For the single-phase flow the transient models do a fair job for practical needs.
Модель водяного потока по стволу скважины описывает распределение давления , температуры и скорости потока воды по стволу скважины при заданных значениях:
и с учетом:
Модель записывается для водонагнетательной скважины, но может быть использована и для добывающих водяных скважин.
В общем случае задача представляет собой систему уравнений на давление и температуру и решается численными методами, а по результатам рассчитывается профиль скорости и расхода воды.
Однако большое количество экспериментов позволило создать несколько эмпирических моделей на основе аналитических формул, которые для ряда приложений работают вполне удовлетворительно.
Профиль давленияВ процессе эксплуатации нагнетательной скважины движение флюида вдоль ствола происходит в стационарном режиме, при этом профиль скорости потока и давления удовлетворяют условию баланса массы движущегося потока:
и баланса сил действующих на единицу объема флюида в стволе скважины:
где
Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы. Уравнение часто в литературе записывают как разложение изменения давление вдоль ствола скважины на компоненты:
где
Для несжимаемой жидкости в отсутствии трения уравнение принимает вид:
и может быть явно проинтегрировано:
и называется уравнением Бернулли.
Если дебит скважины на устье составляет , а плотность воды на устье , то уравнение можно записать в следующем виде:
откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:
Подставляя в получим уравнение на профиль давления вдоль ствола:
Далее учтем, что угол наклона к горизонту может быть выражен через абсолютные отметки глубин вдоль траектории скважины :
и уравнение для давление примет вид:
Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра и уравнение может быть переписано следующим образом:
Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления и, следовательно:
где – сжимаемость воды и уравнение профиля давления принимает вид:
Функция определяется траекторией скважины. Как будет показано ниже коэффициент трения тоже слабо зависит от вариации давления и, следовательно, уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию со слабой нелинейностью. Если предположить постоянство коэффициента трения и несжимаемость флюида , то уравнение можно явно проинтегрировать:
Первые два слагаемых описывают гидростатический столб неподвижного флюида, а последнее слагаемое выражает потери на трение при движении флюида:
В калькуляторе Well Flow Performance Calculator можно оценить величину потерь на трения для различных сценариев диаметров труб и дебитов скважин. Коэффициент тренияКоэффициент трения Дарси сложным образом зависит от режима течения, а также формы и шероховатости внутренних стенок трубы. Для гладкой трубы с круглым сечением коэффициент трения имеет следующие эмпирические аппроксимации:
где
Для переходных и турбулентных режимов течения коэффициент трения удовлетворяет эмпирической модели Колбрука-Уайта (Colebrook–White), которая учитывает шероховатость внутренней поверхности трубы
Типичное значение шероховатости труб , однако по мере эрозийного воздействия потока и отложения минеральных осадков шероховатость может подняться в разы.
Существует множество явных аппроксимаций решения уравнения , в частности следующая (Monzon, Romeo, Royo, 2002):
где – безразмерный параметр, рассчитываемый по формуле:
Однако, в пределах измерительной погрешности (< 2 %) можно пользоваться универсальной корреляцией (Churchil) для всех режимов течения, от ламинарного до сильно турбулентного:
где и . Как видно из вышеприведенных корреляций, коэффициент трения меняется в зависимости от скорости потока и соответствующего числа Рейнольдса. Основным вкладом в вариабельность коэффициента трения вдоль трубы является диаметр трубы в данной точке траектории скважины, который может приводить к значительным изменениям скорости потока. Тем не менее, зависимость от дебита является слабой. Из формулы видно что изменение дебит в 10 раз приводит к изменению коэффициента трения в раз.
Зависимость коэффициента трения от давления формируется только через число Рейнольдса: .
отсюда следует, что зависимость коэффициента трения от давления формируется вязкостью , которая для воды имеет слабую зависисмость от давления в широких практических пределах: δμ/μ = 25 % при вариации μ = 2.4·10-5 Па · с для p = 1 атм до μ = 3.0·10-5 Па · с для 300 атм (cм. Свойства воды).
Для оценки числа Рейнольдса для нагнетаемой по 2.5 " НКТ воды можно пользоваться формулой , где дебит скважины на устье в м3/сут. Отсюда видно, что при дебитах более 18 м3/сут число Рейнольдса становится больше 4,000 и режим течения является турбулентным и коэффициент трения можно считать практически постоянным вдоль ствола нагнетательной скважины. А учитывая, что рост давления с глубиной сопровождается увеличением температуры, что компенсирует рост вязкости воды, то для большинства практических реализаций ППД можно полагать, что вариация коэффициента трения вдоль ствола не превышает 2-3 % и в оценках потери напора на трение принимать коэффициент трения постоянным . Профиль температурыВ отличие от задач гидравлики процессы теплообмена существенно нестационарны и температурный профиль жидкости и окружающих скважину пород будет непрерывно меняться в процессе закачки. Хотя со временем изменения могут становиться настолько малы, что ими можно пренебречь в пределах погрешности измерительной аппаратуры в пределах времени конкретного исследования скважины. В этом случае говорят о квазистационарном распределении температурного поля. Помимо этого процесс распространения тепла идет не только в стволе скважины, где распространяется поток, но и далеко за ее пределами, что приводит к необходимости решать задачу и температурном поле скважины в совокупности с прилегающими к ней породами, что увиливает размерность задачи с одномерной до трехмерной (или двухмерной в случае осевой симметрии теплофизических параметров пород). Поэтому решение задачи термометрии в стволах скважины формулируется на две температурные функции:
Температурный профиль потока воды ствола скважины формируется кондукцией и конвекцией вдоль потока и теплообменом с окружающими породами и описывается следующим уравнением:
с начальным условием:
и граничным условием на поверхности:
Распределение температуры в массиве горных пород формируется кондукцией горных породах и теплообменом со стволом скважины и описывается следующим уравнением:
с начальным условием:
и граничным условием на бесконечном удалении от скважины:
Геотермическое распределение температуры (также называемое геотермой) вдоль ствола скважины задается следующей моделью
геотермический градиент задается отношением регионального теплового потока из недр Земли и теплопроводностью пород
где
В регионах, где геотермический градиент остается постоянным до глубины залегания продуктивных пластов, геотермическое распределение температуры в породах принимает простой вид:
Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле может привести к значительным погрешностям. Справедливости ради стоит заметить, что эта проблема становится актуальной при анализе термограмма в бурящих и добывающих скважинах, а при анализе водяных нагнетательных скважин, использование постоянного усредненного термоградиента вполне допустимо. Замыкает систему уравнений условие теплобмена между жидкостью в стволе скважины и окружающими горными породами, задаваемое условием непрерывности радиального теплового потока:
где – радиальное направление к оси скважины.
Эта задача решается численными методами. Но для простых случаев есть аналитические оценки, которые правильно воспроизводят крупномасштабные формы температурного профиля. Одна из популярных аналитических моделей для стационарной () закачки в скважину с постоянным наклоном (), в окружении акисально-симметричного однородного пласта () с постоянным геотермическим градиентом вдали от поверхности , дается следующей формулой (Ramey, 1962):
где
|
При больших дебитах скважины формула предсказывает малое значение и следовательно в экспоненте формулы можно удержать только линейный член разложения по :
T(t, l) \approx T_s + (T_{0e} - T_s) \, \frac{l}{R(t)} \ = \ T_s + \frac{1}{q_s} \frac{ 2 \pi \, a_e \, (T_{0e} - T_s) }{ T_D(t) + \frac{\lambda}{r_f \, U}} |
откуда видно, что прогрев температуры по стволу скважины уменьшается с ростом дебита скважины , что соответствует практическим наблюдениям.
При малых дебитах скважины формула предсказывает большое значение и следовательно экспонентой в формуле можно пренебречь:
T(t, l) \approx T_s + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - q_s \, \frac{G_T \, \sin \theta}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg) |
то есть поток воды прогревается породами до геотермической температуры, что соответствует практическим наблюдениям.
Также формула предсказывает логарифмический рост со временем:
T_D(t) = \ln ( 1.5 \sqrt{t_D} ) = 0.4055 + 0.5 \, \ln ( t_D ) |
и начиная с какого-то момента времени неминуемо достигается соотношение , то есть температура в стволе скважины перестает зависеть от радиуса НКТ и значения коэффициента теплопередачи, что тоже соответствует практическим наблюдениям.
Таким образом, значение радиуса НКТ и коэффициента теплопередачи оказывает основное влияние на скорость прогрева потока воды на начальном участке времени после включения скважины.
На больших же временах скважины с разными конструкциями и разными коэффициентами теплопередачи имеют схожую динамику и распределение температуры по стволу, которая определяется только дебитом скважины, геотермой и температуропроводностью пород.
Таким образов формула работает в широких пределах дебетов и имеет правильные асимптоты и вполне пригодна для различного рода оценок.
Для течения в обсадной колонне:
\frac{1}{ r_{ti} \, U} = \frac{1}{r_c \, \alpha_{ci}} + \frac{1}{\lambda_c} \ln \frac{r_c}{r_{ci}} + \frac{1}{\lambda_{cem}} \ln \frac{r_w}{r_c} |
где
радиус скважины по долоту | ||
внешний радиус обсадной колонны | ||
толщина стенок обсадной колонны | ||
внутренний радиус обсадной колонны | ||
теплопроводность материала обсадной колонны | ||
теплопроводность цементного камня | ||
коэффициент теплообмена между внутренней стенкой колонны и омывающей ее жидкости |
Для течения в трубке НКТ:
\frac{1}{ r_{ti} \, U} = \frac{1}{r_{ti} \, \alpha_{ti}} + \frac{1}{\lambda_t} \, \ln \frac{r_t}{r_{ti}} + \frac{1}{r_t \, \alpha_{to}} + \frac{1}{r_c \, \alpha_{ci}} + \frac{1}{\lambda_c} \ln \frac{r_c}{r_{ci}} + \frac{1}{\lambda_{cem}} \ln \frac{r_w}{r_c} |
где
внешний радиус НКТ | ||
олщина стенок НКТ | ||
внутренний радиус НКТ | ||
теплопроводность материала трубы НКТ | ||
коэффициент теплообмена между внутренней стенкой НКТ и омывающей ее жидкости | ||
коэффициент теплообмена между внешней стенкой НКТ и омывающей ее жидкости затрудним пространстве | ||
Коэффициенты теплообмена удобно выразить через безразмерные величины чисел Нюссельта:
\alpha_{ti} = \frac{\lambda}{r_{ti}} \, {\rm Nu}_{ti} |
\alpha_{to} = \frac{\lambda_a}{r_{to}} \, {\rm Nu}_{to} |
\alpha_{ci} = \frac{\lambda_a}{r_{ci}} \, {\rm Nu}_{ci} |
где
теплопроводность закачиваемого флюида | |
теплопроводность флюида в затрубном пространстве |
Удобство такого представления заключается в том, что для чисел Нюссельта есть богатый набор универсальных феноменологических корреляций.
Для задачи теплобмена потока воды в трубах популярной является следующая корреляция:
корреляция Гниелинского для теплообмена вынужденного турбулентного течения с внутренней стенкой трубы | |
для ламинарного течения или неподвижного флюида (OEIS sequence A282581) |
где число Прандтля, представляющее собой безразмерную величину отношения кинематической вязкости флюида к его температуропроводности:
{\rm Pr} = \frac{\nu}{a} |
https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy_friction_factor_formulae
https://neutrium.net/fluid_flow/pressure-loss-in-pipe/
H. J. Ramey, Wellbore Heat Transmission - SPE-96-PA - 1992
R. Shankar, Pipe Flow Calculations, Clarkson University
solverbook.com – Коэффициент теплоотдачи
Well Flow Performance Calculator
R. Shankar, Pipe Flow Calculations, Clarkson University [PDF] |