Motivation


Assess how Darcy friction factor is varying along the flow path of water producing/injecting wells

Conclusion


In many engineering applications the Darcy friction factor in stationary water flow in a constant diameter pipe  can be approximated as a constant along hole:  with absolute value depending on the flowrate .


The along-hole variation Darcy friction factor is usually not exceeding 10 % but the contribution of the friction-based  pressure loss  to the gravity-based pressure build up in vertical and slanted wells is very minor (few percents only) which makes constant friction factor assumption quite relevant.


The absolute value is staying between  for the very small flow rates (< 100 cmd in 3" pipe) and  for the very high flow rates  (> 1,000 cmd in 3" pipe) which makes a substantial difference in slanted and horizontal wells.

For complex well designs with varying pipe flow diameters and water source/stocks which may lead to substantial variation of flowrate the wellbore model can be split in segments each having a constant friction factor.


Derivation

Consider a ratio of along-hole friction-based pressure drop  and gravity-based pressure drop in vertical well :

\frac{\left[dp/dl\right]_f }{ \left[ dp/dl \right]_g } = \frac{q_s^2 }{2 A^2 \cdot d \cdot g} \, f_s = \frac{f_s \, u_s^2}{2  \cdot d \cdot g}


In 3" tubing with high flowrate (500 m3/d) the flow velocity is going to be around 1.3 m/s and the  ratio  is going to be .

Furthermore, Darcy friction factor  for wellbore flow can be written as:

 {\rm Re}(l) = \frac{u(l) \cdot d}{\nu(l)} = \frac{4 \rho_s q_s}{\pi d} \frac{1}{\mu(T, p)}


The along-hole variation of Darcy friction factor  is due to the influence of pressure  and temperature  variations on the fluid viscosity  .

In vertical and slanted wells both temperature and pressure are growing with depth. 


The decrease in water viscosity with growing temperature is partially compensated by decrease in response to growing pressure thus making viscosity staying within 10% along-hole in most practical cases (usually slightly decreasing with depth).

Providing that friction losses are only 3.3 % of the hydrostatic column the further variation of Darcy friction factor by 10% provides only 0.33 % error against pressure modelling with constant Darcy friction factor.

In case of slanted wells even a strong inclination will not change the friction contribution by much (may see a slight increase from 3 % up to 5 %).


For the horizontal sections of wells and surface pipelines the value of friction-based pressure loss dominates over vanishing gravity-based pressure build up which zooms the value of accurate calculation of Darcy friction factor with account of its variation along the flow. In the meantime, for strongly inclined/horizontal pipelines the pressure/temperature variation along the pipe is usually very minor, so is the water viscosity, and Darcy friction factor again has very little variation along the flow.


See also

Physics / Fluid Dynamics / Pipe Flow Dynamics / Darcy–Weisbach equation / Darcy friction factor 

[ Fluid friction with pipeline walls ][ Darcy friction factor in water producing/injecting wells @model ]




Derivation



The Reynolds number for water flow in typical  2.5 " ID tubing can be correlated to flow rate  [cmd] as:

{\rm Re} = 230 \cdot q

This shows that any flow above 18 cmd is turbulent () and one can use  to asses the Darcy friction factor.

It shows that varying the flowrate ten times is going to change  times only.





Как видно из вышеприведенных корреляций, коэффициент трения меняется в зависимости от скорости потока и соответствующего числа Рейнольдса.

Основным вкладом в вариабельность коэффициента трения вдоль трубы является диаметр трубы в данной точке траектории скважины, который может приводить к значительным изменениям скорости потока.

Тем не менее, зависимость от дебита является слабой. Из формулы  видно что изменение дебит в 10 раз приводит к изменению коэффициента трения в  раз.


Еще более слабой является вариабельность коэффициента трения от давления вдоль ствола, что можно проиллюстрировать следующими соображениями.


Зависимость коэффициента трения от давления формируется только через число Рейнольдса: .

Given a mass conservation equation along the pipe flow:

 A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const

one can re-write the Reynolds number  as:

{\rm Re} = \frac{ d \, \rho_s \, q_s}{A \, \mu(p)}

отсюда следует, что зависимость коэффициента трения от давления формируется вязкостью , которая для воды имеет слабую зависимость от давления в широких практических пределах:


δμ/μ = 25 % при вариации μ = 2.4·10-5 Па · с для p = 1 атм до μ = 3.0·10-5 Па · с для 300 атм (cм. Свойства воды).


Это приводит к 25 % вариации коэффициента трения для ламинарного потока (в котором сила трения минимальна) и порядка 4.5 % для турбулентного потока (и максимальным вкладом трения).


Для оценки числа Рейнольдса для нагнетаемой по 2.5 " НКТ воды можно пользоваться формулой , где  дебит скважины на устье в м3/сут.

Отсюда видно, что при дебитах более 18 м3/сут число Рейнольдса становится больше 4,000 и режим течения является турбулентным и коэффициент трения можно считать практически постоянным вдоль ствола нагнетательной скважины.


А учитывая, что рост давления с глубиной сопровождается увеличением температуры, что компенсирует рост вязкости воды, то для большинства практических реализаций ППД можно полагать, что вариация коэффициента трения вдоль ствола не превышает 2-3 % и в оценках потери напора на трение принимать коэффициент трения постоянным .