\frac{1}{R_t} = \frac{\phi_e^m \, s_w^n }{A R_w} \quad \Rightarrow \quad s_w = \Big (  \frac{A}{\phi_e^m} \; \frac{R_w}{R_t} \Big) ^{1/n}

\frac{1}{R_t} = \frac{\phi_e^m \, s_w^n }{A R_w} \quad \Rightarrow \quad s_w = \Big (  \frac{A}{\phi_e^m} \; \frac{R_w}{R_t} \Big) ^{1/n}

\frac{1}{A} = 1 + \Big( \frac{V_{sh}^{2-V_{sh}}}{\phi_e} \, \frac{R_w}{R_{sh}}  \Big)^{1/2}  

\frac{1}{R_t} =   \frac{\phi_e^m \, s_w^n}{A R_w (1-V_{sh})}    + \frac{V_{sh}}{R_{sh}} s_w^{n/2}
 
 \quad \Rightarrow \quad s_w^{n/2} = \frac{A R_w (1-V_{sh})}{2 \phi_e^m} \, \Big( \sqrt{ \Big( \frac{V_{sh}}{R_{sh}} \Big)^2 + \frac{4\phi_e^m}{a R_t R_w (1-V_{sh}) } }   - \frac{V_{sh}}{R_{sh}} \Big)

\phi_t = \phi_e  + \phi_t s_{wb} 

s_w = \frac{s_{wt} - s_{wb}}{ 1 - s_{wb}}

Объем пород складывается из объема плотной матрицы пород и полного порового объема :

V = V_m + V_t = (1-\phi_t) V + \phi_t V

где

\phi_t = \frac{V_t}{V}

Полный поровый объем пород  складывается из объема , занятого связанной глинами воды и объема , занятого свободными флюидами (водой и углеводородами):

V_t = \phi_t V = V_e + V_{wb} = \phi_e V + s_{wb} V_t

где

V_e = V_t  (1 - s_{wb})

Отсюда:

\phi_e = \phi_t  (1 - s_{wb})

и

Общий объем воды в порах складывается их связанной глинами воды  и свободной воды в порах :

V_{wt} = V_{wb} + V_{wf}

и выражатся через общий объем поры  следующим образом:

s_{wt} V_t = s_{wb} V_t + s_w V_e = s_{wb} V_t + s_w V_t  (1 - s_{wb})

откуда

s_{wt} = s_{wb} + s_w (1 - s_{wb})

и

s_w = \frac{s_{wt} - s_{wb}}{ 1 - s_{wb}}

\frac{1}{R_t} = \phi_t^m s_{wt}^n \, \Big[ \frac{1}{R_w} + \frac{s_{wb}}{s_{wt}} \Big( \frac{1}{R_{wb}} - \frac{1}{R_w} \Big)  \Big] \quad \Rightarrow \quad s_w = \frac{s_{wt} - s_{wb}}{ 1 - s_{wb}}

s_{wb} = \zeta_{wb} V_{sh}

\frac{1}{R_t} = \phi_t^m s_{wt}^n \, \Big[ \frac{1}{R_w} +\frac{B Q_V}{s_{wt}}  
 \Big]

B Q_V = s_{wb} \Big( \frac{1}{R_{wb}} - \frac{1}{R_w} \Big)

Коррекция на промывку бурового раствора

При бурении скважины буровой раствор из ствола скважины проникает в проницаемые пласты и замещает пластовый флюид (углеводороды и воду), что приводит к искаженным показаниям электрического сопротилвения пород , отличающимся от сопротивления неовзмущенного бруением коллектора .

Степень промывки характеризуется отношением объема внедренного бурового раствора к дренируемой части общего порового объема пород :

\xi_{mud} = \frac{V_{mud}}{V_{drain}}

и монотонно зависит от проницаемости  пласта:

\xi_{mud} = \frac{1}{1 + \exp(k_{mud}/k-k/k_{mud})}

то есть, чем выше проницаемость коллектора, тем выше степень промывки буровым раствором (и соответственно глубины его проникновения в пласт).

Доля общего порового объема, занимаемая буровым раствором дается следующей формулой:

s_{mud} = \frac{V_{mud}}{V_{pore}} =(1-s_{wi}-s_{or}) \, \xi_{mud}

где – эффективный (содержащий флюиды в газовом или жидком состоянии) поровый объем пород.

При этом электрическое сопротивление флюида заполняющего поровый объем призабойной зоны оценивается по следующей формуле (пренебрегающей вкладом углеводородов в электропроводимость насыщающего поры флюида):

\frac{1}{R_{fl}} = \frac{s_{mud}}{R_{mud}} +  \frac{1 - \xi_{mud} (1-s_{wi})}{R_w}

Во всех вышеприведенных моделях электрического сопротивления пород, необходимо заменить:

• электрическое сопротивление невозмущенных бурением пород   на сопротивление призабойной зоны пораженной буровым раствором:

• электрическое сопротивление пластовой воды на сопротивление флюида в призайбоной зоне:  

  
  

• насыщенность воды на суммарную насыщенность электропроводящего флюида (воды и бурового раствора):
  
  

Уравнения становятся сильно нелинейыми по  без возможности явно выразить водонасыщенность через электрическое сопротивление пород и требующее численных методов решения для нахождения водонасыщенности по резистивиметрии.

^[1]  https://www.spec2000.net/01-index.htm

^[2] http://petrowiki.org/Water_saturation_determination

^[3] http://www.ux.uis.no/~s-skj/ipt/Proceedings/SCA.1987-2004/1-SCA1998-07.pdf

^[4]  https://www.dropbox.com/s/jfahxmpzt55urwk/John%20H.%20Doveton%20-%20All%20Models%20Are%20Wrong%20.pdf?dl=0