Synonym: = Volatile/Black Oil Reservoir Flow @model = Muskat - Leverett equation




Definition


Mathematical model of Volatile Oil reservoir flow predicts the temperature, pressure and flow speed distribution in reservoir with account for:

  • available historical data on surface flowrates and/or bottom hole pressure

  • available 3D geological model 

  • PVT and SCAL model

  • specific wellbore designs

  • gravitational forces

  • heat propagation

  • adiabatic and Jole-Thomson heat effects 


The Black Oil flow is specific type of the Volatile Oil flow with .


Mathematical Model


The Volatile Oil flow dynamics is defined by the following set of 3D equations:


\partial_t \bigg [  \phi \ \bigg (  \frac{s_w}{B_w}  \bigg ) \bigg ]  +  \nabla \bigg (     \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w  \bigg )      = 
q_W (\mathbf{r})
\partial_t \bigg [  \phi \ \bigg (  \frac{s_o}{B_o} + \frac{R_v \ s_g}

{B_g}  \bigg ) \bigg ]  +  \nabla \bigg (     \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o 

+    \frac{R_v}{B_g} \   \mathbf{u}_g   \bigg )       = q_O(\mathbf{r})
\partial_t \bigg [  \phi \ \bigg (  \frac{s_g}{B_g} + \frac{R_s \ s_o}

{B_o}  \bigg ) \bigg ]  +  \nabla  \bigg (     \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g

+    \frac{R_s}{B_o} \ \mathbf{u}_o  \bigg )     = q_G (\mathbf{r})
\mathbf{u}_w = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla  P_w - \rho_w \  \mathbf{g} )
\mathbf{u}_o = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ ( \nabla P_o - \rho_o \ \mathbf{g} )
\mathbf{u}_g = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g - \rho_g \ \mathbf{g} )
P_o - P_w = P_{cow}(s_w)
P_o - P_g = P_{cog}(s_g)
s_w + s_o + s_g = 1




(\rho \,c_{pt})_p \frac{\partial T}{\partial t} 
 
- \ \phi \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \eta_{s \alpha} \ \frac{\partial P_\alpha}{\partial t}  
 
+ \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \epsilon_\alpha \ \mathbf{u}_\alpha \bigg)  \nabla P
 
+ \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \  \nabla T 
 
 - \nabla (\lambda_t \nabla T) =  \rho_{\rm inj} \, c_{\rm inj} \, T_{\rm inj} \, q_{\rm inj}({\bf r})\, \delta({\bf r})



The disambiguation of the properties in the above equation is brought in The list of dynamic flow properties and model parameters.


The right sides of equations  –  suggest no sources of flow except the contacts between wells and reservoir which is specified by well models as boundary conditions (see below).





The Volatile Oil flow model simulates 3-component fluid : water, liquid hydrocarbon (called "oil") and gaseous hydrocarbons ( called "gas") that flow in 3 possible phases (water, gasified oil and free gas) and defined by the following set of equations:

\partial_t \bigg [  \phi \ \rho_W  \bigg ]  + \nabla  \bigg ( \rho_{Ww} \ \mathbf{u}_w     \bigg )      = q_{mW}(\mathbf{r})
\partial_t \bigg [  \phi \ \rho_O \bigg ]  + \nabla  \bigg (    \rho_{Oo} \ \mathbf{u}_o 

+   \rho_{Og} \  \mathbf{u}_g \bigg )       = q_{mO}(\mathbf{r})
\partial_t \bigg [  \phi \ \rho_G  \bigg ]  +  \nabla \bigg (   \rho_{Go} \   \mathbf{u}_o

+     \rho_{Gg} \ \mathbf{u}_g  \bigg )     = q_{mG}(\mathbf{r})
\mathbf{u}_w = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla P_w - \rho_w \mathbf{g} )
\mathbf{u}_o = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ (  \nabla P_o - \rho_o \mathbf{g} )
\mathbf{u}_g = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g - \rho_g \mathbf{g} )
P_o - P_w = P_{cow}(s_w)
P_o - P_g = P_{cog}(s_g)
s_w + s_o + s_g = 1




(\rho \,c_{pt})_m \frac{\partial T}{\partial t} 
 
- \ \phi \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \eta_{s \alpha} \ \frac{\partial P_\alpha}{\partial t}  
 
+ \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \epsilon_\alpha \ \mathbf{u}_\alpha \bigg)  \nabla P
 
+ \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \  \nabla T 
 
 - \nabla (\lambda_t \nabla T) =  \frac{\delta E_H}{ \delta V \delta t}



Equations  –  define the continuity of the fluid components flow or equivalently represent the mass conservation of each mass component  during its transportation in space. 

Equations  –  define the motion dynamics of each phase, represented as linear correlation between phase flow speed   and partial pressure gradient of this phase  (which is also called Darcy flow  with account of the gravity and relative permeability).


Equations  –  define the hydrodynamic inter-facial balance between the phases with account of capillary pressure in porous formation . The key assumption is that capillary pressure at oil-water boundary is a function of  water saturation alone  and capillary pressure at oil-gas boundary is a function of  gas saturation alone 

In the absence of capillary pressure the inter-facial equilibrium simplifies and implies that all phases are at the same pressure at all times.  


Equations   implies that porous space is fully occupied by fluid at all times .


Equation   defines the heat flow continuity or equivalently represents heat conservation due to heat conduction and convection with account for adiabatic and Joule–Thomson throttling effect.

The term  defines the speed of change of  heat energy  volumetric density.

In impermeable rocks () heat flow is defined by heat conduction only:

 \rho_r \, c_{pr} \frac{\partial T}{\partial t}  - \nabla (\lambda_t \nabla T) =  \frac{\delta E_H}{ \delta V \delta t}

The effective specific heat capacity of formation with multiphase flow is a simple sum of its components:

(\rho \,c_{pt})_p  = (1-\phi) \rho_r \, \ c_{pr} + \phi \ (s_w \rho_w \, c_{pw} + s_o \rho_o \, c_{po} + s_g \rho_g \, c_{pg} )

The effective thermal conductivity of formation with multiphase flow is assumed to be a sum of its components:

\lambda_{t} = (1-\phi) \ \lambda_r + \phi \ (s_w \lambda_w + s_o \lambda_o + s_g \lambda_g )

The term  represents heat convection defined by the mass flow. 

The term  represents the heating/cooling effect of the multiphase flow through the porous media. This effect is the most significant with light oil and gases.


The term  represents the heating/cooling effect of the fast adiabatic pressure change. This usually takes effect in and around the wellbore during the first minutes or hours after changing the well flow regime (as a consequence of choke/pump operation). This effect is absent in stationary flow and negligible during the quasi-stationary flow and usually not modeled in conventional monthly-based flow simulations. 


The set  –  represent the system of 16 scalar equations on 16 unknowns: 

,

which are all functions of time and space coordinates .


Expressing the molar densities with mass shares and phase density (see also "Volatile Oil Model") one gets:


\partial_t \bigg [  \phi \ \rho_W  \bigg ]  + \nabla \bigg (     \rho_w \ \mathbf{u}_w     \bigg )      =  q_{mW}(\mathbf{r}) 
\partial_t \bigg [  \phi \ \rho_O \bigg ]  + \nabla \bigg (   {\tilde m}_{Oo} \ \rho_o \ \mathbf{u}_o 

+  {\tilde m}_{Og} \ \rho_{g} \  \mathbf{u}_g    \bigg )       =  q_{mO}(\mathbf{r})
\partial_t \bigg [  \phi \ \rho_G  \bigg ]  +  \nabla  \bigg (  {\tilde m}_{Go} \ \rho_{o} \ \mathbf{u}_o

+    {\tilde m}_{Gg} \ \rho_g \ \mathbf{u}_g  \bigg )     =  q_{mG}(\mathbf{r}) 
\mathbf{u}_w = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla P_w - \rho_w  \mathbf{g} )
\mathbf{u}_o = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ ( \nabla P_o - \rho_o   \mathbf{g} )
\mathbf{u}_g = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g - \rho_g  \mathbf{g} )
P_o - P_w = P_{cow}(s_w)
P_o - P_g = P_{cog}(s_g)
s_w + s_o + s_g = 1



Substituting the values of mass densities and mass shares of fluid components (см. "Volatile Oil Model") and dividing each equation by density of corresponding component in standard conditions one gets the most popular form of Volatile Oil flow equations:




Initial Conditions


Initial temperature distribution is set as input:

T(0, \mathbf{r}) = T_0(\mathbf{r})


In case the simulation is performed over the undisturbed reservoir then initial temperature distribution is geothermal.


The initial condition on phase pressure, phase velocities and phase saturations is set by one of the following options: Equilibrium Start and Non-equilibrium Start.

Condition I – Equilibrium Start


Equilibrium Start means that flow was not happening before the start:  and correspondingly phase pressure  and phase saturations  were in stationary (not varying in time) conditions:

\nabla \cdot \bigg (     \frac{1}{B_w} \ \mathbf{u}_w     \bigg )_{t=0}      = 0
\nabla \cdot \bigg (     \frac{1}{B_o} \ \mathbf{u}_o 

+    \frac{R_v}{B_g} \   \mathbf{u}_g    \bigg )_{t=0}      = 0
\nabla \cdot \bigg (     \frac{1}{B_g} \ \mathbf{u}_g

+    \frac{R_s}{B_o} \   \mathbf{u}_o     \bigg )_{t=0}    = 0
\mathbf{u}_w(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ (\nabla  P_w(0, \mathbf{r}) - \rho_w \  \mathbf{g} ) = 0
\mathbf{u}_o(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ (  \nabla P_o(0, \mathbf{r}) - \rho_o \ \mathbf{g} ) = 0
\mathbf{u}_g(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g(0, \mathbf{r}) - \rho_g \ \mathbf{g} ) = 0
P_o(0, \mathbf{r}) - P_w(0, \mathbf{r}) = P_{cow}(s_w)
P_o(0, \mathbf{r}) - P_g(0, \mathbf{r}) = P_{cog}(s_g)
s_w + s_o + s_g = 1


Condition II – Non-equilibrium Start


Non-equilibrium Start means that flow happening before the start:  and correspondingly phase pressure  and phase saturations  were in not in equilibrium:

s_w(0, \mathbf{r}) + s_o(0, \mathbf{r}) + s_g(0, \mathbf{r}) = 1

pressure distribution  could be arbitrary providing the capillary constraints:

P_o(0, \mathbf{r}) - P_w(0, \mathbf{r}) = P_{cow}(s_w)
P_o(0, \mathbf{r}) - P_g(0, \mathbf{r}) = P_{cog}(s_g).


The phase velocities are initialized as:

\mathbf{u}_w(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rw}(s_w, s_g)}{\mu_w} \ ( \nabla  P_w(0, \mathbf{r}) - \rho_w \  \mathbf{g} )
\mathbf{u}_o(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{ro}(s_w, s_g)}{\mu_o} \ (  \nabla P_o(0, \mathbf{r}) - \rho_o \ \mathbf{g} )
\mathbf{u}_g(0, \mathbf{r}) = - k_a \ \frac{k_{rg}(s_w, s_g)}{\mu_g} \ ( \nabla P_g(0, \mathbf{r}) - \rho_g \ \mathbf{g} )


In practice, the non-equilibrium conditions before the start  is usually a result of previous flow simulations for the same reservoir, sometimes using a different grid-structure.


External Boundary Condition 


The external boundary condition for the temperature is usually set by one if the two options:

External Temperature Boundary Condition I – Fixed Temperature

T(t, \mathbf{r}) |_{\Gamma_e} = T_e( \mathbf{r})

External Temperature Boundary Condition II – Fixed Heat Exchange

\big( \mathbf{n}, \nabla T(t, \mathbf{r} \big) \big |_{\Gamma_e} = \zeta \cdot \big( T(t, \mathbf{r}) - T_e( \mathbf{r}) \big)

where   – heat exchange coefficient at model boundary.


The external boundary condition for phase pressure, phase velocities and phase saturations is set by one of the two popular options:

External Pressure Boundary Condition I – Non-permeable boundary 

\big( \mathbf{n}, \ (\nabla P_\alpha(t, \mathbf{r}) - \rho_\alpha  \mathbf{r}) \big) \big|_{\Gamma_e} = 0

where   – normal vector to the boundary  and .

External Pressure Boundary Condition II – constant-pressure boundary 

P_\alpha(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_e} = P_i = const

where  .

Well model


Well flow model (don't get confused with Wellbore Flow Model) simulates the flow at the contact between well and reservoir thus relating the sandface flow rates and pressure distribution in reservoir around the well:

P_w(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_o(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_g(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}}= P_{wf}(t) \big|_{\Gamma_{WRC}}

where  is a well-reservoir.

Bottom-hole pressure  at the contact (at depth  along-hole) is set by one of the three popular conditions (traditionally called "Controls"):


Well Condition I  – Pressure Control


Это условие предполагает, что в каждый момент времени известно опорное забойное давление  на глубине  , а забойное давление в каждой точке контакта скважины и пласта  рассчитывается по формуле:

P_{wf}(t) = P_{wf}(t, h_0) +  P_{\delta}(t, \delta h)

где  – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины.


При адаптации модели к промысловым данным это условие выполняется для

  • нагнетательных скважин, чьи забойные давления пересчитываются по 
    • показаниям устьевых манометров с учетом потерь на трение в стволе скважины
    • по известному давлению на выходе КНС с учетом потерь на трение в стволе скважины и наземных трубопроводах
  • для добывающих скважин с мониторингом забойного давления по 
    • глубинным манометрам 
    • эхолотам 
  • для добывающих скважин с низким забойным давлением (когда уровень находится вблизи точки подвеса насоса или газлифтного клапана).


При прогнозных расчетах это условие выполняется для

  • нагнетательных скважин, чьи режимы закачки определяются давлением на КНС с учетом потерь на трение в стволе скважины и наземных трубопроводах
  • для добывающих скважин с низким забойным давлением (когда уровень находится вблизи точки подвеса насоса или газлифтного клапана).

При этом для фонтанной, газлифтной и насосной эксплуатации скважин с забойным давлением выше критического это условие не является физичным и необходимо прогнозировать работу скважины согласно Условию II.

Well Condition II  – Liquid Control


Это условие предполагает, что известна добыча жидкости на сепараторе каждой скважины  и изменение забойного давления на каждой скважине  рассчитывается по формуле:

P_{wf}(t) = P_{wf}(t, h_{ref}) +  P_{\delta}(t, \delta h)

где  – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины,

а опорное давление на глубине   определяется по следующей формуле:

P_{wf}(t, h_{ref}) = 
\frac{ \int_{\Gamma_{WRC}}  \bigg(      
 
\frac{M_w (P_{ew}- \delta P_{wf})}{B^S_w} + \frac{M_o (P_{eo}- \delta P_{wf})}{B^S_o} + \frac{R_v M_g (P_{eg}- \delta P_{wf})}{B^S_g}
 
\bigg)  T_h  dh - q_L(t) }
 
{ \int_{\Gamma_{WRC}}  \bigg(  
 
\frac{M_w}{B^S_w} + \frac{M_o}{B^S_o} + \frac{R_v M_g}{B^S_g}
 
      \bigg)  T_h dh }

которая обеспечивает устьевой дебит по жидкости в размере :

q_L(t) = q_W(t) + q_O(t) = 
 \int_{\Gamma_{WRC}}  \bigg(      

\frac{M_w (P_{ew} - P_{wf}(t, h_{ref}) -  P_{\delta})}{B^S_w} 
+ \frac{M_o (P_{eo} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_o} 
+ \frac{R_v M_g (P_{eg} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_g}

\bigg)  T_h  dh  


Если пользователь ввел ограничение на минимальное забойное давление  (определяемое например, глубиной спуска насоса или газлифтного клапана), то при достижении  скважина автоматически переходит в режим постоянного давления: 

P_w(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_o(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_g(t, \mathbf{r}) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_{wf}^{min} = const

которое будет сопровождаться изменением дебита всех фаз согласно  – .

Этот режим соотвествует работе насоса с пониженным КПД и в случае если условия на границе контакта поменяются (например, в процессе подъема пластового давления) и потенциал забойного давления согласно  поднимется выше , то скважина опять перейдет в режим работы с заданным дебитом .


При адаптации модели к промысловым данным это условие выполняется для всех типов добывающих и нагнетательных скважин, для которых отборы известны точно (что, кстати, далеко не всегда имеет место быть на практике).

При прогнозных расчетах это условие выполняется для

  • нагнетательных и добывающих скважин, чьи режимы работы определяются диаметром штуцером
  • для добывающих скважин с высоким забойным давлением (когда уровень находится выше точки подвеса насоса или газлифтного клапана).

При этом для скважин с низким забойным давлением это условие не является физичным и необходимо прогнозировать работу скважины согласно Условию I.

Well Condition III  – Oil Control


Это условие предполагает, что добыча воды и газа неизвестна (или известна неточно) и забойное давление добывающей скважины  в каждый момент времени определяется только значениями устьевых отборов нефти  (которые, как правило, известны точно) по следующей формуле:

P_{wf}(t) = P_{wf}(t, h_{ref}) + P_{\delta}(t, \delta h)

где  – изменение забойного давления вдоль ствола скважины в зависимости от характера мультифазного потока в стволе скважины,

а опорное давление на глубине   определяется по следующей формуле:

P_{wf}(t, h_{ref}) = 
\frac{ \int_{\Gamma_{WRC}}  \bigg(      

 \frac{M_o (P_{eo}- P_{\delta})}{B^S_o} + \frac{R_v M_g (P_{eg}- P_{\delta})}{B^S_g}

\bigg)  T_h  dh - q_O(t) }

{ \int_{\Gamma_{WRC}}  \bigg(  

 \frac{M_o}{B^S_o} + \frac{R_v M_g}{B^S_g}

      \bigg)  T_h dh }

которая обеспечивает устьевой дебит по жидкости в размере :

q_O(t) = 
 \int_{\Gamma_{WRC}}  \bigg(      

\frac{M_o (P_{eo} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_o} 
+ \frac{R_v M_g (P_{eg} - P_{wf}(t, h_{ref}) - P_{\delta})}{B^S_g}

\bigg)  T_h  dh


Если пользователь ввел ограничение на минимальное забойное давление  (определяемое например, глубиной спуска насоса или газлифтного клапана), то при достижении  скважина автоматически переходит в режим постоянного давления

P_o(t, \vec r) \big|_{\Gamma_{WRC}} = P_{wf}^{min} = const

которое будет сопровождаться изменением дебита по нефти согласно .


Этот режим соотвествует работе насоса с пониженным КПД и в случае если условия на границе контакта поменяются (например, в процессе подъема пластового давления) и потенциал забойного давления согласно  поднимется выше , то скважина опять перейдет в режим работы с заданным дебитом .


Условие III по своему определению накладывается только на добывающие скважины и выполняется для всех типов добывающих скважин, для которых отборы нефти известны точно (что наиболее часто встречается на практике).

При этом условие на нагнетательных скважинах не оговорено и может быть как I-ого так и II-ого типа в зависимости от реализации системы ППД.

При прогнозных расчетах условие III использоваться не может в силу своей нефизичности, за исключением случая безводной эксплуатации недонасыщенной нефти, в котором это условие становится физичным и эквивалетным Условию II (контроль по жидкости). 

На практике Условие III рекомендуется накладывать для первичной настройки модели (настройки ее базовых параметров) и потом рекомендуется переключать контроль на Условие I или Условие II в зависимости от промысловых условий эксплуатации скважин.

The list of dynamic flow properties and model parameters


time and space corrdinates ,

-axis is orientated towards the Earth centre,

define transversal plane to the -axis

position vector at which the flow equations are set

speed of water-component mass change in wellbore draining points

speed of oil-component mass change in wellbore draining points

speed of gas-component mass change in wellbore draining points

volumetric water-component flow rate in wellbore draining points recalculated to standard surface conditions

volumetric oil-component flow rate in wellbore draining points recalculated to standard surface conditions

volumetric gas-component flow rate in wellbore draining points recalculated to standard surface conditions

volumetric water-phase flow rate in wellbore draining points

volumetric oil-phase flow rate in wellbore draining points

volumetric gas-phase flow rate in wellbore draining points

total well volumetric water-component flow rate

total well volumetric oil-component flow rate

total well volumetric gas-component flow rate

total well volumetric liquid-component flow rate

water-phase pressure pressure distribution and dynamics

oil-phase pressure pressure distribution and dynamics

gas-phase pressure pressure distribution and dynamics

water-phase flow speed distribution and dynamics

oil-phase flow speed distribution and dynamics

gas-phase flow speed distribution and dynamics

capillary pressure at the oil-water phase contact as function of water saturation


capillary pressure at the oil-gas phase contact as function of gas saturation

relative formation permeability to water flow as function of water and gas saturation

relative formation permeability to oil flow as function of water and gas saturation

relative formation permeability to gas flow as function of water and gas saturation

porosity as function of formation pressure

absolute formation permeability to air

gravitational acceleration vector

gravitational acceleration constant

mass density of -phase fluid

viscosity of -phase fluid

effective thermal conductivity of the rocks with account for multiphase fluid saturation

rock matrix thermal conductivity

thermal conductivity of -phase fluid

rock matrix mass density

differential adiabatic coefficient of -phase fluid

specific isobaric heat capacity of the rock matrix

specific isobaric heat capacity of -phase fluid

differential Joule–Thomson coefficient of -phase fluid

дифференциальный коэффициент Джоуля-Томсона фазы