Expand |
---|
|
Include Page |
---|
| Line Source Solution (LSS) |
---|
| Line Source Solution (LSS) |
---|
|
|
LaTeX Math Block |
---|
|
p(t,r) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, {\rm Ei} \bigg( - \frac{r^2}{4 \chi t} \bigg) |
Рассмотрим плоскопараллельный аксиально-симметричный однородный пласт постоянной толщины
, с радиальной координатой
в перпендикулярной к оси скважины плоскости, который вскрыт бесконечно тонкой скважиной в точке
(где – радиальная координата в перпендикулярной к оси скважине плоскости) и начальным пластовым давлением
.
Пусть в момент времени
скважина запускается с дебитом
(в пересчете на пластовые условия).
Диффузия давления описывается решением уравнения однофазного радиального течения в бесконечном однородном пласте:
LaTeX Math Block |
---|
|
\frac{\partial p}{\partial t} = \chi \, \Delta p = \chi \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \bigg( r \frac{\partial p}{\partial r} \bigg) |
с начальным условием:
LaTeX Math Block |
---|
|
p(t = 0, r) = p_i |
и граничными условиями:
LaTeX Math Block |
---|
|
p(t, r \rightarrow \infty ) = p_i |
LaTeX Math Block |
---|
anchor | Boundary_q |
---|
alignment | left |
---|
|
r \frac{\partial p(t, x )}{\partial r} \bigg|_{r \rightarrow 0} = \frac{q_t}{2 \pi \sigma} |
где
LaTeX Math Inline |
---|
body | \sigma = \frac{k \, h}{\mu} |
---|
|
– гидропроводность пласта,
LaTeX Math Inline |
---|
body | \chi = \frac{k}{\mu} \, \frac{1}{\phi \, c_t} |
---|
|
– пьезопроводность пласта,
– проницаемость пласта,
– пористость пласта,
– сжимаемость пласта,
– сжимаемость порового коллектора,
– сжимаемость насыщающего пласт флюида,
– вязкость насыщающего пласт флюида.
При анализе отклика давления на самой скважине (
) после включения на достаточно больших временах, удовлетворяющих условию:
LaTeX Math Block |
---|
|
t \gg \frac{r_w^2}{4 \chi}
|
которые на практике наступают очень быстро, можно воспользоваться приближением
LaTeX Math Inline |
---|
body | {\rm Ei}(-x) \sim \ln (x) + \gamma \sim \ln (1.781 x) |
---|
|
, где
– постоянная Эйлера.
Режим радиального течения к линейному источнику примет вид:
LaTeX Math Block |
---|
|
p(t,r_w) = p_i + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \ln \bigg( 1.781 \, \frac{r_w^2}{4 \chi t} \bigg) |
Отсюда следует, что уже вскоре после запуска скважины динамическая депрессия на пласт начинает логарифмически расти во времени:
LaTeX Math Block |
---|
|
\delta p = p_i - p_{wf}(t) \sim { \rm const } + \frac{q_t}{4 \pi \sigma} \, \ln t |
а логарифмическая производная становится постоянной во времени:
LaTeX Math Block |
---|
|
t \frac{d (\delta p)}{dt} \sim \frac{q_t}{4 \pi \sigma} |
В лог-лог координатах лог-производная депрессии будет горизонтальной, что является характерным для радиальной фильтрации в бесконечном пласте.