например, в процессе подъема пластового давления) и потенциал забойного давления согласно поднимется выше , то скважина опять перейдет в режим работы с заданным дебитом .
При адаптации модели к промысловым данным это условие выполняется для всех типов добывающих и нагнетательных скважин, для которых отборы известны точно (что, кстати, далеко не всегда имеет место быть на практике).
При прогнозных расчетах это условие выполняется для
При этом для скважин с низким забойным давлением это условие не является физичным и необходимо прогнозировать работу скважины согласно Условию I.
Это условие предполагает, что добыча воды и газа неизвестна (или известна неточно) и забойное давление добывающей скважины в каждый момент времени определяется только значениями устьевых отборов нефти (которые, как правило, известны точно) по следующей формуле:
P_{wf}(t) = P_{wf}(t, h_{ref}) + P_{\delta}(t, \delta h) |
где – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины,
а опорное давление на глубине определяется по следующей формуле:
P_{wf}(t, h_{ref}) = \frac{ \int_{\Gamma_{WRC}} \bigg( \frac{M_o (P_{eo}- P_{\delta})}{B^S_o} + \frac{R_v M_g (P_{eg}- P_{\delta})}{B^S_g} \bigg) T_h dh - q_O(t) } { \int_{\Gamma_{WRC}} \bigg( \frac{M_o}{B^S_o} + \frac{R_v M_g}{B^S_g} \bigg) T_h dh } |
которая обеспечивает устьевой дебит по жидкости в размере :
q_O(t) = \int_{\Gamma_{WRC}} \bigg( \frac{M_o (P_{eo} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_o} + \frac{R_v M_g (P_{eg} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_g} \bigg) T_h dh |
Если пользователь ввел ограничение на минимальное забойное давление (определяемое например, глубиной спуска насоса или газлифтного клапана), то при достижении скважина автоматически переходит в режим постоянного давления
P_o(t, \vec r) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_{wf}^{min} = const |
которое будет сопровождаться изменением дебита по нефти согласно .
Этот режим соотвествует работе насоса с пониженным КПД и в случае если условия на границе контакта поменяются (например, в процессе подъема пластового давления) и потенциал забойного давления согласно поднимется выше , то скважина опять перейдет в режим работы с заданным дебитом .
Условие III по своему определению накладывается только на добывающие скважины и выполняется для всех типов добывающих скважин, для которых отборы нефти известны точно (что наиболее часто встречается на практике).
При этом условие на нагнетательных скважинах не оговорено и может быть как I-ого так и II-ого типа в зависимости от реализации системы ППД.
При прогнозных расчетах условие III использоваться не может в силу своей нефизичности, за исключением случая безводной эксплуатации недонасыщенной нефти, в котором это условие становится физичным и эквивалетным Условию II (контроль по жидкости).
На практике Условие III рекомендуется накладывать для первичной настройки модели (настройки ее базовых параметров) и потом рекомендуется переключать контроль на Условие I или Условие II в зависимости от промысловых условий эксплуатации скважин.
время и координаты, ось направлена вниз к центру Земли (вертикаль), определяют трансверсальную к вертикали плоскость с произвольным выбором начала координат | |
радиус-вектор точки, в которой записаны уравнения, начальные и краевые условия | |
скорость изменения массы водяной компоненты за счет дренирования скважиной | |
скорость изменения массы нефтяной компоненты за счет дренирования скважиной | |
скорость изменения массы газовой компонентыза счет дренирования скважиной | |
объемный дебит водяной компоненты в стандартных условиях за счет дренирования скважиной | |
объемный дебит нефтяной компоненты в стандартных условиях за счет дренирования скважиной | |
объемный дебит газовой компоненты в стандартных условиях за счет дренирования скважиной | |
объемный дебит водяной фазы в пластовых условиях за счет дренирования скважиной | |
объемный дебит нефтяной фазы в пластовых условиях за счет дренирования скважиной | |
объемный дебит газовой фазы в пластовых условиях за счет дренирования скважиной | |
объемный дебит (расход) водяной компоненты на устьевом сепараторе | |
объемный дебит (расход) нефтяной компоненты на устьевом сепараторе | |
объемный дебит (расход) газовой компоненты на устьевом сепараторе | |
объемная добыча (закачка) водяной и нефтяной компонент на устьевом сепараторе | |
динамически меняющееся поле давления газовой фазы | |
динамически меняющееся поле линейной скорости водяной фазы | |
динамически меняющееся поле линейной скорости нефтяной фазы | |
динамически меняющееся поле линейной скорости газовой фазы | |
капиллярное давление на границе фаз нефть-вода как функция водонасыщенности согласно модели капиллярного давления | |
капиллярное давление на границе фаз нефть-газ как функция газонасыщенности согласно модели капиллярного давления | |
относительная фазовая проницаемость водяной фазы как функция водонасыщенности и газонасыщенности согласно модели ОФП | |
относительная фазовая проницаемость нефтяной фазы как функция водонасыщенности и газонасыщенности согласно модели ОФП | |
относительная фазовая проницаемость газовой фазы как функция водонасыщенности и газонасыщенности согласно модели ОФП | |
пористость пласта как функция давления | |
абсолютная проницаемость пласта по воздуху как функция давления | |
вектор ускорения свободного падения | |
ускорение свободного падения (константа) | |
плотность водяной фазы согласно PVT-модели | |
плотность нефтяной фазы согласно PVT-модели | |
плотность газовой фазы согласно PVT-модели | |
эффективная теплопроводность пласта согласно PVT-модели | |
теплопроводность материала пород | |
плотность материала пород | |
дифференциальный адиабатический коэффициент | |
удельная изобарическая теплоемкость пород | |
удельная изобарическая теплоемкость фазы | |
дифференциальный коэффициент Джоуля-Томсона фазы |