Здесь представлены уравнения фильтрации модели летучей нефти (Volatile Oil) .

Уравнения движения модели нелетучей нефти (Black Oil) являются частным случаем модели летучей нефти (Volatile Oil) при R v =0  Rv=0.

Уравнение движения

Уравнения термогидродинамического движения "Летучей Нефти"  в матрично-поровом коллекторе имеют следующий вид:

\partial_t \bigg [  \phi \ \rho_W  \bigg ]  + \nabla  \bigg ( \rho_{Ww} \ \mathbf{u}_w     \bigg )      = q_{mW}(\mathbf{r})

\partial_t \bigg [  \phi \ \rho_O \bigg ]  + \nabla  \bigg (    \rho_{Oo} \ \mathbf{u}_o 

+   \rho_{Og} \  \mathbf{u}_g \bigg )       = q_{mO}(\mathbf{r})

\partial_t \bigg [  \phi \ \rho_G  \bigg ]  +  \nabla \bigg (   \rho_{Go} \   \mathbf{u}_o

+     \rho_{Gg} \ \mathbf{u}_g  \bigg )     = q_{mG}(\mathbf{r})

\mathbf{u}_w = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla P_w - \rho_w \mathbf{g} )

\mathbf{u}_o = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ (  \nabla P_o - \rho_o \mathbf{g} )

\mathbf{u}_g = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g - \rho_g \mathbf{g} )

P_o - P_w = P_{cow}(s_w)

P_o - P_g = P_{cog}(s_g)

s_w + s_o + s_g = 1

(\rho \,c_{pt})_p \frac{\partial T}{\partial t} 
 
- \ \phi \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \eta_{s \alpha} \ \frac{\partial P_\alpha}{\partial t}  
 
+ \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \epsilon_\alpha \ \mathbf{u}_\alpha \bigg)  \nabla P
 
+ \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \  \nabla T 
 
 - \nabla (\lambda_t \nabla T) =  \delta({\bf r}) \, T  \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} q_\alpha

Расшифровка обозначений приведена в  Списке динамических величин и параметров модели.

Уравнения 

Уравнения 

Уравнения 

Уравнения 

Уравнение 

В зонах отсутствия коллектора (

 \rho_r \, c_{pr} \frac{\partial T}{\partial t}  - \nabla (\lambda_t \nabla T) =  0 

Эффективная удельная  массовая теплоемкость пласта, насыщенного мультифазным флюидом, рассчитывается по следующей формуле:

(\rho \,c_{pt})_p  = (1-\phi) \rho_r \, \ c_{pr} + \phi \ (s_w \rho_w \, c_{pw} + s_o \rho_o \, c_{po} + s_g \rho_g \, c_{pg} )

Эффективная теплопроводность пласта, насыщенного мультифазным флюидом, рассчитывается по следующей формуле:

\lambda_{t} = (1-\phi) \ \lambda_r + \phi \ (s_w \lambda_w + s_o \lambda_o + s_g \lambda_g )

Компонента 

Компонента 

Компонента 

Система 

которые являются функциями времени и координат 

Выражая молярные плотности через массовые доли и плотности фаз (см. "Модель Летучей Нефти"), получаем:

\partial_t \bigg [  \phi \ \rho_W  \bigg ]  + \nabla \bigg (     \rho_w \ \mathbf{u}_w     \bigg )      =  q_{mW}(\mathbf{r}) 

\partial_t \bigg [  \phi \ \rho_O \bigg ]  + \nabla \bigg (   {\tilde m}_{Oo} \ \rho_o \ \mathbf{u}_o 

+  {\tilde m}_{Og} \ \rho_{g} \  \mathbf{u}_g    \bigg )       =  q_{mO}(\mathbf{r})

\partial_t \bigg [  \phi \ \rho_G  \bigg ]  +  \nabla  \bigg (  {\tilde m}_{Go} \ \rho_{o} \ \mathbf{u}_o

+    {\tilde m}_{Gg} \ \rho_g \ \mathbf{u}_g  \bigg )     =  q_{mG}(\mathbf{r}) 

\mathbf{u}_w = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla P_w - \rho_w  \mathbf{g} )

\mathbf{u}_o = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ ( \nabla P_o - \rho_o   \mathbf{g} )

\mathbf{u}_g = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g - \rho_g  \mathbf{g} )

P_o - P_w = P_{cow}(s_w)

P_o - P_g = P_{cog}(s_g)

s_w + s_o + s_g = 1

Подставляя значения плотностей и массовых долей компонент  (см. "Модель Летучей Нефти") и разделив каждое уравнение на плотность соотвествующей компоненты в стандартных условиях, получаем наиболее популярную форму записи уравнений движения Летучей Нефти:

\partial_t \bigg [  \phi \ \bigg (  \frac{s_w}{B_w}  \bigg ) \bigg ]  +  \nabla \bigg (     \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w  \bigg )      = 
q_W (\mathbf{r})

\partial_t \bigg [  \phi \ \bigg (  \frac{s_o}{B_o} + \frac{R_v \ s_g}

{B_g}  \bigg ) \bigg ]  +  \nabla \bigg (     \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o 

+    \frac{R_v}{B_g} \   \mathbf{u}_g   \bigg )       = q_O(\mathbf{r})

\partial_t \bigg [  \phi \ \bigg (  \frac{s_g}{B_g} + \frac{R_s \ s_o}

{B_o}  \bigg ) \bigg ]  +  \nabla  \bigg (     \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g

+    \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o  \bigg )     = q_G (\mathbf{r})

\mathbf{u}_w = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla  P_w - \rho_w \  \mathbf{g} )

\mathbf{u}_o = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ ( \nabla P_o - \rho_o \ \mathbf{g} )

\mathbf{u}_g = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g - \rho_g \ \mathbf{g} )

P_o - P_w = P_{cow}(s_w)

P_o - P_g = P_{cog}(s_g)

s_w + s_o + s_g = 1

В уравнениях 

Начальное условие

Начальное условие по температуре задается распределением температурного поля:

T(0, \mathbf{r}) = T_0(\mathbf{r})

Начальное условие на давления, скоростей и насыщенности задается одним из двух вариантов.

Условие I  – Стационарный старт

Стационарный старт означает, что до начального момента времени поле давлений

\nabla \cdot \bigg (     \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w     \bigg )_{t=0}      = 0

\nabla \cdot \bigg (     \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o 

+    \frac{R_v}{B_g} \   \mathbf{u}_g    \bigg )_{t=0}      = 0

\nabla \cdot \bigg (     \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g

+    \frac{R_s}{B_o} \   \mathbf{u}_o     \bigg )_{t=0}    = 0

\mathbf{u}_w(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ (\nabla  P_w(0, \mathbf{r}) - \rho_w \  \mathbf{g} ) = 0

\mathbf{u}_o(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ (  \nabla P_o(0, \mathbf{r}) - \rho_o \ \mathbf{g} ) = 0

\mathbf{u}_g(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g(0, \mathbf{r}) - \rho_g \ \mathbf{g} ) = 0

P_o(0, \mathbf{r}) - P_w(0, \mathbf{r}) = P_{cow}(s_w)

P_o(0, \mathbf{r}) - P_g(0, \mathbf{r}) = P_{cog}(s_g)

s_w + s_o + s_g = 1

Условие II – Нестационарный старт

Нестационарный старт означает, что к начальному моменту времени поле насыщенностей

s_w(0, \mathbf{r}) + s_o(0, \mathbf{r}) + s_g(0, \mathbf{r}) = 1

поле давлений

P_o(0, \mathbf{r}) - P_w(0, \mathbf{r}) = P_{cow}(s_w)

P_o(0, \mathbf{r}) - P_g(0, \mathbf{r}) = P_{cog}(s_g).

При этом начальное поле скоростей

\mathbf{u}_w(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla  P_w(0, \mathbf{r}) - \rho_w \  \mathbf{g} )

\mathbf{u}_o(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ (  \nabla P_o(0, \mathbf{r}) - \rho_o \ \mathbf{g} )

\mathbf{u}_g(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g(0, \mathbf{r}) - \rho_g \ \mathbf{g} )

На практике, нестационарное начальное поле давлений, скоростей и насыщенностей является, как правило, результатом промежуточных расчетов этой же модели, либо более крупной модели.

Краевое условие на внешней границе

Краевое условие на температурное поле на внешней границе задается одним из двух вариантов

Термодинамическое Условие I  – Фиксированная температура 

T(t, \mathbf{r}) |_{\Gamma_e} = T_e( \mathbf{r}) 

Термодинамическое Условие II  – Фиксированный теплообмен

\big( \mathbf{n}, \nabla T(t, \mathbf{r} \big) \big |_{\Gamma_e} = \zeta \cdot \big( T(t, \mathbf{r}) - T_e( \mathbf{r}) \big) 

где 

Краевое условие на поле давления, скоростей  насыщенности на внешней границе задается одним из двух вариантов

Гидродинамическое Условие I  – Непроницаемая граница 

LaTeX Math Inline
body \Gamma_e

\big( \mathbf{n}, \ (\nabla P_\alpha(t, \mathbf{r}) - \rho_\alpha  \mathbf{r}) \big) \big|_{\Gamma_e} = 0

где  

Гидродинамическое Условие II – Постоянное давление на границе 

LaTeX Math Inline
body \Gamma_e

P_\alpha(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_e} = P_i = const

где  

Краевое условие на разломах

\big( \mathbf{n}, \ ( \nabla P_\alpha(t, \mathbf{r}) - \rho_\alpha \mathbf{g}) \big) \big|_{\Gamma_F} = 0

...

Моделирование скважины

Модель притока (или закачки) на каждой скважине связывает объемы добычи (закачки) каждой фазы и перепад давления в пласте и на забое скважины и задается следующей формулой:

P_w(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_o(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_g(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}}= P_{wf}(t) \big|_{\Gamma_{WRC}}

где 

Забойное давление

• Условие   I – Контроль по забойному давлению
• Условие  II – Контроль по жидкости
• Условие III – Контроль по нефти

Условие I   – Контроль по забойному давлению

Это условие предполагает, что в каждый момент времени известно опорное забойное давление

P_{wf}(t) = P_{wf}(t, h_0) +  P_{\delta}(t, \delta h)

где 

При адаптации модели к промысловым данным это условие выполняется для

• нагнетательных скважин, чьи забойные давления пересчитываются по 
  • показаниям устьевых манометров с учетом потерь на трение в стволе скважины
  • по известному давлению на выходе КНС с учетом потерь на трение в стволе скважины и наземных трубопроводах
• для добывающих скважин с мониторингом забойного давления по 
  • глубинным манометрам 
  • эхолотам 
• для добывающих скважин с низким забойным давлением (когда уровень находится вблизи точки подвеса насоса или газлифтного клапана).

При прогнозных расчетах это условие выполняется для

• нагнетательных скважин, чьи режимы закачки определяются давлением на КНС с учетом потерь на трение в стволе скважины и наземных трубопроводах
• для добывающих скважин с низким забойным давлением (когда уровень находится вблизи точки подвеса насоса или газлифтного клапана).

При этом для фонтанной, газлифтной и насосной эксплуатации скважин с забойным давлением выше критического это условие не является физичным и необходимо прогнозировать работу скважины согласно Условию II.

Условие II  – Контроль по жидкости

Это условие предполагает, что известна добыча жидкости на сепараторе каждой скважины 

P_{wf}(t) = P_{wf}(t, h_{ref}) +  P_{\delta}(t, \delta h)

где 

а опорное давление на глубине

P_{wf}(t, h_{ref}) = 
\frac{ \int_{\Gamma_{WRC}}  \bigg(      
 
\frac{M_w (P_{ew}- \delta P_{wf})}{B^S_w} + \frac{M_o (P_{eo}- \delta P_{wf})}{B^S_o} + \frac{R_v M_g (P_{eg}- \delta P_{wf})}{B^S_g}
 
\bigg)  T_h  dh - q_L(t) }
 
{ \int_{\Gamma_{WRC}}  \bigg(  
 
\frac{M_w}{B^S_w} + \frac{M_o}{B^S_o} + \frac{R_v M_g}{B^S_g}
 
      \bigg)  T_h dh }

которая обеспечивает устьевой дебит по жидкости в размере

q_L(t) = q_W(t) + q_O(t) = 
 \int_{\Gamma_{WRC}}  \bigg(      

\frac{M_w (P_{ew} - P_{wf}(t, h_{ref}) -  P_{\delta})}{B^S_w} 
+ \frac{M_o (P_{eo} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_o} 
+ \frac{R_v M_g (P_{eg} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_g}

\bigg)  T_h  dh  

Если пользователь ввел ограничение на минимальное забойное давление 

P_w(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_o(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_g(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_{wf}^{min} = const

которое будет сопровождаться изменением дебита всех фаз согласно

Этот режим соотвествует работе насоса с пониженным КПД и в случае если условия на границе контакта поменяются (например, в процессе подъема пластового давления) и потенциал забойного давления согласно 

При адаптации модели к промысловым данным это условие выполняется для всех типов добывающих и нагнетательных скважин, для которых отборы известны точно (что, кстати, далеко не всегда имеет место быть на практике).

При прогнозных расчетах это условие выполняется для

• нагнетательных и добывающих скважин, чьи режимы работы определяются диаметром штуцером
• для добывающих скважин с высоким забойным давлением (когда уровень находится выше точки подвеса насоса или газлифтного клапана).

При этом для скважин с низким забойным давлением это условие не является физичным и необходимо прогнозировать работу скважины согласно Условию I.

Условие III – Контроль по нефти

Это условие предполагает, что добыча воды и газа неизвестна (или известна неточно) и забойное давление добывающей скважины 

P_{wf}(t) = P_{wf}(t, h_{ref}) + P_{\delta}(t, \delta h)

где  – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины,

а опорное давление на глубине 

P_{wf}(t, h_{ref}) = 
\frac{ \int_{\Gamma_{WRC}}  \bigg(      

 \frac{M_o (P_{eo}- P_{\delta})}{B^S_o} + \frac{R_v M_g (P_{eg}- P_{\delta})}{B^S_g}

\bigg)  T_h  dh - q_O(t) }

{ \int_{\Gamma_{WRC}}  \bigg(  

 \frac{M_o}{B^S_o} + \frac{R_v M_g}{B^S_g}

      \bigg)  T_h dh }

которая обеспечивает устьевой дебит по жидкости в размере 

q_O(t) = 
 \int_{\Gamma_{WRC}}  \bigg(      

\frac{M_o (P_{eo} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_o} 
+ \frac{R_v M_g (P_{eg} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_g}

\bigg)  T_h  dh 

Если пользователь ввел ограничение на минимальное забойное давление 

P_o(t, \vec r) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_{wf}^{min} = const

которое будет сопровождаться изменением дебита по нефти согласно 

Этот режим соотвествует работе насоса с пониженным КПД и в случае если условия на границе контакта поменяются (например, в процессе подъема пластового давления) и потенциал забойного давления согласно 

Условие III по своему определению накладывается только на добывающие скважины и выполняется для всех типов добывающих скважин, для которых отборы нефти известны точно (что наиболее часто встречается на практике).

При этом условие на нагнетательных скважинах не оговорено и может быть как I-ого так и II-ого типа в зависимости от реализации системы ППД.

При прогнозных расчетах условие III использоваться не может в силу своей нефизичности, за исключением случая безводной эксплуатации недонасыщенной нефти, в котором это условие становится физичным и эквивалетным Условию II (контроль по жидкости). 

На практике Условие III рекомендуется накладывать для первичной настройки модели (настройки ее базовых параметров) и потом рекомендуется переключать контроль на Условие I или Условие II в зависимости от промысловых условий эксплуатации скважин.

Список динамических величин и параметров модели