Для сжимаемого флюида (газа или жидкости) массой

Z = \frac{pV}{\nu RT} = \frac{pV M}{m RT} 

  где

Плотность флюида выражается через Z-фактор как

\rho = \frac{M}{RT} \frac{p}{Z}

а сжимаемость 

c = \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{dp} =  \frac{1}{p} - \frac{1}{Z} \frac{dZ}{dp}

Рассмотрим уравнение непрерывности

\frac{\partial ( \rho \phi)}{\partial t} + \nabla \cdot ({\rho \bf u}) = q_m(t, {\bf r}) = \rho q(t, {\bf r})

и подставим уравнение движения (обобщенный Дарси)

\frac{\partial ( \rho \phi)}{\partial t} + \nabla \cdot \bigg( \rho \, \frac{k}{\mu} \nabla p \bigg) = \rho q(t, {\bf r})

Подставляя выражение для плотности получим уравнение пьезодинамики:

\frac{\partial}{\partial t} \bigg( \frac{p}{Z} \phi \bigg) + \nabla \cdot \bigg( k \, \frac{p}{\mu Z} \nabla p \bigg) = \rho q(t, {\bf r})

 Вычисляя производную по времени явно:

\frac{\partial}{\partial t} \bigg( \frac{p}{Z} \phi \bigg) =   \bigg( \frac{p}{Z} \frac{d\phi}{dp}  + \phi \frac{d}{dp} \bigg( \frac{p}{Z} \bigg)   \bigg) \frac{\partial p}{\partial t} =
\bigg( \frac{p}{Z} \, c_r \phi  + \phi  \bigg( \frac{1}{Z} - \frac{p}{Z^2} \frac{dZ}{dp} \bigg)   \bigg) \frac{\partial p}{\partial t}=

\frac{\phi p}{Z} \bigg( c_r +  \frac{1}{p} - \frac{1}{Z} \frac{dZ}{dp}  \bigg)  \frac{\partial p}{\partial t}=

\frac{\phi p}{Z} ( c_r +  c  )  \frac{\partial p}{\partial t}=

\frac{\phi p}{Z} c_t  \frac{\partial p}{\partial t}

и уравнение пьезодинамики принимает вид:

\frac{\phi c_t p}{Z} \frac{\partial p}{\partial t}  + \nabla \cdot \bigg( k \, \frac{p}{\mu Z} \nabla p \bigg) = \rho q(t, {\bf r})

Рассмотрим случай, когда проницаемость зависит от давления и не зависит от градиента давления: 

Тогда уравнение  пьезодинамики принимает вид:

\frac{\phi c_t p}{Z} \frac{\partial p}{\partial t}  + \nabla \cdot \bigg( k_0 \, \frac{p \, \xi}{\mu Z} \nabla p \bigg) = \rho q(t, {\bf r})

или

\frac{\mu \phi c_t}{\xi} \frac{p \,\xi}{\mu Z} \frac{\partial p}{\partial t}  + \nabla \cdot \bigg( k_0 \, \frac{p \, \xi}{\mu Z} \nabla p \bigg) = \rho q(t, {\bf r})

Введем понятие псевдодавления

 \psi = H(p) = \int \frac{p \,\xi(p)}{\mu Z} dp 

Тогда уравнение пьезодинамики принимает вид:

\frac{\mu \phi c_t}{\xi}  \frac{\partial \psi}{\partial t}  + \nabla \cdot \bigg( k_0 \, \nabla \psi \bigg) = \rho q(t, {\bf r})

Решение ищется в отношении функции

Решение уравнения 

 \psi = H(p) = \int \frac{p \,\xi(p)}{\mu(p) Z(p)} dp \quad \longrightarrow \quad \psi \leftrightarrow p

и значение одного через другое легко находится, например, методом интерполяции.

Обратим внимание, что уравнение 

Введем понятие псевдовремени 

t = F(\tau) = \int_0^\tau \frac{\mu(p) \phi(p) c_t(p)}{\xi(p)} d\tau 

которое в каждой точке пласта может течь по разному  

Тогда уравнение пьезодинамики принимает вид:

\frac{\partial \psi}{\partial \tau}  + \nabla \cdot \bigg( k_0 \, \nabla \psi \bigg) = \rho q(t, {\bf r})

и представляет собой линейное дифференциальное уравнение на функцию

Однако правая часть уравнения сохранила выражения через реальные давления и время, что не позволяет замкнуть уравнение на неизвестную функцию 

Плотность флюида 

Сложнее обстоит дело с дебитом

В этом случае необходимо идти на компромисс и вначале установить прокси-связь между временем и псевдовременем в точке расположения тестовой скважины.

Если известны показания манометра

\frac{\partial \psi}{\partial \tau}  + \nabla \cdot \bigg( k_0 \, \nabla \psi \bigg) = \rho(\psi) q(\tau, {\bf r})

становится замкнутым относительно неизвестной функции 

Если же данных о записи давления на тестовой скважине нет и решается задача прямого моделирования, то задачу можно решать итерационно, вначале полагая псевдовремя линейно пропорциональным реальному времени (то есть приняв что все подинтегральные величины в

\tau_{\rm sim} = \frac{\xi(p_0)}{\mu(p_0) \phi(p_0) c_t(p_0)} \, t 

Алгоритм нахождения поля давления выглядит следующим образом:

1. Уравнение 

   LaTeX Math Block Reference
   anchor piezo_psi_tau

    решается численно и находится табулированная функция 

   LaTeX Math Inline
   body \psi({\bf r},\tau)

   .
2. Каждому значению функции 

   LaTeX Math Inline
   body \psi({\bf r},\tau)

    приводится в соответствие значение функции 

   LaTeX Math Inline
   body p({\bf r},\tau)

    на основе табуляции 

   LaTeX Math Block Reference
   anchor psi_p

   .
3. Полученные значения 

   LaTeX Math Inline
   body p({\bf r},\tau)

    подставляются в подынтегральное выражение 

   LaTeX Math Block Reference
   anchor tau

    и для ранжира значений псевдовремени 

   LaTeX Math Inline
   body \tau

    рассчитывается массив значений реального времени  

   LaTeX Math Inline
   body t

   .
4. По полученной таблице соответствия времен 

   LaTeX Math Inline
   body \tau \leftrightarrow t

    функция давления от псевдовремени пересчитывается в реальное время 

   LaTeX Math Inline
   body p({\bf r},\tau) \rightarrow p({\bf r}, t)

    что и дает решение исходной нелинейной задачи 

   LaTeX Math Block Reference
   anchor piezo

   .

 В случае неоднородного коллектора, принципиальным вопросом метода псевдопотенциалов является выбор точки