Definition
Mathematical model of Volatile Oil reservoir flow predicts the temperature, pressure and flow speed distribution in reservoir with account for:
- available historical data on surface flowrates and/or bottom hole pressure
- available 3D geological model
- PVT and SCAL model
- specific wellbore designs
- gravitational forces
- heat propagation
- adiabatic and Jole-Thomson heat effects
The Black Oil flow is specific type of the Volatile Oil flow with
.
Mathematical Model
The Volatile Oil flow dynamics is defined by the following set of 3D equations:
Section |
---|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| \partial_t \bigg [ \phi \ \bigg ( \frac{s_w}{B_w} \bigg ) \bigg ] + \nabla \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg ) =
q_W (\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \partial_t \bigg [ \phi \ \bigg ( \frac{s_o}{B_o} + \frac{R_v \ s_g}
{B_g} \bigg ) \bigg ] + \nabla \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o
+ \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = q_O(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \partial_t \bigg [ \phi \ \bigg ( \frac{s_g}{B_g} + \frac{R_s \ s_o}
{B_o} \bigg ) \bigg ] + \nabla \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g
+ \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg ) = q_G (\mathbf{r}) |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
anchor | DarcyW |
---|
alignment | left |
---|
| \mathbf{u}_w = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla P_w - \rho_w \ \mathbf{g} ) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | DarcyO |
---|
alignment | left |
---|
| \mathbf{u}_o = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ ( \nabla P_o - \rho_o \ \mathbf{g} ) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | DarcyG |
---|
alignment | left |
---|
| \mathbf{u}_g = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g - \rho_g \ \mathbf{g} ) |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
anchor | CapilarOW |
---|
alignment | left |
---|
| P_o - P_w = P_{cow}(s_w) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | CapilarOG |
---|
alignment | left |
---|
| P_o - P_g = P_{cog}(s_g) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | swsosg |
---|
alignment | left |
---|
| s_w + s_o + s_g = 1 |
|
|
LaTeX Math Block |
---|
|
(\rho \,c_{pt})_p \frac{\partial T}{\partial t}
- \ \phi \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \eta_{s \alpha} \ \frac{\partial P_\alpha}{\partial t}
+ \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \epsilon_\alpha \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \nabla P
+ \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \ \nabla T
- \nabla (\lambda_t \nabla T) = \rho_{\rm inj} \, c_{\rm inj} \, T_{\rm inj} \, q_{\rm inj}({\bf r})\, \delta({\bf r}) |
The disambiguation of the properties in the above equation is brought in The list of dynamic flow properties and model parameters.
The right sides of equations
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
–
LaTeX Math Block Reference |
---|
|
suggest no sources of flow except the contacts between wells and reservoir which is specified by well models as boundary conditions (see
below).
Expand |
---|
|
The Volatile Oil flow model simulates 3-component fluid : water, liquid hydrocarbon (called "oil") and gaseous hydrocarbons ( called "gas") that flow in 3 possible phases (water, gasified oil and free gas) and defined by the following set of equations: Section |
---|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| \partial_t \bigg [ \phi \ \rho_W \bigg ] + \nabla \bigg ( \rho_{Ww} \ \mathbf{u}_w \bigg ) = q_{mW}(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \partial_t \bigg [ \phi \ \rho_O \bigg ] + \nabla \bigg ( \rho_{Oo} \ \mathbf{u}_o
+ \rho_{Og} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = q_{mO}(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \partial_t \bigg [ \phi \ \rho_G \bigg ] + \nabla \bigg ( \rho_{Go} \ \mathbf{u}_o
+ \rho_{Gg} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = q_{mG}(\mathbf{r}) |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
anchor | DarcyW1 |
---|
alignment | left |
---|
| \mathbf{u}_w = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla P_w - \rho_w \mathbf{g} ) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | DarcyO1 |
---|
alignment | left |
---|
| \mathbf{u}_o = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ ( \nabla P_o - \rho_o \mathbf{g} ) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | DarcyG1 |
---|
alignment | left |
---|
| \mathbf{u}_g = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g - \rho_g \mathbf{g} ) |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
anchor | CapilarOW1 |
---|
alignment | left |
---|
| P_o - P_w = P_{cow}(s_w) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | CapilarOG1 |
---|
alignment | left |
---|
| P_o - P_g = P_{cog}(s_g) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | swsosg1 |
---|
alignment | left |
---|
| s_w + s_o + s_g = 1 |
|
|
LaTeX Math Block |
---|
| (\rho \,c_{pt})_m \frac{\partial T}{\partial t}
- \ \phi \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \eta_{s \alpha} \ \frac{\partial P_\alpha}{\partial t}
+ \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \epsilon_\alpha \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \nabla P
+ \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \ \nabla T
- \nabla (\lambda_t \nabla T) = \frac{\delta E_H}{ \delta V \delta t} |
Equations LaTeX Math Block Reference |
---|
| – LaTeX Math Block Reference |
---|
| define the continuity of the fluid components flow or equivalently represent the mass conservation of each mass component LaTeX Math Inline |
---|
body | \{ m_W, \ m_O, \ m_G \} |
---|
| during its transportation in space. Equations LaTeX Math Block Reference |
---|
| – LaTeX Math Block Reference |
---|
| define the motion dynamics of each phase, represnted as linear correlation between phase flow speed and partial pressure gradient of this phase (which is also called Darci flow with account of the gravity and relative permeability).
Equations LaTeX Math Block Reference |
---|
| – LaTeX Math Block Reference |
---|
| define the hydrodynamic inter-facial balance between the phases with account of capillary pressure in porous formation . The key assumption is that capillary pressure at oil-water boundary is a function of water saturation alone LaTeX Math Inline |
---|
body | P_{cow} = P_{cow}(s_w) |
---|
| and capillary pressure at oil-gas boundary is a function of gas saturation alone LaTeX Math Inline |
---|
body | P_{cog} = P_{cog}(s_g) |
---|
|
In the absence of capillary pressure the inter-facial equilibrium simplifies and implies that all phases are at the same pressure at all times.
Equations LaTeX Math Block Reference |
---|
| implies that porous space is fully occupied by fluid at all times .
Equation LaTeX Math Block Reference |
---|
| defines the heat flow continuity or equivalently represents heat conservation due to heat conduction and convection with account for adiabatic and Joule–Thomson throttling effect.The term LaTeX Math Inline |
---|
body | \frac{\delta E_H}{ \delta V \delta t} |
---|
| defines the speed of change of heat energy volumetric density.In impermeable rocks ( LaTeX Math Inline |
---|
body | \phi =0, \; \bar u_\alpha = 0 |
---|
| ) heat flow is defined by heat conduction only: LaTeX Math Block |
---|
| \rho_r \, c_{pr} \frac{\partial T}{\partial t} - \nabla (\lambda_t \nabla T) = \frac{\delta E_H}{ \delta V \delta t} |
The effective specific heat capacity of formation with multiphase flow is a simple sum of its components: LaTeX Math Block |
---|
| (\rho \,c_{pt})_p = (1-\phi) \rho_r \, \ c_{pr} + \phi \ (s_w \rho_w \, c_{pw} + s_o \rho_o \, c_{po} + s_g \rho_g \, c_{pg} ) |
The effective thermal conductivity of formation with multiphase flow is assumed to be a sum of its components: LaTeX Math Block |
---|
| \lambda_{t} = (1-\phi) \ \lambda_r + \phi \ (s_w \lambda_w + s_o \lambda_o + s_g \lambda_g ) |
The term LaTeX Math Inline |
---|
body | \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \ \bar \nabla T |
---|
| represents heat convection defined by the mass flow. The term LaTeX Math Inline |
---|
body | \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \epsilon_\alpha \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \bar \nabla P |
---|
| represents the heating/cooling effect of the multiphase flow through the porous media. This effect is the most significant with light oil and gases.
The term LaTeX Math Inline |
---|
body | \ \phi \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \eta_{s \alpha} \ \frac{\partial P_\alpha}{\partial t} |
---|
| represents the heating/cooling effect of the fast adiabatic pressure change. This usually takes effect in and around the wellbore during the first minutes or hours after changing the well flow regime (as a consequence of choke/pump operation). This effect is absent in stationary flow and negligible during the quasi-stationary flow and usually not modeled in conventional monthly-based flow simulations.
The set LaTeX Math Block Reference |
---|
| – LaTeX Math Block Reference |
---|
| represent the system of 16 scalar equations on 16 unknowns: LaTeX Math Inline |
---|
body | \{ T, \ P_w, \ P_o, \ P_g, \ s_w, \ s_o, \ s_g, \ u_w^x, \ u_w^y, \ u_w^z, \ u_o^x, \ u_o^y, \ u_o^z, \ u_g^x, \ u_g^y, \ u_g^z \} |
---|
| ,which are all functions of time and space coordinates LaTeX Math Inline |
---|
body | (t, \mathbf{r}) = (t,x,y,z) |
---|
| .
Expressing the molar densities with mass shares and phase density (see also "Volatile Oil Model") one gets:
Section |
---|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| \partial_t \bigg [ \phi \ \rho_W \bigg ] + \nabla \bigg ( \rho_w \ \mathbf{u}_w \bigg ) = q_{mW}(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \partial_t \bigg [ \phi \ \rho_O \bigg ] + \nabla \bigg ( {\tilde m}_{Oo} \ \rho_o \ \mathbf{u}_o
+ {\tilde m}_{Og} \ \rho_{g} \ \mathbf{u}_g \bigg ) = q_{mO}(\mathbf{r}) |
LaTeX Math Block |
---|
| \partial_t \bigg [ \phi \ \rho_G \bigg ] + \nabla \bigg ( {\tilde m}_{Go} \ \rho_{o} \ \mathbf{u}_o
+ {\tilde m}_{Gg} \ \rho_g \ \mathbf{u}_g \bigg ) = q_{mG}(\mathbf{r}) |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
anchor | DarcyW1 |
---|
alignment | left |
---|
| \mathbf{u}_w = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla P_w - \rho_w \mathbf{g} ) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | DarcyO1 |
---|
alignment | left |
---|
| \mathbf{u}_o = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ ( \nabla P_o - \rho_o \mathbf{g} ) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | DarcyG1 |
---|
alignment | left |
---|
| \mathbf{u}_g = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g - \rho_g \mathbf{g} ) |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
anchor | CapilarOW1 |
---|
alignment | left |
---|
| P_o - P_w = P_{cow}(s_w) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | CapilarOG1 |
---|
alignment | left |
---|
| P_o - P_g = P_{cog}(s_g) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | swsosg1 |
---|
alignment | left |
---|
| s_w + s_o + s_g = 1 |
|
|
Substituting the values of mass densities and mass shares of fluid components (см. "Volatile Oil Model") and dividing each equation by density of corresponding component in standard conditions one gets the most popular form of Volatile Oil flow equations:
|
Initial Conditions
Initial temperature distribution is set as input:
LaTeX Math Block |
---|
|
T(0, \mathbf{r}) = T_0(\mathbf{r}) |
In case the simulation is performed over the undisturbed reservoir then initial temperature distribution is geothermal.
The initial condition on phase pressure, phase velocities and phase saturations is set by one of the following options: Equilibrium Start and Non-equilibrium Start.
Condition I – Equilibrium Start
Equilibrium Start means that flow was not happening before the start:
LaTeX Math Inline |
---|
body | \{ \mathbf{u}_w = 0, \ \mathbf{u}_o = 0, \ \mathbf{u}_g =0 \} |
---|
|
and correspondingly phase pressure
LaTeX Math Inline |
---|
body | \{ P_w, \ P_o, \ P_g \} |
---|
|
and phase saturations
LaTeX Math Inline |
---|
body | \{ s_w, \ s_o, \ s_g, \} |
---|
|
were in stationary (not varying in time) conditions:
Section |
---|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
| \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w \bigg )_{t=0} = 0 |
LaTeX Math Block |
---|
| \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o
+ \frac{R_v}{B_g} \ \mathbf{u}_g \bigg )_{t=0} = 0 |
LaTeX Math Block |
---|
| \nabla \cdot \bigg ( \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g
+ \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o \bigg )_{t=0} = 0 |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
anchor | DarcyW |
---|
alignment | left |
---|
| \mathbf{u}_w(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ (\nabla P_w(0, \mathbf{r}) - \rho_w \ \mathbf{g} ) = 0 |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | DarcyO |
---|
alignment | left |
---|
| \mathbf{u}_o(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ ( \nabla P_o(0, \mathbf{r}) - \rho_o \ \mathbf{g} ) = 0 |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | DarcyG |
---|
alignment | left |
---|
| \mathbf{u}_g(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g(0, \mathbf{r}) - \rho_g \ \mathbf{g} ) = 0 |
|
Column |
---|
|
LaTeX Math Block |
---|
anchor | CapilarOW |
---|
alignment | left |
---|
| P_o(0, \mathbf{r}) - P_w(0, \mathbf{r}) = P_{cow}(s_w) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | CapilarOG |
---|
alignment | left |
---|
| P_o(0, \mathbf{r}) - P_g(0, \mathbf{r}) = P_{cog}(s_g) |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | swsosg |
---|
alignment | left |
---|
| s_w + s_o + s_g = 1 |
|
|
Condition II – Non-equilibrium Start
Non-equilibrium Start means that flow happening before the start:
LaTeX Math Inline |
---|
body | \mathbf{u}_w^2 + \mathbf{u}_o^2 + \mathbf{u}_g^2 > 0 |
---|
|
and correspondingly phase pressure
LaTeX Math Inline |
---|
body | \{ P_w, \ P_o, \ P_g \} |
---|
|
and phase saturations
LaTeX Math Inline |
---|
body | \{ s_w, \ s_o, \ s_g, \} |
---|
|
were in not in equilibrium:
LaTeX Math Block |
---|
|
s_w(0, \mathbf{r}) + s_o(0, \mathbf{r}) + s_g(0, \mathbf{r}) = 1 |
pressure distribution
LaTeX Math Inline |
---|
body | \{ P_w, \ P_o, \ P_g \} |
---|
|
could be arbitrary providing the capillary constraints:
LaTeX Math Block |
---|
|
P_o(0, \mathbf{r}) - P_w(0, \mathbf{r}) = P_{cow}(s_w) |
LaTeX Math Block |
---|
|
P_o(0, \mathbf{r}) - P_g(0, \mathbf{r}) = P_{cog}(s_g). |
The phase velocities are initialized as:
LaTeX Math Block |
---|
|
\mathbf{u}_w(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla P_w(0, \mathbf{r}) - \rho_w \ \mathbf{g} ) |
LaTeX Math Block |
---|
|
\mathbf{u}_o(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ ( \nabla P_o(0, \mathbf{r}) - \rho_o \ \mathbf{g} ) |
LaTeX Math Block |
---|
|
\mathbf{u}_g(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g(0, \mathbf{r}) - \rho_g \ \mathbf{g} ) |
In practice, the non-equilibrium conditions before the start is usually a result of previous flow simulations for the same reservoir, sometimes using a different grid-structure.
External Boundary Condition
The external boundary condition for the temperature is usually set by one if the two options:
External Temperature Boundary Condition I – Fixed Temperature
LaTeX Math Block |
---|
|
T(t, \mathbf{r}) |_{\Gamma_e} = T_e( \mathbf{r}) |
External Temperature Boundary Condition II – Fixed Heat Exchange
LaTeX Math Block |
---|
|
\big( \mathbf{n}, \nabla T(t, \mathbf{r} \big) \big |_{\Gamma_e} = \zeta \cdot \big( T(t, \mathbf{r}) - T_e( \mathbf{r}) \big) |
where
– heat exchange coefficient at model boundary.
The external boundary condition for phase pressure, phase velocities and phase saturations is set by one of the two popular options:
External Pressure Boundary Condition I – Non-permeable boundary
LaTeX Math Block |
---|
anchor | Neuman |
---|
alignment | left |
---|
|
\big( \mathbf{n}, \ (\nabla P_\alpha(t, \mathbf{r}) - \rho_\alpha \mathbf{r}) \big) \big|_{\Gamma_e} = 0 |
where
– normal vector to the boundary
and
LaTeX Math Inline |
---|
body | \alpha = \{ w, o, g \} |
---|
|
.
External Pressure Boundary Condition II – constant-pressure boundary
LaTeX Math Block |
---|
anchor | Dirichle |
---|
alignment | left |
---|
|
P_\alpha(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_e} = P_i = const |
where
LaTeX Math Inline |
---|
body | \alpha = \{ w, o, g \} |
---|
|
.
Well model
Well flow model (don't get confused with Wellbore Flow Model) simulates the flow at the contact between well and reservoir thus relating the sandface flow rates and pressure distribution in reservoir around the well:
LaTeX Math Block |
---|
|
P_w(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_o(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_g(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}}= P_{wf}(t) \big|_{\Gamma_{WRC}} |
where
is a well-reservoir.
Bottom-hole pressure
LaTeX Math Inline |
---|
body | P_{wf}(t) \big|_{\Gamma_{WFC}} = P_{wf}(t,h) |
---|
|
at the contact
(at depth along-hole
) is set by one of the three popular conditions (traditionally called "Controls"):
- Well Condition I – Pressure Control
- Well Condition II – Liquid Control
- Well Condition III – Oil Control
Show If |
---|
|
Panel |
---|
bgColor | papayawhip |
---|
title | ARAX |
---|
| Well Condition I – Pressure Control
Это условие предполагает, что в каждый момент времени известно опорное забойное давление на глубине , а забойное давление в каждой точке контакта скважины и пласта рассчитывается по формуле: LaTeX Math Block |
---|
| P_{wf}(t) = P_{wf}(t, h_0) + P_{\delta}(t, \delta h) |
где LaTeX Math Inline |
---|
body | P_{\delta}(t, \delta h) |
---|
| – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины.
При адаптации модели к промысловым данным это условие выполняется для - нагнетательных скважин, чьи забойные давления пересчитываются по
- показаниям устьевых манометров с учетом потерь на трение в стволе скважины
- по известному давлению на выходе КНС с учетом потерь на трение в стволе скважины и наземных трубопроводах
- для добывающих скважин с мониторингом забойного давления по
- глубинным манометрам
- эхолотам
- для добывающих скважин с низким забойным давлением (когда уровень находится вблизи точки подвеса насоса или газлифтного клапана).
При прогнозных расчетах это условие выполняется для - нагнетательных скважин, чьи режимы закачки определяются давлением на КНС с учетом потерь на трение в стволе скважины и наземных трубопроводах
- для добывающих скважин с низким забойным давлением (когда уровень находится вблизи точки подвеса насоса или газлифтного клапана).
При этом для фонтанной, газлифтной и насосной эксплуатации скважин с забойным давлением выше критического это условие не является физичным и необходимо прогнозировать работу скважины согласно Условию II. Well Condition II – Liquid Control
Это условие предполагает, что известна добыча жидкости на сепараторе каждой скважины и изменение забойного давления на каждой скважине рассчитывается по формуле: LaTeX Math Block |
---|
anchor | Pwf_qL |
---|
alignment | left |
---|
| P_{wf}(t) = P_{wf}(t, h_{ref}) + P_{\delta}(t, \delta h) |
где LaTeX Math Inline |
---|
body | P_{\delta}(t, \delta h) |
---|
| – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины,а опорное давление на глубине определяется по следующей формуле: LaTeX Math Block |
---|
| P_{wf}(t, h_{ref}) =
\frac{ \int_{\Gamma_{WRC}} \bigg(
\frac{M_w (P_{ew}- \delta P_{wf})}{B^S_w} + \frac{M_o (P_{eo}- \delta P_{wf})}{B^S_o} + \frac{R_v M_g (P_{eg}- \delta P_{wf})}{B^S_g}
\bigg) T_h dh - q_L(t) }
{ \int_{\Gamma_{WRC}} \bigg(
\frac{M_w}{B^S_w} + \frac{M_o}{B^S_o} + \frac{R_v M_g}{B^S_g}
\bigg) T_h dh } |
которая обеспечивает устьевой дебит по жидкости в размере : LaTeX Math Block |
---|
| q_L(t) = q_W(t) + q_O(t) =
\int_{\Gamma_{WRC}} \bigg(
\frac{M_w (P_{ew} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_w}
+ \frac{M_o (P_{eo} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_o}
+ \frac{R_v M_g (P_{eg} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_g}
\bigg) T_h dh |
Если пользователь ввел ограничение на минимальное забойное давление (определяемое например, глубиной спуска насоса или газлифтного клапана), то при достижении LaTeX Math Inline |
---|
body | P_{wf}(t) = P_{wf}^{ \ min} |
---|
| скважина автоматически переходит в режим постоянного давления: LaTeX Math Block |
---|
| P_w(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_o(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_g(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_{wf}^{min} = const |
которое будет сопровождаться изменением дебита всех фаз согласно LaTeX Math Block Reference |
---|
anchor | qW |
---|
page | Well-Reservoir contact @ model |
---|
| – LaTeX Math Block Reference |
---|
anchor | qG |
---|
page | Well-Reservoir contact @ model |
---|
| .Этот режим соотвествует работе насоса с пониженным КПД и в случае если условия на границе контакта поменяются (например, в процессе подъема пластового давления) и потенциал забойного давления согласно LaTeX Math Block Reference |
---|
| поднимется выше , то скважина опять перейдет в режим работы с заданным дебитом .
При адаптации модели к промысловым данным это условие выполняется для всех типов добывающих и нагнетательных скважин, для которых отборы известны точно (что, кстати, далеко не всегда имеет место быть на практике). При прогнозных расчетах это условие выполняется для - нагнетательных и добывающих скважин, чьи режимы работы определяются диаметром штуцером
- для добывающих скважин с высоким забойным давлением (когда уровень находится выше точки подвеса насоса или газлифтного клапана).
При этом для скважин с низким забойным давлением это условие не является физичным и необходимо прогнозировать работу скважины согласно Условию I. Well Condition III – Oil Control
Это условие предполагает, что добыча воды и газа неизвестна (или известна неточно) и забойное давление добывающей скважины в каждый момент времени определяется только значениями устьевых отборов нефти (которые, как правило, известны точно) по следующей формуле: LaTeX Math Block |
---|
anchor | Pwf_qO |
---|
alignment | left |
---|
| P_{wf}(t) = P_{wf}(t, h_{ref}) + P_{\delta}(t, \delta h) |
где – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины, а опорное давление на глубине определяется по следующей формуле: LaTeX Math Block |
---|
| P_{wf}(t, h_{ref}) =
\frac{ \int_{\Gamma_{WRC}} \bigg(
\frac{M_o (P_{eo}- P_{\delta})}{B^S_o} + \frac{R_v M_g (P_{eg}- P_{\delta})}{B^S_g}
\bigg) T_h dh - q_O(t) }
{ \int_{\Gamma_{WRC}} \bigg(
\frac{M_o}{B^S_o} + \frac{R_v M_g}{B^S_g}
\bigg) T_h dh } |
которая обеспечивает устьевой дебит по жидкости в размере : LaTeX Math Block |
---|
anchor | qO_Control |
---|
alignment | left |
---|
| q_O(t) =
\int_{\Gamma_{WRC}} \bigg(
\frac{M_o (P_{eo} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_o}
+ \frac{R_v M_g (P_{eg} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_g}
\bigg) T_h dh |
Если пользователь ввел ограничение на минимальное забойное давление (определяемое например, глубиной спуска насоса или газлифтного клапана), то при достижении LaTeX Math Inline |
---|
body | P_{wf}(t) = P_{wf}^{ \ min} |
---|
| скважина автоматически переходит в режим постоянного давления LaTeX Math Block |
---|
| P_o(t, \vec r) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_{wf}^{min} = const |
которое будет сопровождаться изменением дебита по нефти согласно LaTeX Math Block Reference |
---|
| .
Этот режим соотвествует работе насоса с пониженным КПД и в случае если условия на границе контакта поменяются (например, в процессе подъема пластового давления) и потенциал забойного давления согласно LaTeX Math Block Reference |
---|
| поднимется выше , то скважина опять перейдет в режим работы с заданным дебитом .
Условие III по своему определению накладывается только на добывающие скважины и выполняется для всех типов добывающих скважин, для которых отборы нефти известны точно (что наиболее часто встречается на практике). При этом условие на нагнетательных скважинах не оговорено и может быть как I-ого так и II-ого типа в зависимости от реализации системы ППД. При прогнозных расчетах условие III использоваться не может в силу своей нефизичности, за исключением случая безводной эксплуатации недонасыщенной нефти, в котором это условие становится физичным и эквивалетным Условию II (контроль по жидкости). На практике Условие III рекомендуется накладывать для первичной настройки модели (настройки ее базовых параметров) и потом рекомендуется переключать контроль на Условие I или Условие II в зависимости от промысловых условий эксплуатации скважин. |
|
The list of dynamic flow properties and model parameters
| time and space corrdinates , -axis is orientated towards the Earth centre, define transversal plane to the -axis |
LaTeX Math Inline |
---|
body | \mathbf{r} = (x, \ y, \ z) |
---|
|
| position vector at which the flow equations are set |
LaTeX Math Inline |
---|
body | q_{mW} = \frac{d m_W}{dt} |
---|
|
| speed of water-component mass change in wellbore draining points |
LaTeX Math Inline |
---|
body | q_{mO} = \frac{d m_O}{dt} |
---|
|
| speed of oil-component mass change in wellbore draining points
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | q_{mG} = \frac{d m_G}{dt} |
---|
|
| speed of gas-component mass change in wellbore draining points
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | q_W = \frac{1}{\rho_W^{\LARGE \circ}} \frac{d m_W}{dt} = \frac{d V_{Ww}^{\LARGE \circ}}{dt} = \frac{1}{B_w} q_w |
---|
|
| volumetric water-component flow rate in wellbore draining points recalculated to standard surface conditions
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | q_O = \frac{1}{\rho_O^{\LARGE \circ}} \frac{d m_O}{dt} = \frac{d V_{Oo}^{\LARGE \circ}}{dt} + \frac{d V_{Og}^{\LARGE \circ}}{dt} = \frac{1}{B_o} q_o + \frac{R_v}{B_g} q_g |
---|
|
| volumetric oil-component flow rate in wellbore draining points recalculated to standard surface conditions
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | q_G = \frac{1}{\rho_G^{\LARGE \circ}} \frac{d m_G}{dt} = \frac{d V_{Gg}^{\LARGE \circ}}{dt} + \frac{d V_{Go}^{\LARGE \circ}}{dt} = \frac{1}{B_g} q_g + \frac{R_s}{B_o} q_o |
---|
|
| volumetric gas-component flow rate in wellbore draining points recalculated to standard surface conditions
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | q_w = \frac{d V_w}{dt} |
---|
|
| volumetric water-phase flow rate in wellbore draining points
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | q_o = \frac{d V_o}{dt} |
---|
|
| volumetric oil-phase flow rate in wellbore draining points
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | q_g = \frac{d V_g}{dt} |
---|
|
| volumetric gas-phase flow rate in wellbore draining points
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | q^S_W =\frac{dV_{Ww}^S}{dt} |
---|
|
| total well volumetric water-component flow rate
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | q^S_O = \frac{d (V_{Oo}^S + V_{Og}^S )}{dt} |
---|
|
| total well volumetric oil-component flow rate
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | q^S_G = \frac{d (V_{Gg}^S + V_{Go}^S )}{dt} |
---|
|
| total well volumetric gas-component flow rate
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | q^S_L = q^S_W + q^S_O |
---|
|
| total well volumetric liquid-component flow rate
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | P_w = P_w (t, \vec r) |
---|
|
| water-phase pressure pressure distribution and dynamics |
LaTeX Math Inline |
---|
body | P_o = P_o (t, \vec r) |
---|
|
| oil-phase pressure pressure distribution and dynamics |
LaTeX Math Inline |
---|
body | P_g = P_g (t, \vec r) |
---|
|
| gas-phase pressure pressure distribution and dynamics |
LaTeX Math Inline |
---|
body | \vec u_w = \vec u_w (t, \vec r) |
---|
|
| water-phase flow speed distribution and dynamics
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | \vec u_o = \vec u_o (t, \vec r) |
---|
|
| oil-phase flow speed distribution and dynamics
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | \vec u_g = \vec u_g (t, \vec r) |
---|
|
| gas-phase flow speed distribution and dynamics
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | P_{cow} = P_{cow} (s_w) |
---|
|
| capillary pressure at the oil-water phase contact as function of water saturation
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | P_{cog} = P_{cog} (s_ g) |
---|
|
| capillary pressure at the oil-gas phase contact as function of gas saturation
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | k_{rw} = k_{rw}(s_w, \ s_g) |
---|
|
| relative formation permeability to water flow as function of water and gas saturation |
LaTeX Math Inline |
---|
body | k_{ro} = k_{ro}(s_w, \ s_g) |
---|
|
| relative formation permeability to oil flow as function of water and gas saturation
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | k_{rg} = k_{rg}(s_w, \ s_g) |
---|
|
| relative formation permeability to gas flow as function of water and gas saturation
|
| porosity as function of formation pressure |
| absolute formation permeability to air |
LaTeX Math Inline |
---|
body | \vec g = (0, \ 0, \ g) |
---|
|
| gravitational acceleration vector |
| gravitational acceleration constant
|
| mass density of -phase fluid |
| viscosity of -phase fluid
|
LaTeX Math Inline |
---|
body | \lambda_t(P,T,s_w, s_o, s_g) |
---|
|
| effective thermal conductivity of the rocks with account for multiphase fluid saturation |
| rock matrix thermal conductivity |
| thermal conductivity of -phase fluid |
| rock matrix mass density |
| differential adiabatic coefficient of -phase fluid |
| specific isobaric heat capacity of the rock matrix |
| specific isobaric heat capacity of -phase fluid |
LaTeX Math Inline |
---|
body | \epsilon_\alpha (P, T) |
---|
|
| differential Joule–Thomson coefficient of -phase fluidдифференциальный коэффициент Джоуля-Томсона фазы |