...
Physics / Fluid Dynamics / Radial fluid flow
[ Line Source Solution (LSS) @model ]
Show If |
---|
|
Panel |
---|
|
Expand |
---|
|
Expand |
---|
| Include Page |
---|
| Line Source Solution (LSS) |
---|
| Line Source Solution (LSS) |
---|
|
|
LaTeX Math Block |
---|
| p(t,r) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, {\rm Ei} \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg) |
Рассмотрим плоскопараллельный аксиально-симметричный однородный пласт постоянной толщины , с радиальной координатой в перпендикулярной к оси скважины плоскости, который вскрыт бесконечно тонкой скважиной в точке (где – радиальная координата в перпендикулярной к оси скважине плоскости) и начальным пластовым давлением .
Пусть в момент времени скважина запускается с дебитом (в пересчете на пластовые условия).Диффузия давления описывается решением уравнения однофазного радиального течения в бесконечном однородном пласте: LaTeX Math Block |
---|
| \frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \Delta p = \chi \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \bigg( r \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) |
с начальным условием: LaTeX Math Block |
---|
| p(t = 0, r) = p_i |
и граничными условиями: LaTeX Math Block |
---|
| p(t, r \rightarrow \infty ) = p_i |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | Boundary_q |
---|
alignment | left |
---|
| r \frac{\partial p(t, x )}{\partial r} \bigg|_{r \rightarrow 0} = \frac{q_t}{2 \pi \sigma} |
где LaTeX Math Inline |
---|
body | \sigma = \frac{k \, h}{\mu} |
---|
| – гидропроводность пласта, LaTeX Math Inline |
---|
body | \chi = \frac{k}{\mu} \, \frac{1}{\phi \, c_t} |
---|
| – пьезопроводность пласта, – проницаемость пласта, – пористость пласта, – сжимаемость пласта, – сжимаемость порового коллектора, – сжимаемость насыщающего пласт флюида, – вязкость насыщающего пласт флюида.
При анализе отклика давления на самой скважине ( ) после включения на достаточно больших временах, удовлетворяющих условию: LaTeX Math Block |
---|
| t \gg \frac{r_w^2}{4 \chi}
|
которые на практике наступают очень быстро, можно воспользоваться приближением LaTeX Math Inline |
---|
body | {\rm Ei}(-x) \sim \ln (x) + \gamma \sim \ln (1.781 x) |
---|
| , где – постоянная Эйлера. Режим радиального течения к линейному источнику примет вид:
LaTeX Math Block |
---|
| p(t,r_w) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \ln \bigg( 1.781 \, \frac{r_w^2}{4 \chi t} \bigg) |
Отсюда следует, что уже вскоре после запуска скважины динамическая депрессия на пласт начинает логарифмически расти во времени:
LaTeX Math Block |
---|
| \delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim { \rm const } + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \ln t |
а логарифмическая производная становится постоянной во времени: LaTeX Math Block |
---|
| t \frac{d (\delta p)}{dt} \sim \frac{q_t}{4 \pi \sigma} |
В лог-лог координатах лог-производная депрессии будет горизонтальной, что является характерным для радиальной фильтрации в бесконечном пласте.
|
|
|
...