Specific electrical resistivity  or specific electrical conductivity   of formations is defined by mineralization of the rock matrix and saturating fluids which are in due turn depend on formation water-saturated shaliness  , formation porosity  and water saturation volumetric share .


Archie Model


Specific electrical resistivity  is defined:

\frac{1}{R_t} = \frac{\phi_e^m \, s_w^n }{A R_w} \quad \Rightarrow \quad s_w = \Big (  \frac{A}{\phi_e^m} \; \frac{R_w}{R_t} \Big) ^{1/n}


where

specific electrical resistivity of formation water


dimensionless constant, characterizing the rock matrix contribution to the total electrical resistivity

0.5 ÷ 1,

default value is 1 for sandstones and 0.9 for limestones

formation matrix cementation exponent1.5 ÷ 2.5, default value is 2

formation matrix water-saturation exponent

1.5 ÷ 2.5, default value is 2


Archie model is usually  used in:


Indonesia Model (Poupon-Leveaux)


Indonesia model is the same Archie model:

\frac{1}{R_t} = \frac{\phi_e^m \, s_w^n }{A R_w} \quad \Rightarrow \quad s_w = \Big (  \frac{A}{\phi_e^m} \; \frac{R_w}{R_t} \Big) ^{1/n}

where constant  is defined by formation shaliness :

\frac{1}{A} = 1 + \Big( \frac{V_{sh}^{2-V_{sh}}}{\phi_e} \, \frac{R_w}{R_{sh}}  \Big)^{1/2}

where

specific electrical resisitvity fo shale


Simandeux Model


Simandeux model suggest a more complicated correlation between resitvity  and water saturation :

\frac{1}{R_t} =   \frac{\phi_e^m \, s_w^n}{A R_w (1-V_{sh})}    + \frac{V_{sh}}{R_{sh}} s_w^{n/2}
 
 \quad \Rightarrow \quad s_w^{n/2} = \frac{A R_w (1-V_{sh})}{2 \phi_e^m} \, \Big( \sqrt{ \Big( \frac{V_{sh}}{R_{sh}} \Big)^2 + \frac{4\phi_e^m}{a R_t R_w (1-V_{sh}) } }   - \frac{V_{sh}}{R_{sh}} \Big)

with default value .


Dual-Water Model (DW)


The dual-water model accounts for the fact that different shales have different shale-bound water saturation :

\phi_t = \phi_e  + \phi_t s_{wb}

so that formation water saturation  is related to total water saturation  as:

s_w = \frac{s_{wt} - s_{wb}}{ 1 - s_{wb}}



Объем пород складывается из объема плотной матрицы пород и полного порового объема :

V = V_m + V_t = (1-\phi_t) V + \phi_t V

где

\phi_t = \frac{V_t}{V}


Полный поровый объем пород  складывается из объема , занятого связанной глинами воды и объема , занятого свободными флюидами (водой и углеводородами):

V_t = \phi_t V = V_e + V_{wb} = \phi_e V + s_{wb} V_t

где

V_e = V_t  (1 - s_{wb})

Отсюда:

\phi_e = \phi_t  (1 - s_{wb})

и

Общий объем воды в порах складывается их связанной глинами воды  и свободной воды в порах :

V_{wt} = V_{wb} + V_{wf}

и выражатся через общий объем поры  следующим образом:

s_{wt} V_t = s_{wb} V_t + s_w V_e = s_{wb} V_t + s_w V_t  (1 - s_{wb})

откуда

s_{wt} = s_{wb} + s_w (1 - s_{wb})

и

s_w = \frac{s_{wt} - s_{wb}}{ 1 - s_{wb}}



Formation resistivity  is given by the following correlation:

\frac{1}{R_t} = \phi_t^m s_{wt}^n \, \Big[ \frac{1}{R_w} + \frac{s_{wb}}{s_{wt}} \Big( \frac{1}{R_{wb}} - \frac{1}{R_w} \Big)  \Big] \quad \Rightarrow \quad s_w = \frac{s_{wt} - s_{wb}}{ 1 - s_{wb}}

where

shale-bound water saturation

total water saturation (shal-bound water and free-water)

specific electrical resisitvity of shale-bound water


In simple case when all shales have the same properties, the shale-bound water saturation can be expressed through the shaliness as:

s_{wb} = \zeta_{wb} V_{sh}


Waxman-Smits-Thomas Model (WST )


Formation resistivity  is given by the following correlation:

\frac{1}{R_t} = \phi_t^m s_{wt}^n \, \Big[ \frac{1}{R_w} +\frac{B Q_V}{s_{wt}}  
 \Big]

which is similar to dual-water with complex parameter  relating to:

B Q_V = s_{wb} \Big( \frac{1}{R_{wb}} - \frac{1}{R_w} \Big)


In some opractical cases, the kaboiratiry data is available on   and  separately, but still need calibration on core data.


Коррекция на промывку бурового раствора


При бурении скважины буровой раствор из ствола скважины проникает в проницаемые пласты и замещает пластовый флюид (углеводороды и воду), что приводит к искаженным показаниям электрического сопротилвения пород , отличающимся от сопротивления неовзмущенного бруением коллектора .

Степень промывки характеризуется отношением объема внедренного бурового раствора к дренируемой части общего порового объема пород :


\xi_{mud} = \frac{V_{mud}}{V_{drain}}


и монотонно зависит от проницаемости  пласта:


\xi_{mud} = \frac{1}{1 + \exp(k_{mud}/k-k/k_{mud})}


то есть, чем выше проницаемость коллектора, тем выше степень промывки буровым раствором (и соответственно глубины его проникновения в пласт).


Доля общего порового объема, занимаемая буровым раствором дается следующей формулой:


s_{mud} = \frac{V_{mud}}{V_{pore}} =(1-s_{wi}-s_{or}) \, \xi_{mud}


где – эффективный (содержащий флюиды в газовом или жидком состоянии) поровый объем пород.


При этом электрическое сопротивление флюида заполняющего поровый объем призабойной зоны оценивается по следующей формуле (пренебрегающей вкладом углеводородов в электропроводимость насыщающего поры флюида):


\frac{1}{R_{fl}} = \frac{s_{mud}}{R_{mud}} +  \frac{1 - \xi_{mud} (1-s_{wi})}{R_w}



Во всех вышеприведенных моделях электрического сопротивления пород, необходимо заменить:


  • электрическое сопротивление невозмущенных бурением пород   на сопротивление призабойной зоны пораженной буровым раствором:


  • электрическое сопротивление пластовой воды на сопротивление флюида в призайбоной зоне:  


  • насыщенность воды на суммарную насыщенность электропроводящего флюида (воды и бурового раствора):

Уравнения становятся сильно нелинейыми по  без возможности явно выразить водонасыщенность через электрическое сопротивление пород и требующее численных методов решения для нахождения водонасыщенности по резистивиметрии.


References


[1]  https://www.spec2000.net/01-index.htm

[2] http://petrowiki.org/Water_saturation_determination

[3] http://www.ux.uis.no/~s-skj/ipt/Proceedings/SCA.1987-2004/1-SCA1998-07.pdf


[4]  https://www.dropbox.com/s/jfahxmpzt55urwk/John%20H.%20Doveton%20-%20All%20Models%20Are%20Wrong%20.pdf?dl=0