Specific electrical resistivity  or specific electrical conductivity   of formations is defined by mineralization of the rock matrix and saturating fluids which are in due turn depend on formation water-saturated shaliness  , formation porosity  and water saturation volumetric share .


Archie Model


Specific electrical resistivity  is defined:

\frac{1}{R_t} = \frac{\phi_e^m \, s_w^n }{A R_w} \quad \Rightarrow \quad s_w = \Big (  \frac{A}{\phi_e^m} \; \frac{R_w}{R_t} \Big) ^{1/n}


where

specific electrical resistivity of formation water


dimensionless constant, characterizing the rock matrix contribution to the total electrical resistivity

0.5 ÷ 1,

default value is 1 for sandstones and 0.9 for limestones

formation matrix cementation exponent1.5 ÷ 2.5, default value is 2

formation matrix water-saturation exponent

1.5 ÷ 2.5, default value is 2


Archie model is usually  used in:


Indonesia Model (Poupon-Leveaux)


Indonesia model is the same Archie model:

\frac{1}{R_t} = \frac{\phi_e^m \, s_w^n }{A R_w} \quad \Rightarrow \quad s_w = \Big (  \frac{A}{\phi_e^m} \; \frac{R_w}{R_t} \Big) ^{1/n}

where constant  is defined by formation shaliness :

\frac{1}{A} = 1 + \Big( \frac{V_{sh}^{2-V_{sh}}}{\phi_e} \, \frac{R_w}{R_{sh}}  \Big)^{1/2}

where

specific electrical resisitvity fo shale


Simandeux Model


Simandeux model suggest a more complicated correlation between resitvity  and water saturation :

\frac{1}{R_t} =   \frac{\phi_e^m \, s_w^n}{A R_w (1-V_{sh})}    + \frac{V_{sh}}{R_{sh}} s_w^{n/2}
 
 \quad \Rightarrow \quad s_w^{n/2} = \frac{A R_w (1-V_{sh})}{2 \phi_e^m} \, \Big( \sqrt{ \Big( \frac{V_{sh}}{R_{sh}} \Big)^2 + \frac{4\phi_e^m}{a R_t R_w (1-V_{sh}) } }   - \frac{V_{sh}}{R_{sh}} \Big)

with default value .


Dual-Water Model (DW)


The dual-water model accounts for the fact that different shales have different shale-bound water saturation :

\phi_t = \phi_e  + \phi_t s_{wb}

so that formation water saturation  is related to total water saturation  as:

s_w = \frac{s_{wt} - s_{wb}}{ 1 - s_{wb}}






Rock volume is a sum of rock matrix volume and total pore volume :

V = V_m + V_t = (1-\phi_t) V + \phi_t V

where

\phi_t = \frac{V_t}{V}


Total pore volume  is a sum of shale-bound water  and free fluid volume  (water and hydrocarbons):

V_t = \phi_t V = V_e + V_{wb} = \phi_e V + s_{wb} V_t

where

V_e = V_t  (1 - s_{wb})

and therefore:

\phi_e = \phi_t  (1 - s_{wb})


Totalk volume of water is a sum of shale-bound water  and free water :

V_{wt} = V_{wb} + V_{wf}

and relates to  as:

s_{wt} V_t = s_{wb} V_t + s_w V_e = s_{wb} V_t + s_w V_t  (1 - s_{wb})

or

s_{wt} = s_{wb} + s_w (1 - s_{wb})

which gives an explicit formula for formation water saturation:

s_w = \frac{s_{wt} - s_{wb}}{ 1 - s_{wb}}




Formation resistivity  is given by the following correlation:

\frac{1}{R_t} = \phi_t^m s_{wt}^n \, \Big[ \frac{1}{R_w} + \frac{s_{wb}}{s_{wt}} \Big( \frac{1}{R_{wb}} - \frac{1}{R_w} \Big)  \Big] \quad \Rightarrow \quad s_w = \frac{s_{wt} - s_{wb}}{ 1 - s_{wb}}

where

shale-bound water saturation

total water saturation (shal-bound water and free-water)

specific electrical resisitvity of shale-bound water


In simple case when all shales have the same properties, the shale-bound water saturation can be expressed through the shaliness as:

s_{wb} = \zeta_{wb} V_{sh}


Waxman-Smits-Thomas Model (WST )


Formation resistivity  is given by the following correlation:

\frac{1}{R_t} = \phi_t^m s_{wt}^n \, \Big[ \frac{1}{R_w} +\frac{B Q_V}{s_{wt}}  
 \Big]

which is similar to dual-water with complex parameter  relating to:

B Q_V = s_{wb} \Big( \frac{1}{R_{wb}} - \frac{1}{R_w} \Big)


In some opractical cases, the kaboiratiry data is available on   and  separately, but still need calibration on core data.





Mud-filtrate correction


При бурении скважины буровой раствор из ствола скважины проникает в проницаемые пласты и замещает пластовый флюид (углеводороды и воду), что приводит к искаженным показаниям электрического сопротилвения пород , отличающимся от сопротивления неовзмущенного бруением коллектора .

Степень промывки характеризуется отношением объема внедренного бурового раствора к дренируемой части общего порового объема пород :


\xi_{mud} = \frac{V_{mud}}{V_{drain}}


и монотонно зависит от проницаемости  пласта:


\xi_{mud} = \frac{1}{1 + \exp(k_{mud}/k-k/k_{mud})}


то есть, чем выше проницаемость коллектора, тем выше степень промывки буровым раствором (и соответственно глубины его проникновения в пласт).


Доля общего порового объема, занимаемая буровым раствором дается следующей формулой:


s_{mud} = \frac{V_{mud}}{V_{pore}} =(1-s_{wi}-s_{or}) \, \xi_{mud}


где – эффективный (содержащий флюиды в газовом или жидком состоянии) поровый объем пород.


При этом электрическое сопротивление флюида заполняющего поровый объем призабойной зоны оценивается по следующей формуле (пренебрегающей вкладом углеводородов в электропроводимость насыщающего поры флюида):


\frac{1}{R_{fl}} = \frac{s_{mud}}{R_{mud}} +  \frac{1 - \xi_{mud} (1-s_{wi})}{R_w}



Во всех вышеприведенных моделях электрического сопротивления пород, необходимо заменить:


  • электрическое сопротивление невозмущенных бурением пород   на сопротивление призабойной зоны пораженной буровым раствором:


  • электрическое сопротивление пластовой воды на сопротивление флюида в призайбоной зоне:  


  • насыщенность воды на суммарную насыщенность электропроводящего флюида (воды и бурового раствора):

Уравнения становятся сильно нелинейыми по  без возможности явно выразить водонасыщенность через электрическое сопротивление пород и требующее численных методов решения для нахождения водонасыщенности по резистивиметрии.


References


[1]  https://www.spec2000.net/01-index.htm

[2] http://petrowiki.org/Water_saturation_determination

[3] http://www.ux.uis.no/~s-skj/ipt/Proceedings/SCA.1987-2004/1-SCA1998-07.pdf


[4]  https://www.dropbox.com/s/jfahxmpzt55urwk/John%20H.%20Doveton%20-%20All%20Models%20Are%20Wrong%20.pdf?dl=0