@wikipedia
Motivation
In some specific subsurface applications which require the knowledge of subsurface temperature distributions the assumption of the Constant Areal Geothermal Temperature Profile is not valid and the problem requires a proper 3D modelling solution.
Outputs
e \, x, \, y, \, zalong-hole geothermal temperature profile | Inputs
| Astronomic time |
LaTeX Math Inline |
---|
body | \lambda(x, \, y, \, z) |
---|
|
| Rock thermal conductivity |
| True vertical component of Regional Earth's heat flux (usually j_z = 25 \div 55 \ mW/m%5e2)Assumptions
Equations
...
LaTeX Math Block |
---|
|
T_g(x,y,z) = T_{ref}(x,y) + \int_{z_{ref}}^z G_T(x,y,z) dz |
LaTeX Math Block |
---|
|
T(t, z) = T_s + \frac{j_z}{\lambda_e} (z-z_s) + T_A \, \exp \left[ \, {(z_s-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \left] \, \cos \right[ \, 2 \pi \frac{t - t_{min}}{\delta_T} + (z_s -z) \sqrt {\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \right] |
LaTeX Math Block |
---|
|
G_T(x, y, z) =\frac{d T_g}{d z}= \frac{j_z(x,y,z)}{\lambda_e} |
where
где
...
...
TVDss of the Earth's surface
...
...
Annual average surface temperature based on weather reports
...
...
Annual average surface temperature variation based on weather reports
...
...
Temperature variation cycle (usually
LaTeX Math Inline |
---|
body | --uriencoded--\delta t = 1 \, %7B\rm year%7D |
---|
|
)...
...
Temperature variation cycle shift (time moment of minimal temperature with respect to astronomic midnight 0:00)
...
LaTeX Math Inline |
---|
body | a_e = \frac{\lambda_e}{\rho_e \, c_e} |
---|
|
...
...
...
Rock specific volumetric heat capacity at constant pressure
See Also
Geology / Geothermal Temperature Field
[ Geothermal Temperature Profile @model ]
References
...
...
bgColor | papayawhip |
---|
title | ARAX |
---|
...
...
...
Геотермическое поле земли
Геотермическое распределение температуры
в массиве пород данного региона являестя стационарным и определяется региональным тепловым потоком из недр земли, условием теплообмена на поверхности и теплопроводностью пород.В отсутствии латерального теплового потока и сильной анизотропии теплопроводности, это распределение может быть записано через вертикальный геотермический градиент, следующим образом (см. вывод):
LaTeX Math Block |
---|
|
T_g(x,y,z) = T_{ref}(x,y) + \int_{z_{ref}}^z G_T(x,y,z) dz |
где
LaTeX Math Block |
---|
|
G_T(z) =\frac{d T_g}{d z}= \frac{j_z}{\lambda_e} |
вертикальная проекция регионального геотермического градиента
...
...
распределение вертикальной проекции регионального теплового потока из недр Земли на заданной глубине
(обычно LaTeX Math Inline |
---|
body | j_e = 25 \div 55 \ mW/m^2 |
---|
|
)...
профиль теплопроводности в массиве горных пород
...
...
LaTeX Math Inline |
---|
body | T_{ref}(x,y) = T_g(x,y,z_{ref}) |
---|
|
...
title | Общий подход к моделированию геотермического поля |
---|
...
...
LaTeX Math Block |
---|
anchor | nablaT |
---|
alignment | left |
---|
|
\nabla {\bf j} = 0 \quad \rightarrow \quad \partial_{\alpha} \, j_{\alpha} = 0
|
где
LaTeX Math Block |
---|
|
j_{\alpha} = \lambda_{\, \alpha \beta} \: \partial_{\beta} T_g |
...
Inputs
where
| |
| TVDss of the Earth's surface in a given location. In case the Earth's surface is at sea level then |
Assumptions
Equations
...
LaTeX Math Inline |
---|
body | \hat \lambda = \lambda_{\, \alpha \, \beta} |
---|
|
...
Как правило, теплопроводность имеет небольшую анизотропию вдоль и поперек горизонта залегания и в главных осях имеет вид:
LaTeX Math Block |
---|
|
\hat \lambda= \begin{pmatrix}
\lambda_{\perp} & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{\perp} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{||}
\end{pmatrix} |
где
...
...
...
При анализе небольших по площади участков (десятки километров) можно пренебречь влиянием латерального теплового потока и анизотропией тензора теплопроводности и тогда, геотермическое распределение температуры в регионе можно записать как
LaTeX Math Block |
---|
anchor | nablaT |
---|
alignment | left |
---|
|
\partial j_z = 0
|
откуда
LaTeX Math Block |
---|
|
\lambda_z(x,y,z) \, \partial_z \, T_g = j_z(x,y)
|
где
региональное распределение вертикально компоненты плотности теплового потока Земли.Интегрируя уравнение
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
получим уравнение LaTeX Math Block Reference |
---|
|
.Условия теплообмена на поверхности задаются опорной глубиной и температурой.
Понятие опорной глубины и температуры связано с тем, что верхний слой грунта не является стационарным во времени и подвержен дневным и сезонным колебаниям температуры, вызванным переменным влиянием солнца и атмосферных явлений.
Как правило, эти влияния проникают не глубже 20 – 30 м.
Эта отметка
называется глубиной залегания нейтрального слоя, а его температура LaTeX Math Inline |
---|
body | T_{n_0} = T_g(x,y,z_{n_0}) |
---|
|
называется температурой нейтрального слоя.Именно ее и выбирают в качестве опорной для расчета температурного поля ниже опорной отметки.
Нейтральный слой
Математическая модель температуры грунта на произвольной глубине
и в произвольный момент времени , от момента начала цикла температурных колебаний, может быть решена численно.Однако полезность этих расчетов на коротких временах (сутки и даже месяцы) ограничивается спонтанностью входящих в модель параметров:
- волатильность степени солнечного потока в данном регионе в зависимости от облачности и степени поглощения/отражения поверхности земли
- волатильности атмосферных явлений (ветер и осадки)
- волатильности активности грунтовых вод
Для практических целей моделирования температуры пород выше нейтрального слоя вполне достаточно феноменологической корреляции [Kasuda, 1965]:
LaTeX Math Block |
---|
| \rho_e \, c_e \frac{\partial T_G}{\partial t} + \nabla \left( \lambda_e \nabla T_G \right) = q({\bf r}) |
|
LaTeX Math Block |
---|
| T_G(t, x, y, z = z_s) = T_s(t, x, y) |
|
LaTeX Math Block |
---|
| \Big[ \lambda_e \nabla T_G \Big]_{z=z_{ref}} = {\bf j}(x,y, z = z_{ref}) |
|
LaTeX Math Block |
---|
| G_T({\bf r}) = \frac{j_z({\bf r})}{\lambda_e({\bf r})} |
|
See Also
...
Geology / Geothermal Temperature Field
[ Constant Areal Geothermal Temperature Profile @model ] [ Geothermal Temperature Gradient ]
References
...
Show If |
---|
|
Panel |
---|
bgColor | papayawhip |
---|
title | ARAX |
---|
| J. H. Davis, D. R. Davis, Earth’s surface heat flux - London -2010.pdf
Georgios Florides, Soteris Kalogirou, Annual ground temperature measurements at various - Cyprus - 2014.pdf Геотермическое поле земли | T(t, z) = T_{srf} + \frac{j_z}{\lambda_e} (z-z_{srf}) + T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{srf}-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg] \, \cos \bigg[ \, 2 \pi \frac{t - t_{min}}{\delta_T} + (z_{srf} -z) \sqrt {\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg] | где | абсолютная отметка поверхности земли (обычно полагается ) | | средняя температура пород на поверхности (обычно по метеосводкам региона) | | среднее значение амплитуды циклических колебаний на поверхности земли (обычно по метеосводкам региона) | | период циклических колебаний температуры (обычно LaTeX Math Inline |
---|
body | \delta t = 1 \, {\rm год} |
---|
| ) | | смещение от начала цикла при котором отклонение температуры от среднего минимально | LaTeX Math Inline |
---|
body | a_e = \frac{\lambda_e}{\rho_e \, c_e} |
---|
|
| температуропроводность грунта | | плотность грунта | | удельная объемная теплоемкость грунта при постоянном давлении | Волатильность теплообмена с атмосферой зашифрована в параметры и и определяется по региональным метеосводкам.Формула LaTeX Math Block Reference |
---|
| применима как к сезонным, так и дневным колебаниям температуры, но с учетом вышесказанных оговорок о волатильности параметров теплообмена на коротких временах наблюдений.По этой же формуле можно оценить глубину залегания нейтрального слоя (по пороговому значению погрешности температурных измерений): LaTeX Math Block |
---|
| z_{n_0} = z_{srf} + \sqrt{\frac{a_e \, \delta_T }{\pi}} \, \ln \frac{T_A }{\delta T_{err} } |
где | измерительная погрешность термометра (обычно LaTeX Math Inline |
---|
body | \delta T_{err} = 0.1 \, ^\circ \rm C |
---|
| ) | Expand |
---|
title | Вывод формулы глубины залегания нейтрального слоя |
---|
| Для вывода формулы LaTeX Math Block Reference |
---|
| запишем значение максимальной и минимальной температуры по формуле LaTeX Math Block Reference |
---|
| в зависимости от момента времени на хронологической шкале цикла: LaTeX Math Block |
---|
| T_{max} = T_{srf} + \frac{j_z}{\lambda_e} (z-z_{ref}) + T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{ref}-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg] |
LaTeX Math Block |
---|
| T_{min} = T_{srf} + \frac{j_z}{\lambda_e} (z-z_{ref}) - T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{srf}-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg] |
откуда получается размах температурных колебаний на глубине : LaTeX Math Block |
---|
| \delta T_{max} = T_{max} - T_{min} = 2 T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{srf}-z}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg] | Если метрологическая погрешность термометра составляет , то он в состоянии зарегистровать колебания свыше LaTeX Math Inline |
---|
body | \delta T_{max} = 2 \, \delta T_{err} |
---|
| то есть: LaTeX Math Block |
---|
| \delta T_{err} = T_A \, \exp \bigg[ \, {(z_{srf}-z_0}) \sqrt{\frac{\pi}{a_e \, \delta_T}} \, \bigg] |
откуда и вытекает формула LaTeX Math Block Reference |
---|
| .Геотерма скважиныГеотермическое распределение температуры вдоль траектории данной скважины называется геотермой данной скважины и являестя как функцией геотермического поля региона, так и траектории данной скважины и задается следующей моделью: LaTeX Math Block |
---|
| T_g(l) = T_{n_0}(x,y) + \int_{z_{n_0}}^{z(l)} G_T(x,y,z) dz = T_{n_0}(x,y) + \int_{l_{n_0}}^l G_T(x,y,z(l)) \cos \theta dl |
где | отметка нейтрального слоя вдоль траектории скважины (обычно так как начальные участки скважин не имеют сильного отклонения от вертикали) | В регионах, где нейтральный слой остается постоянным по площади LaTeX Math Inline |
---|
body | T_{n_0}(x,y) = T_{n_0}= \rm const |
---|
| , а геотермический градиент остается постоянным по площади по глубине LaTeX Math Inline |
---|
body | G_T(x,y,z) = G_T = \rm const |
---|
| , геотермическое распределение температуры в породах принимает простой вид: LaTeX Math Block |
---|
anchor | T_g_const |
---|
alignment | left |
---|
| T_g(l) = T_{n_0} + (z(l) - z_{n_0}) \, G_T \, \sin \theta(l) |
Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле LaTeX Math Block Reference |
---|
| может привести к значительным погрешностям.Наиболее популярные причины отклонения геотермического профиля от LaTeX Math Block Reference |
---|
| являются: большой контраст теплопроводности по горизонтам латеральные потоки флюида (как секулярные так и возникшие в процессе разработки месторождений) близкое расположение активного разлома
к котором следует еще добавить техногенные явления в процессе геотермических исследований: действующие перетоки в исследуемой скважине недостаточный срок стабилизации температуры после останова скважины для геотермических исследованийНаиболее популярными причинами дрейфа геотермы или е отдельных участков по площади являются: переменный по площади профиль теплопроводности пластов (вызванный особенностями распределения фаций и вертикальными разломами) вертикальные перетоки в разломах и скважинах переменный тепловой поток Земли вызванный конвективными ячейками в мантии переменные условия теплообмена на поверхности земли (например суша-вода)
|