называется моделированием лифта.
В общем случае задача представляет собой систему уравнений на давление и температуру и решается численными методами. Однако большое количество экспериментов позволило создать несколько эмпирических аналитических моделей, которые для ряда приложений работают вполне удовлетворительно.
| Show If |
|---|
| Профиль давления
Когда в стволе скважины достигается стационарный режим потока, распределение давления по стволу скважины определяется балансом сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины и удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:| LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dz} = \bigg( \frac{dp}{dz} \bigg)_g + \bigg( \frac{dp}{dz} \bigg)_v + \bigg( \frac{dp}{dz} \bigg)_f |
где | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \bigg( \frac{dp}{dz} \bigg)_g |
|---|
|
– градиент давления, формируемый гравитационными силами,| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \bigg( \frac{dp}{dz} \bigg)_v |
|---|
|
– градиент давления, формируемый вариацией скорости потока вдоль ствола скважины,| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \bigg( \frac{dp}{dz} \bigg)_f |
|---|
|
– градиент давления, формируемый трением флюида со стенкой скважины.
Эти градиенты определяются следующими формулами: | LaTeX Math Block |
|---|
| \bigg( \frac{dp}{dz} \bigg)_g = \rho \, g \, \sin \theta, |
| LaTeX Math Block |
|---|
| \bigg( \frac{dp}{dz} \bigg)_v = \rho \, v \, \frac{dv}{dz}, |
| LaTeX Math Block |
|---|
| \bigg( \frac{dp}{dz} \bigg)_f = \frac{ f \, \rho v^2}{2 d}, |
где
– плотность флюида,
– угол наклона скважины к горизонту,
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | g = \rm 9.87 \, м/с^2 |
|---|
|
– ускорение свободного падения,
– профиль диаметра скважины, вдоль которого идет поток, – коэффициент трения Муди (Moody [1]).
Так что уравнение на профиль давления выглядит следующим образом: | LaTeX Math Block |
|---|
| \frac{dp}{dz} = \rho \, g \, \sin \theta + \rho \, v \, \frac{dv}{dz} + \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d} |
Для гладкой трубы зависимость коэффициента трения Муди дается следующем выражением: | LaTeX Math Block |
|---|
| \begin{align*}
f &= 64 \, \rm Re^{-1}, & \rm if \; Re < 2,100 \\
f &= 0.32 \, \rm Re^{-0.25}, & \rm if \; Re > 4,000 \\
f &= 0.184 \, \rm Re^{-0.2}, & \rm if \; Re > 50,000
\end{align*} |
где – число Рейнольдса:| LaTeX Math Block |
|---|
| {\rm Re} = \frac{d \, v \, \rho}{\mu}, |
– профиль диаметра трубы, вдоль которой движется поток,| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \mu(z) = \mu( \, p(z), \, T(z) \,) |
|---|
|
– профиль вязкости флюида, определяемая зависимостью вязкости от давления и температуры: в состоянии термодинамического равновесия.
Для трубы с шероховатыми стенками коэффициент трения можно оценить по следующей формуле (Chen [2]): | LaTeX Math Block |
|---|
| f = 0.25 \, \bigg[ \log \bigg( \frac{\epsilon / d}{3.7065} - \frac{5.0452}{Re} \log \Lambda \bigg) \bigg]^{-2} |
где – шероховатость внутренней поверхности трубы (в мм), – безразмерный параметр, рассчитываемый по формуле:| LaTeX Math Block |
|---|
| \Lambda = \frac{(\epsilon/d)^{1.1098}}{2.8257} + \bigg(\frac{7.149}{\rm Re} \bigg)^{0.8981} |
Профиль температуры
|
Ссылки
[1] Moody, L.F.: "Friction Factors for Pipe Flow", Trans., ASME (1944) 66, No. 8, 671 [2] Chen, N.H.: "An Explicit Equation for Friction Factor in Pipe", Ind. Eng. Chem., Fundamentals (1979) 18, No. 3, 296
|
