Обозначим пластовое давление давление в пласте A1 через  , а в пласте А2 через  .
Напомним, что рассматривается случай  и в пласте А1 нет свободного газа. Тогда приток жидкости из пластов запишется в виде: q_{1o} = J_{1o} (P_{\rm wf1} - P1) |
q_{1w} = J_{1w} (P_{\rm wf1} - P1) |
q_{2w} = J_{2w} (P_{\rm wf2} - P2) |
где | фазовая продуктивность по нефти пласта А1 | | фазовая продуктивность по воде пласта А1 | | фазовая продуктивность по воде пласта А2 | | забойное давление на кровле пласта А1 | | забойное давление на кровле пласта А2 |
Забойные давления пластов связаны соотношением P_{\rm wf1} - P_{\rm wf2} = \rho \, g \, h_{12} |
где | разница в абсолютных отметках пластов А1 и А2 | | ускорение свободного падения (9.81 м/с2) | | плотность флюида на забое скважины |
Плотность флюида на забое может быть выражена следующим образом : \rho = \frac{m_o + m_w}{V^R_o + V^R_w}
= \frac{\rho_o V^S_o + \rho_w V^S_w}{V^R_o + V^R_w}
= \frac{\rho_o V^S_o + \rho_w V^S_w}{B_o V^S_o + B_w V^S_w}
|
и вводя коэффициенты объемного расширения для воды и нефти согласно модели летучей нефти : \rho = \frac{\rho_o (1- Y_w) + \rho_w Y_w}{B_o (1- Y_w) + B_w Y_w}
= \frac{\rho_o +( \rho_w - \rho_o) Y_w}{B_o - (B_o - B_w) Y_w}
= \frac{\rho_o}{B_o} \, \frac{1 + (\rho_w / \rho_o - 1 ) Y_w}{1 - (1 -B_w/B_o) Y_w} |
Для нефтяных месторождений c регулярным газовым фактором величина  не превышает 0.25 и формулу для плотности можно упростить линеаризируя дробь \rho \approx \frac{\rho_o}{B_o} \, \bigg[ 1 + \big ( \rho_w / \rho_o -B_w / B_o \big) Y_w \bigg] |
Дебит жидкости на поверхности: q = q_{1o} + q_{1w} + q_{2w} |
и обводненность добываемой на поверхности продукции: Y_w = \frac{q_{1w} + q_{2w}}{q} = 1 - \frac{q_{1o}}{q} = 1 - \frac{J_{1o}(P_{wf1} - P_1)}{q} |
Для установление связи между обводненностью и дебитом необходимо выразить забойное давление  через обводненность и дебит. Для этого запишем явное выражение для дебита жидкости на поверхности: q = J_{1o} (P_{wf1} - P_1) + J_{1w} (P_{wf1} - P_1) + J_{2w} (P_{wf2} - P_2) = (J_{1o} + J_{1w})(P_{wf1}-P_1) + J_{2w} (P_{wf1} - \rho \, g \, h_{12} - P_2) |
q = (J_{1o} + J_{1w} + J_{2w})(P_{wf1}-P_1) + J_{2w} ( P_1 - P_2 + \rho \, g \, h_{12} ) |
q = J_{12}(P_{wf1}-P_1) + J_{2w} ( P_1 - P_2 + \rho \, g \, h_{12} ) |
где J_{12} = J_{1o} + J_{1w} + J_{2w} |
откуда (P_{wf1}-P_1) = \frac{q}{J_{12}} - \frac{J_{2w}}{J_{12}} (P_1 - P_2 - \rho g h_{12}) |
и следовательно q_{1o} = J_{1o}(P_{wf1}-P_1) = \frac{ q \ J_{1o}}{J_{12}} - \frac{J_{1o} \ J_{2w}}{J_{12}} (P_1 - P_2 - \rho g h_{12}) |
откуда обводненность Y_w = 1 - \frac{q_{1o}}{q} = 1 - \frac{ J_{1o}}{J_{12}} + \frac{1}{q}\frac{J_{1o} \ J_{2w}}{J_{12}} (P_1 - P_2 - \rho g h_{12}) |
или Y_w = \frac{ J_{12w}}{J_{12}} + \frac{1}{q}\frac{J_{1o} \ J_{2w}}{J_{12}} (P_1 - P_2 - \rho g h_{12}) |
где J_{12w} = J_{1w} + J_{2w} |
Разрешая это уравнение относительно обводненности  получим Y_w = \frac{\frac{ J_{12w}}{J_{12}} + \frac{1}{q}\frac{J_{1o} \ J_{2w}}{J_{12}} \big( P_1 - P_2 - \frac{\rho_o \ g \ h_{12}}{B_o} \big) }
{1 + \frac{1}{q}\frac{J_{1o} \ J_{2w}}{J_{12}} \frac{\rho_o \ g \ h_{12}}{B_o} \big ( \frac{\rho_w}{\rho_o} - \frac{B_w}{B_o} \big) } |
Учитывая, что для нефтей с регулярным газовым фактором величина  или меньше, то для достаточно больших дебитов знаменатель в  будет близок к единице и дробь можно линеаризовать Y_w =
\bigg( \frac{ J_{12w}}{J_{12}} + \frac{1}{q}\frac{J_{1o} \ J_{2w}}{J_{12}} \bigg( P_1 - P_2 - \frac{\rho_o \ g \ h_{12}}{B_o} \bigg)
\bigg)
\bigg(
1 - \frac{1}{q}\frac{J_{1o} \ J_{2w}}{J_{12}} \frac{\rho_o \ g \ h_{12}}{B_o} \bigg ( \frac{\rho_w}{\rho_o} - \frac{B_w}{B_o} \bigg)
\bigg) |
Y_w =
\frac{ J_{12w}}{J_{12}} + \frac{1}{q}\frac{J_{1o} \ J_{2w}}{J_{12}} \bigg( P_1 - P_2 - \frac{\rho_o \ g \ h_{12}}{B_o} \bigg)
- \frac{ J_{12w}}{J_{12}} \frac{1}{q}\frac{J_{1o} \ J_{2w}}{J_{12}} \frac{\rho_o \ g \ h_{12}}{B_o} \bigg ( \frac{\rho_w}{\rho_o} - \frac{B_w}{B_o} \bigg)
|
Y_w = \frac{ J_{12w}}{J_{12}} + \frac{1}{q}\frac{J_{1o} \ J_{2w}}{J_{12}}
\bigg( P_1 - P_2 - \frac{\rho_o \ g \ h_{12}}{B_o}
\bigg[
1 + \frac{J_{12w}}{J_{12}} \bigg( \frac{\rho_w}{\rho_o} - \frac{B_w}{B_o} \bigg)
\bigg]
\bigg) |
что соответствует формуле  . На практике величина в квадратных скобках близка к единице и формула ЗКЦ упрощается Y_w = \frac{ J_{12w}}{J_{12}} + \frac{1}{q}\frac{J_{1o} \ J_{2w}}{J_{12}}
\bigg( P_1 - P_2 - \frac{\rho_o \ g \ h_{12}}{B_o}
\bigg) |
а в случае коротких перетоков  уравнение ЗКЦ становится еще проще Y_w = \frac{ J_{12w}}{J_{12}} + \frac{1}{q} \frac{J_{1o} \ J_{2w}}{J_{12}} \big( P_1 - P_2 \big) |
Отсюда видно, что для  увеличение добычи ведет к падению обводненности, а для случая  увеличение добычи ведет к росту обводненности. В случае если в пластах давление одинаковое (что редко может длиться долго) обводненность перестает зависеть от дебита скважины. Если же скважина побывала в течение длительного времени в разных режимах добычи, то с помощью корреляционного анализа можно легко проверить соответствует ли поведение скважины режиму ЗКЦ. | 
