Профиль давления
В процессе эксплуатации нагнетательной скважины движение флюида вдоль ствола происходит в стационарном режиме, при этом профиль скорости потока и давления удовлетворяютусловию баланса массы движущегося потока: LaTeX Math Block |
---|
anchor | MatBal2 |
---|
alignment | left |
---|
| A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const |
и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины: LaTeX Math Block |
---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d} |
где | длина ствола скважины, отсчитываемая вниз от поверхности | | | профиль плотности воды | | профиль угла наклона скважины к горизонту | | профиль диаметра скважины, вдоль которого идет поток | | профиль поперечного сечения ствола скважины LaTeX Math Inline |
---|
body | A(l) = 0.25 \, \pi \, d^2(l) |
---|
|
| | профиль коэффициента трения Дарси | | ускорение свободного падения ( = 9.87 м2/сек ) | |
|
Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.
Уравнение LaTeX Math Block Reference |
---|
| часто в литературе записывают как разложение изменения давление вдоль ствола скважины на компоненты: LaTeX Math Block |
---|
anchor | gradP_General |
---|
alignment | left |
---|
| \frac{dp}{dl} = \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_f |
где
LaTeX Math Block |
---|
anchor | gradP_G |
---|
alignment | left |
---|
| \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g = \rho \, g \, \sin \theta, |
|
гидростатическая компонента вариации давления, формируемая гравитационными силами
- в случае движения флюида вниз она имеет положительный знак и приводит к приросту давления
- в случае движения жидкости наверх эта компонента имеет отрицательный знак и приводит
к потере давления в процессе подъема жидкости
|
LaTeX Math Block |
---|
anchor | gradP_v |
---|
alignment | left |
---|
| \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v = - \rho \, v \, \frac{dv}{dl}, |
|
кинетическая компонента вариация давления, формируемая вариацией скорости потока вдоль ствола скважины, которая вызвана сжатием-расжатием флюида и изменением диаметра труб - в случае падения скорости потока в направлении движения она имеет положительный знак и приводит к приросту давления
- в случае роста скорости потока в направлении движения она имеет отрицательный знак и приводит к потере давления
|
LaTeX Math Block |
---|
anchor | gradP_f |
---|
alignment | left |
---|
| \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_f = - \frac{ f \, \rho v^2}{2 d}, |
|
фрикционная компонента вариации давления, формируемая трением флюида со стенкой скважины она всегда имеет отрциательный знак и приводит к потере давления вдоль направления движения потока |
Для несжимаемой жидкости в отсутствии трения уравнение LaTeX Math Block Reference |
---|
| принимает вид: LaTeX Math Block |
---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} |
и может быть явно проинтегрировано: LaTeX Math Block |
---|
| p(l) - \rho \, g \, l \, \sin \theta + \frac{1}{2} \rho \, v^2 = \rm const |
и называется уравнением Бернулли.
Expand |
---|
title | Вывод уравнений движения флюида в стволе |
---|
|
Info |
---|
Уравнение неразрывности одномерного потока с линейной плотностью массы: LaTeX Math Block |
---|
anchor | MatBal1 |
---|
alignment | left |
---|
| \frac{\partial (\rho A)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial l} \big( A \, \rho \, v \big) = 0 |
для стационарного режима течения принимает вид: LaTeX Math Block |
---|
anchor | MatBal1 |
---|
alignment | left |
---|
| \frac{\partial (\rho A)}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial l} \big( A \, \rho \, v \big) = 0 |
откуда и следует формула LaTeX Math Block Reference |
---|
| .
Для вывода уравнения LaTeX Math Block Reference |
---|
| заметим, что на бесконечно малый элемент объема жидкости массой LaTeX Math Inline |
---|
body | dm = \rho \, A \, dl |
---|
| действуют четыре сил: – сила гидравлического напора, вызванная разностью давлений на торцах элемента, – сила гравитации, – сила трения со стенками трубы, – номральная реакция опоры стенок трубы.
Рассмотрим стационарное (то есть установившееся во времени) течение потока по трубе.
Движение поперек трубы отсуствует и, следовательно, сумма проекций всех сил на трансверсальное направление к трубе должно равняться нулю: LaTeX Math Block |
---|
| dF_p \bigg |_{l_{\perp}} + dF_g \bigg |_{l_{\perp}} + dF_f \bigg |_{l_{\perp}}+ dF_N \bigg |_{l_{\perp}} =0 |
и выполняется автоматически, при наличии достаточного запаса прочности трубы LaTeX Math Inline |
---|
body | dF_N \bigg |_{l_{\perp}} |
---|
| .
Уравнение движения флюида вдоль оси трубы имеет вид:
LaTeX Math Block |
---|
| dF_p \bigg |_l + dF_g \bigg |_l + dF_f \bigg |_l+ dF_N \bigg |_l = \frac{d I}{dt}\bigg |_l |
где представляет собой изменение импульса LaTeX Math Inline |
---|
body | I = \delta m \, v = \rho \, A \, \delta l \, v |
---|
| элементарного объема флюида под действием внешних сил.
Изменение импульса c учетом стационарности скорости потока и сохранения массы LaTeX Math Inline |
---|
body | \frac{d (\delta m)}{dt}=0 |
---|
| имеет вид: LaTeX Math Inline |
---|
body | \frac{dI}{dt} = \frac{d}{dt} (\delta m \, v) = \frac{d (\delta m \, v)}{\delta l} \frac{dl}{dt} = v \frac{ d (\delta m) \, v + \delta m \, dv}{\delta l} =v \frac{\delta m}{ \delta l} dv = \rho \, A \, v \, dv |
---|
| .Сила, формируемая гидравлическим напором LaTeX Math Inline |
---|
body | dF_p \bigg |_l = A (p - dp) - A p = - A \, dp |
---|
| .Проекция гравитационной силы LaTeX Math Inline |
---|
body | dF_g \bigg |_l = \delta m \, g \, \sin \theta = \rho \, A\, \delta l \, g \, \sin \theta |
---|
| .Сила трения со стенками трубы дается феноменологическим уравнением Дарси-Вейсбаха: LaTeX Math Inline |
---|
body | dF_f \bigg |_l = - \frac{f}{d} \frac{dm \, v^2}{2} = - \frac{f \, \rho \, v^2}{2 d} \, A \, \delta l |
---|
| .Аксиальная компонента реакции опоры труб по определению отсутствует .Подставляя вышеприведенные выражения в уравнение LaTeX Math Block Reference |
---|
| получим:
LaTeX Math Block |
---|
| - A dp + \rho \, A\, \delta l \, g \, \sin \theta - \frac{f \, \rho \, v^2}{2 d} \, A \, \delta l = \rho \, A \, v \, dv
|
Разделив уравнение на бесконечно малый объем элемента получим LaTeX Math Block Reference |
---|
| . |
|
Если дебит скважины на устье составляет , а плотность воды на устье , то уравнение LaTeX Math Block Reference |
---|
| можно записать в следующем виде: LaTeX Math Block |
---|
| A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s |
откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу: LaTeX Math Block |
---|
| v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)} |
Подставляя LaTeX Math Block Reference |
---|
| в LaTeX Math Block Reference |
---|
| получим уравнение на профиль давления вдоль ствола: LaTeX Math Block |
---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Далее учтем, что угол наклона к горизонту может быть выражен через абсолютные отметки глубин вдоль траектории скважины : LaTeX Math Block |
---|
| \sin \theta = \frac{dz}{dl} |
и уравнение для давление примет вид: LaTeX Math Block |
---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра LaTeX Math Inline |
---|
body | d = {\rm const}, \quad A = {\rm const} |
---|
| и уравнение может быть переписано следующим образом: LaTeX Math Block |
---|
anchor | dp_implicit |
---|
alignment | left |
---|
| \frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho} |
Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления и, следовательно: LaTeX Math Block |
---|
| \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl}
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl} |
где LaTeX Math Inline |
---|
body | c(p)= \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{dp} |
---|
| – сжимаемость воды и уравнение профиля давления принимает вид: LaTeX Math Block |
---|
anchor | dp_explicit |
---|
alignment | left |
---|
| \bigg( 1 - \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2} \bigg ) \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)} |
Функция определяется траекторией скважины.
Cжимаемость и плотность воды слабо зависят от вариации давления вдоль ствола.Как будет показано ниже коэффициент трения тоже слабо зависит от вариации давления и, следовательно, уравнение LaTeX Math Block Reference |
---|
| представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию со слабой нелинейностью.
Если предположить постоянство коэффициента трения и несжимаемость флюида LaTeX Math Inline |
---|
body | \rho(p) = \rho_s = \rm const |
---|
| , то уравнение LaTeX Math Block Reference |
---|
| можно явно проинтегрировать: LaTeX Math Block |
---|
| p(l) = p_s + \rho \, g \, z(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s \, l = p_s + \rho \, g \, z(l) - \frac{dp}{dh} \Bigg|_{loss} \, l | Первые два слагаемых описывают гидростатический столб неподвижного флюида, а последнее слагаемое выражает потери на трение при движении флюидаPressure gradient will be: LaTeX Math Block |
---|
| \frac{dp}{dl} \Bigg|_{loss} = = \rho \, g \, \cos \theta(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s |
В калькуляторе Well Flow Performance Calculator можно оценить величину потерь на трения для различных сценариев диаметров труб и дебитов скважин. Коэффициент тренияwhere Коэффициент трения Дарси сложным образом зависит от режима течения, а также формы и шероховатости внутренних стенок трубы.Для гладкой трубы с круглым сечением коэффициент трения имеет следующие эмпирические аппроксимации:\cos \theta(l) = \frac{dz(l)}{dl} |
|
The first term defines the hydrostatic column of static fluid while the last term defines the friction losses under fluid movement: LaTeX Math Block |
---|
| \frac{dp}{dl} \Bigg|_{loss} = \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s |
В калькуляторе Well Flow Performance Calculator можно оценить величину потерь на трения для различных сценариев диаметров труб и дебитов скважин. Коэффициент трения
Коэффициент трения Дарси сложным образом зависит от режима течения, а также формы и шероховатости внутренних стенок трубы.
Для гладкой трубы с круглым сечением коэффициент трения имеет следующие эмпирические аппроксимации: | LaTeX Math Block |
---|
| f = 64 \, \rm Re^{-1} | ламинарный режим течениянет стабильных корреляций | LaTeX Math Inline |
---|
body | 2,100 < \rm Re < 4,000 |
---|
|
| переходной режим течение | LaTeX Math Block |
---|
anchor | f_4000 |
---|
alignment | left |
---|
| f = 0.3264 \, \rm Re^{-0.251} |
| | 4,000 < | 50 | 000 | турбулентный ламинарный режим течения | mathblockнет стабильных корреляций anchor | LaTeX Math Inline |
---|
body | 2,100 < \rm Re < 4,000 |
---|
|
| переходной режим течение |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | f_4000 |
---|
alignment | left |
---|
| f = 0.32 \, \rm Re^{-0.25} |
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | 4,000 < \rm Re < 50,000 |
---|
|
|
турбулентный режим течения |
LaTeX Math Block |
---|
| f = 0.184 \, \rm Re^{-0.2} |
| |
сильно турбулентный поток режим течения |
где LaTeX Math Inline |
---|
body | {\rm Re}(l) = \frac{d \, v \, \rho}{\mu} |
---|
|
| число Рейнольдса | | профиль диаметра трубы, вдоль которой движется поток | LaTeX Math Inline |
---|
body | \mu(l) = \mu( \, p(l), \, T(l) \,) |
---|
|
| профиль вязкости флюида, определяемая зависимостью вязкости от давления и температуры в состоянии термодинамического равновесия |
Для переходных и турбулентных режимов течения коэффициент трения удовлетворяет эмпирической модели Колбрука-Уайта (Colebrook–White), которая учитывает шероховатость внутренней поверхности трубы
(в мм) LaTeX Math Block |
---|
| \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \, \log \Bigg( \frac{\epsilon}{3.7 \, d} + \frac{2.51}{{\rm Re} \sqrt{f}} \Bigg) |
Типичное значение шероховатости труб LaTeX Math Inline |
---|
body | \epsilon = 0.05\, \rm мм |
---|
| , однако по мере эрозийного воздействия потока и отложения минеральных осадков шероховатость может подняться в разы.
Expand |
---|
title | Таблица типичных шероховатостей поверхностей |
---|
| |
Существует множество явных аппроксимаций решения уравнения LaTeX Math Block Reference |
---|
| , в частности следующая (Monzon, Romeo, Royo, 2002): LaTeX Math Block |
---|
| f = 0.25 \, \bigg[ \log \bigg( \frac{\epsilon / d}{3.7065} - \frac{5.0272}{\rm Re} \log \Lambda \bigg) \bigg]^{-2} |
где – безразмерный параметр, рассчитываемый по формуле: LaTeX Math Block |
---|
| \Lambda = \frac{(\epsilon/d)}{3.827} - \frac{4.657}{\rm Re} \log \Bigg[ \bigg( \frac{\epsilon/d}{7.7918} \bigg)^{0.9924} + \bigg( \frac{5.3326}{208.815+Re} \bigg)^{0.9345} \Bigg] |
Однако, в пределах измерительной погрешности (< 2 %) можно пользоваться универсальной корреляцией (Churchil) для всех режимов течения, от ламинарного до сильно турбулентного: LaTeX Math Block |
---|
anchor | Chirchil |
---|
alignment | left |
---|
| f = \frac{64}{\rm Re} \, \Bigg [ 1+ \frac{\big(\rm Re / 8 \big)^{12} }{ \big( \Theta_1 + \Theta_2 \big)^{1.5} } \Bigg]^{1/12} |
где LaTeX Math Inline |
---|
body | \Theta_1 = \Bigg[ 2.457 \, \ln \Bigg( \bigg( \frac{7}{\rm Re} \bigg)^{0.9} + 0.27 \, \frac{\epsilon}{d} \Bigg) \Bigg]^{16} |
---|
| и LaTeX Math Inline |
---|
body | \Theta_2 = \Big( \frac{37530}{\rm Re} \Big)^{16} |
---|
| .
Как видно из вышеприведенных корреляций, коэффициент трения меняется в зависимости от скорости потока и соответствующего числа Рейнольдса. Основным вкладом в вариабельность коэффициента трения вдоль трубы является диаметр трубы в данной точке траектории скважины, который может приводить к значительным изменениям скорости потока. Тем не менее, зависимость от дебита является слабой. Из формулы LaTeX Math Block Reference |
---|
| видно что изменение дебит в 10 раз приводит к изменению коэффициента трения в раз. Еще более слабой является вариабельность коэффициента трения от давления вдоль ствола, что можно проиллюстрировать следующими соображениями.
Зависимость коэффициента трения от давления формируется только через число Рейнольдса: . При этом число Рейнольдса
LaTeX Math Inline |
---|
body | {\rm Re} = \frac{d \, \rho \, v}{\mu} |
---|
| с учетом LaTeX Math Block Reference |
---|
| можно записать как: LaTeX Math Block |
---|
| {\rm Re} = \frac{ d \, \rho_s \, q_s}{A \, \mu(p)} |
отсюда следует, что зависимость коэффициента трения от давления формируется вязкостью , которая для воды имеет слабую зависисмость от давления в широких практических пределах:
δμ/μ = 25 % при вариации μ = 2.4·10-5 Па · с для p = 1 атм до μ = 3.0·10-5 Па · с для 300 атм (cм. Свойства воды). Это приводит к 25 % вариации коэффициента трения для ламинарного потока (в котором сила трения минимальна) и порядка 4.5 % для турбулентного потока (и максимальным вкладом трения).
Для оценки числа Рейнольдса для нагнетаемой по 2.5 " НКТ воды можно пользоваться формулой LaTeX Math Inline |
---|
body | {\rm Re} = 230 \cdot \, q |
---|
| , где дебит скважины на устье в м3/сут.Отсюда видно, что при дебитах более 18 м3/сут число Рейнольдса становится больше 4,000 и режим течения является турбулентным и коэффициент трения можно считать практически постоянным вдоль ствола нагнетательной скважины.
А учитывая, что рост давления с глубиной сопровождается увеличением температуры, что компенсирует рост вязкости воды, то для большинства практических реализаций ППД можно полагать, что вариация коэффициента трения вдоль ствола не превышает 2-3 % и в оценках потери напора на трение принимать коэффициент трения постоянным .
Профиль температуры
В отличие от задач гидравлики процессы теплообмена существенно нестационарны и температурный профиль жидкости и окружающих скважину пород будет непрерывно меняться в процессе закачки. Хотя со временем изменения могут становиться настолько малы, что ими можно пренебречь в пределах погрешности измерительной аппаратуры в пределах времени конкретного исследования скважины. В этом случае говорят о квазистационарном распределении температурного поля. Помимо этого процесс распространения тепла идет не только в стволе скважины, где распространяется поток, но и далеко за ее пределами, что приводит к необходимости решать задачу и температурном поле скважины в совокупности с прилегающими к ней породами, что увиливает размерность задачи с одномерной до трехмерной (или двухмерной в случае осевой симметрии теплофизических параметров пород).
Поэтому решение задачи термометрии в стволах скважины формулируется на две температурные функции: | температурный профиль потока воды вдоль ствола скважины , отсчитываемой вниз от поверхности | | распределение температуры в массиве горных пород |
Температурный профиль потока воды ствола скважины формируется кондукцией и конвекцией вдоль потока и теплообменом с окружающими породами и описывается следующим уравнением: LaTeX Math Block |
---|
| \rho \, c \, \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{d}{dl} \, \bigg( \lambda \, \frac{dT}{dl} \bigg) - \rho \, c \, v \, \frac{dT}{dl} |
с начальным условием: LaTeX Math Block |
---|
| T(t=0, l) = T_g(l) |
и граничным условием на поверхности: LaTeX Math Block |
---|
| T(t, l=0) = T_s(t) |
Распределение температуры в массиве горных пород формируется кондукцией горных породах и теплообменом со стволом скважины и описывается следующим уравнением:
LaTeX Math Block |
---|
| \rho_e \, c_e \, \frac{\partial T_e}{\partial t} = \nabla ( \lambda_e \nabla T_e) |
с начальным условием: LaTeX Math Block |
---|
| T_e(t=0, l, r) = T_g(l) |
и граничным условием на бесконечном удалении от скважины: LaTeX Math Block |
---|
| T_e(t, l, r \rightarrow \infty) = T_g(l) |
Геотермическое распределение температуры (также называемое геотермой) вдоль ствола скважины задается следующей моделью LaTeX Math Block |
---|
| T_g(l) = T_{0e} + \int_{z_0}^{z(l)} G_T(z) dz = T_{0e} + \int_{l_0}^l G_T(z(l)) \sin \theta dl |
геотермический градиент задается отношением регионального теплового потока из недр Земли и теплопроводностью пород LaTeX Math Block |
---|
| G_T(z(l)) = \frac{j_e}{\lambda_e(l)} |
где | величина регионального теплового потока из недр Земли (см. также Геотермия) | | профиль теплопроводности пород вдоль траектории скважины | | абсолютная отметка глубины залегания нейтрального слоя (обычно единицы ) | | отметка нейтрального слоя вдоль траектории скважины (обычно так как начальные участки скважин не имеют сильного отклонения от вертикали) |
В регионах, где геотермический градиент остается постоянным до глубины залегания продуктивных пластов, геотермическое распределение температуры в породах принимает простой вид: LaTeX Math Block |
---|
anchor | T_g_const |
---|
alignment | left |
---|
| T_g(l) = T_{0e} + G_T \, z |
Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле LaTeX Math Block Reference |
---|
| может привести к значительным погрешностям.Справедливости ради стоит заметить, что эта проблема становится актуальной при анализе термограмма в бурящих и добывающих скважинах, а при анализе водяных нагнетательных скважин, использование постоянного усредненного термоградиента вполне допустимо.
Замыкает систему уравнений условие теплобмена между жидкостью в стволе скважины и окружающими горными породами, задаваемое условием непрерывности радиального теплового потока: LaTeX Math Block |
---|
| 2 \pi \, \lambda_e \, r_w \, \frac{\partial T_e}{\partial r} \, \bigg|_{r=r_w} = 2 \pi \, r_f \, U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg) |
где – радиальное направление к оси скважины.
Expand |
---|
title | Вывод условия теплообмена |
---|
|
Если между внутренней стенкой НКТ и внутренней стенкой скважины по долоту нет источников или стоков тепла, то линейная плотность радиального потока тепла LaTeX Math Inline |
---|
body | \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h} |
---|
| (количество тепла переносимого вдоль радиального направления в единицу времени на метр длины скважины) будет сохраняться вдоль радиального направления.Плотность радиального теплового потока между закачиваемой жидкостью и стенкой трубки НКТ может быть выражена через коэффициент теплопередачи между средами: LaTeX Math Block |
---|
| j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_f } = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_f } = U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg) |
Это по-сути эта формула является определением коэффициента теплопередачи. Плотность радиального теплового потока между стенкой скважины и породами определяется законом теплопроводности Фурье: LaTeX Math Block |
---|
| j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_w } = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_w } = \lambda \, \frac{\partial T}{\partial r} |
Исключая из вышеприведенных уравнений линейную плотность теплового потока LaTeX Math Inline |
---|
body | \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h} |
---|
| получим условие теплообмена LaTeX Math Block Reference |
---|
| . |
Эта задача решается численными методами. Но для простых случаев есть аналитические оценки, которые правильно воспроизводят крупномасштабные формы температурного профиля. Одна из популярных аналитических моделей для стационарной ( LaTeX Math Inline |
---|
body | q_s = {\rm const}, \quad T_s(t) = T_s = \rm const |
---|
| ) закачки в скважину с постоянным наклоном ( LaTeX Math Inline |
---|
body | \theta(l) = \rm const |
---|
| ), в окружении акисально-симметричного однородного пласта( LaTeX Math Inline |
---|
body | \rho_e = {\rm const}, \lambda_e (l) = {\rm const}, \, c_e (l) = {\rm const} |
---|
| ) с постоянным геотермическим градиентом вдали от поверхности LaTeX Math Inline |
---|
body | l \, \sin \theta \gg r_w |
---|
| , дается следующей формулой (Ramey, 1962): LaTeX Math Block |
---|
anchor | Tf_Ramey |
---|
alignment | left |
---|
| T(t, l) = T_{0e} + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta + \big( T_s - T_{0e} + R(t) \, G_T \, \sin \theta \big) \, e^{ - l/R(t)} |
где
LaTeX Math Block |
---|
anchor | RelaxationRamey |
---|
alignment | left |
---|
| R(t) = \frac{q_s}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg) |
|
релаксационное расстояние |
LaTeX Math Block |
---|
| T_D(t) = \ln \big[ e^{-0.2 \, t_D} + (1.5 - 0.3719 \, e^{-t_D}) \, \sqrt{t_D} \big] |
|
безразмерная температура (Hasan, Kabir, 1994) |
LaTeX Math Block |
---|
| t_D(t) = \frac{a_e \, t}{r_w^2} |
|
безразмерное время |
LaTeX Math Block |
---|
| a_e = \frac{\lambda_e}{ c_e \, \rho_e} |
|
температуропроводность пород | | теплопроводность пород | | объемная теплопроводжность пород при постоянном давлении | | плотность пород | | температура закачиваемого флюида на поверхности | | радиус трубы вдоль контрой идет движение флюида | | радиус скважины по долоту | LaTeX Math Inline |
---|
body | G_T = \frac{dT_G}{dz} |
---|
|
| геотермический градиент невозмущенных пород | | дебит скважины на устье | | плотность закачиваемого флюида | | коэффициент теплопередачи между закачиваемым флюидом и породами |
|