В отличие от задач гидравлики процессы теплообмена существенно нестационарны и температурный профиль жидкости и окружающих скважину пород будет непрерывно меняться в процессе закачки. Хотя со временем изменения могут становиться настолько малы, что ими можно пренебречь в пределах погрешности измерительной аппаратуры в пределах времени конкретного исследования скважины. В этом случае говорят о квазистационарном распределении температурного поля. Помимо этого процесс распространения тепла идет не только в стволе скважины, где распространяется поток, но и далеко за ее пределами, что приводит к необходимости решать задачу и температурном поле скважины в совокупности с прилегающими к ней породами, что увиливает размерность задачи с одномерной до трехмерной (или двухмерной в случае осевой симметрии теплофизических параметров пород).
Поэтому решение задачи термометрии в стволах скважины формулируется на две температурные функции: | температурный профиль потока воды вдоль ствола скважины , отсчитываемой вниз от поверхности | | распределение температуры в массиве горных пород |
Температурный профиль потока воды ствола скважины формируется кондукцией и конвекцией вдоль потока и теплообменом с окружающими породами и описывается следующим уравнением: \rho \, c \, \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{d}{dl} \, \bigg( \lambda \, \frac{dT}{dl} \bigg) - \rho \, c \, v \, \frac{dT}{dl} |
с начальным условием: и граничным условием на поверхности:
Распределение температуры в массиве горных пород формируется кондукцией горных породах и теплообменом со стволом скважины и описывается следующим уравнением: \rho_e \, c_e \, \frac{\partial T_e}{\partial t} = \nabla ( \lambda_e \nabla T_e) |
с начальным условием: и граничным условием на бесконечном удалении от скважины: T_e(t, l, r \rightarrow \infty) = T_g(l) |
Геотермическое распределение температуры (также называемое геотермой) вдоль ствола скважины задается следующей моделью T_g(l) = T_{0e} + \int_{z_0}^{z(l)} G_T(z) dz = T_{0e} + \int_{l_0}^l G_T(z(l)) \sin \theta dl |
геотермический градиент задается отношением регионального теплового потока из недр Земли и теплопроводностью пород G_T(z(l)) = \frac{j_e}{\lambda_e(l)} |
где | величина регионального теплового потока из недр Земли (см. также Геотермия) | | профиль теплопроводности пород вдоль траектории скважины | | абсолютная отметка глубины залегания нейтрального слоя (обычно единицы ) | | отметка нейтрального слоя вдоль траектории скважины (обычно так как начальные участки скважин не имеют сильного отклонения от вертикали) |
В регионах, где геотермический градиент остается постоянным до глубины залегания продуктивных пластов, геотермическое распределение температуры в породах принимает простой вид: T_g(l) = T_{0e} + G_T \, z |
Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле может привести к значительным погрешностям. Справедливости ради стоит заметить, что эта проблема становится актуальной при анализе термограмма в бурящих и добывающих скважинах, а при анализе водяных нагнетательных скважин, использование постоянного усредненного термоградиента вполне допустимо.
Замыкает систему уравнений условие теплобмена между жидкостью в стволе скважины и окружающими горными породами, задаваемое условием непрерывности радиального теплового потока: 2 \pi \, \lambda_e \, r_w \, \frac{\partial T_e}{\partial r} \, \bigg|_{r=r_w} = 2 \pi \, r_f \, U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg) |
где – радиальное направление к оси скважины.
Если между внутренней стенкой НКТ и внутренней стенкой скважины по долоту нет источников или стоков тепла, то линейная плотность радиального потока тепла (количество тепла переносимого вдоль радиального направления в единицу времени на метр длины скважины) будет сохраняться вдоль радиального направления. Плотность радиального теплового потока между закачиваемой жидкостью и стенкой трубки НКТ может быть выражена через коэффициент теплопередачи между средами: j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_f } = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_f } = U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg) |
Это по-сути эта формула является определением коэффициента теплопередачи. Плотность радиального теплового потока между стенкой скважины и породами определяется законом теплопроводности Фурье: j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_w } = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_w } = \lambda \, \frac{\partial T}{\partial r} |
Исключая из вышеприведенных уравнений линейную плотность теплового потока получим условие теплообмена . |
Эта задача решается численными методами. Но для простых случаев есть аналитические оценки, которые правильно воспроизводят крупномасштабные формы температурного профиля. Одна из популярных аналитических моделей для стационарной () закачки в скважину с постоянным наклоном (), в окружении акисально-симметричного однородного пласта () с постоянным геотермическим градиентом вдали от поверхности , дается следующей формулой (Ramey, 1962): T(t, l) = T_{0e} + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta + \big( T_s - T_{0e} + R(t) \, G_T \, \sin \theta \big) \, e^{ - l/R(t)} |
где
R(t) = \frac{q_s}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg) |
|
релаксационное расстояние |
T_D(t) = \ln \big[ e^{-0.2 \, t_D} + (1.5 - 0.3719 \, e^{-t_D}) \, \sqrt{t_D} \big] |
|
безразмерная температура (Hasan, Kabir, 1994) |
t_D(t) = \frac{a_e \, t}{r_w^2} |
|
безразмерное время |
a_e = \frac{\lambda_e}{ c_e \, \rho_e} |
|
температуропроводность пород | | теплопроводность пород | | объемная теплопроводжность пород при постоянном давлении | | плотность пород | | температура закачиваемого флюида на поверхности | | радиус трубы вдоль контрой идет движение флюида | | радиус скважины по долоту | | геотермический градиент невозмущенных пород | | дебит скважины на устье | | плотность закачиваемого флюида | | коэффициент теплопередачи между закачиваемым флюидом и породами |
q
При больших дебитах скважины формула предсказывает малое значение и следовательно в экспоненте формулы можно удержать только линейный член разложения по : T(t, l) \approx T_s + (T_{0e} - T_s) \, \frac{l}{R(t)} \ = \ T_s + \frac{1}{q_s} \frac{ 2 \pi \, a_e \, (T_{0e} - T_s) }{ T_D(t) + \frac{\lambda}{r_f \, U}} |
откуда видно, что прогрев температуры по стволу скважины уменьшается с ростом дебита скважины , что соответствует практическим наблюдениям.
При малых дебитах скважины формула предсказывает большое значение и следовательно экспонентой в формуле можно пренебречь: T(t, l) \approx T_s + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - q_s \, \frac{G_T \, \sin \theta}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg) |
то есть поток воды прогревается породами до геотермической температуры, что соответствует практическим наблюдениям.
Также формула предсказывает логарифмический рост со временем: T_D(t) = \ln ( 1.5 \sqrt{t_D} ) = 0.4055 + 0.5 \, \ln ( t_D ) |
и начиная с какого-то момента времени неминуемо достигается соотношение , то есть температура в стволе скважины перестает зависеть от радиуса НКТ и значения коэффициента теплопередачи, что тоже соответствует практическим наблюдениям. Таким образом, значение радиуса НКТ и коэффициента теплопередачи оказывает основное влияние на скорость прогрева потока воды на начальном участке времени после включения скважины.
На больших же временах скважины с разными конструкциями и разными коэффициентами теплопередачи имеют схожую динамику и распределение температуры по стволу, которая определяется только дебитом скважины, геотермой и температуропроводностью пород.
Таким образов формула работает в широких пределах дебетов и имеет правильные асимптоты и вполне пригодна для различного рода оценок.
References
H. J. Ramey, Wellbore Heat Transmission - SPE-96-PA - 1992
R. Shankar, Pipe Flow Calculations, Clarkson University
Studopedia
solverbook.com – Коэффициент теплоотдачи R. Shankar, Pipe Flow Calculations, Clarkson University [PDF]
|