...

Condition I – Equilibrium Start

Equilibrium Start means that phase pressure that flow was not happening before the start: 

\nabla \cdot \bigg (     \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w     \bigg )_{t=0}      = 0

\nabla \cdot \bigg (     \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o 

+    \frac{R_v}{B_g} \   \mathbf{u}_g    \bigg )_{t=0}      = 0

\nabla \cdot \bigg (     \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g

+    \frac{R_s}{B_o} \   \mathbf{u}_o     \bigg )_{t=0}    = 0

\mathbf{u}_w(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ (\nabla  P_w(0, \mathbf{r}) - \rho_w \  \mathbf{g} ) = 0

\mathbf{u}_o(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ (  \nabla P_o(0, \mathbf{r}) - \rho_o \ \mathbf{g} ) = 0

\mathbf{u}_g(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g(0, \mathbf{r}) - \rho_g \ \mathbf{g} ) = 0

P_o(0, \mathbf{r}) - P_w(0, \mathbf{r}) = P_{cow}(s_w)

P_o(0, \mathbf{r}) - P_g(0, \mathbf{r}) = P_{cog}(s_g)

s_w + s_o + s_g = 1

Condition II – Non-equilibrium Start

Equilibrium Non-equilibrium Start means that phase pressure that flow happening before the start: 

s_w(0, \mathbf{r}) + s_o(0, \mathbf{r}) + s_g(0, \mathbf{r}) = 1

pressure distribution поле давлений

P_o(0, \mathbf{r}) - P_w(0, \mathbf{r}) = P_{cow}(s_w)

P_o(0, \mathbf{r}) - P_g(0, \mathbf{r}) = P_{cog}(s_g).

При этом начальное поле скоростей

\mathbf{u}_w(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla  P_w(0, \mathbf{r}) - \rho_w \  \mathbf{g} )

...

\mathbf{u}_g(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g(0, \mathbf{r}) - \rho_g \ \mathbf{g} )

На практике, нестационарное начальное поле давлений, скоростей и насыщенностей является, как правило, результатом промежуточных расчетов этой же модели, либо более крупной модели.

Краевое условие на внешней границе

Краевое условие на температурное поле на внешней границе задается одним из двух вариантов

...

In practice, the non-equilibrium conditions before the start  is usually a result of previous flow simulations for the same reservoir, sometimes using a different grid-structure.

External Boundary Condition 

...

The external boundary condition for the temperature is usually set by one if the two options:

External Temperature Boundary Condition I – Fixed Temperature

T(t, \mathbf{r}) |_{\Gamma_e} = T_e( \mathbf{r}) 

...

External Temperature Boundary Condition II – Fixed Heat Exchange

\big( \mathbf{n}, \nabla T(t, \mathbf{r} \big) \big |_{\Gamma_e} = \zeta \cdot \big( T(t, \mathbf{r}) - T_e( \mathbf{r}) \big) 

where где 

Краевое условие на поле давления, скоростей  насыщенности на внешней границе задается одним из двух вариантов

...

heat exchange coefficient at model boundary.

The external boundary condition for phase pressure, phase velocities and phase saturations is set by one of the two popular options:

External Pressure Boundary Condition I – Non-permeable boundary 

LaTeX Math Inline
body \Gamma_e

\big( \mathbf{n}, \ (\nabla P_\alpha(t, \mathbf{r}) - \rho_\alpha  \mathbf{r}) \big) \big|_{\Gamma_e} = 0

where  где  

...

External Pressure Boundary Condition II – constant-pressure boundary 

LaTeX Math Inline
body \Gamma_e

P_\alpha(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_e} = P_i = const

where  где  

Краевое условие на разломах

Boundary condition at faults 

...

\big( \mathbf{n}, \ ( \nabla P_\alpha(t, \mathbf{r}) - \rho_\alpha \mathbf{g}) \big) \big|_{\Gamma_F} = 0

...

...