...

References

...

https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy_friction_factor_formulae

https://neutrium.net/fluid_flow/pressure-loss-in-pipe/ 

...

...

В отличие от задач гидравлики процессы теплообмена существенно нестационарны и температурный профиль жидкости и окружающих скважину пород будет непрерывно меняться в процессе закачки.

Хотя со временем изменения могут становиться настолько малы, что ими можно пренебречь в пределах погрешности измерительной аппаратуры в пределах времени конкретного исследования скважины.

В этом случае говорят о квазистационарном распределении температурного поля.

Помимо этого процесс распространения тепла идет не только в стволе скважины, где распространяется поток, но и далеко за ее пределами, что приводит к необходимости решать задачу и температурном поле скважины в совокупности с прилегающими к ней породами, что увиливает размерность задачи с одномерной до трехмерной (или двухмерной в случае осевой симметрии теплофизических параметров пород).

Поэтому решение задачи термометрии в стволах скважины формулируется на две температурные функции:

...

...

...

...

Температурный профиль 

\rho \, c \, \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{d}{dl} \, \bigg( \lambda \, \frac{dT}{dl} \bigg)  - \rho \, c \, v \, \frac{dT}{dl}

с начальным условием:

T(t=0, l) = T_g(l)

и граничным условием на поверхности:

T(t, l=0) = T_s(t)

Распределение температуры в массиве горных пород 

\rho_e \, c_e \, \frac{\partial T_e}{\partial t} = \nabla ( \lambda_e \nabla T_e)

с начальным условием:

T_e(t=0, l, r) = T_g(l)

и граничным условием на бесконечном удалении от скважины:

T_e(t, l, r \rightarrow \infty) = T_g(l)

Геотермическое распределение температуры (также называемое геотермой) вдоль ствола скважины 

T_g(l) = T_{0e} + \int_{z_0}^{z(l)} G_T(z) dz = T_{0e} + \int_{l_0}^l G_T(z(l)) \sin \theta dl 

геотермический градиент задается отношением регионального теплового потока из недр Земли 

G_T(z(l)) = \frac{j_e}{\lambda_e(l)}

где

...

...

...

...

...

В регионах, где геотермический градиент остается постоянным 

T_g(l) = T_{0e} + G_T \, z 

Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле 

...

Замыкает систему уравнений условие теплобмена между жидкостью в стволе скважины и окружающими горными породами, задаваемое условием непрерывности радиального теплового потока:

2 \pi \, \lambda_e \, r_w \, \frac{\partial T_e}{\partial r} \, \bigg|_{r=r_w} = 2 \pi \, r_f \, U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg)

где 

...

Если между внутренней стенкой НКТ и внутренней стенкой скважины по долоту нет источников или стоков тепла, то линейная плотность радиального потока тепла

Плотность радиального теплового потока между закачиваемой жидкостью и стенкой трубки НКТ может быть выражена через коэффициент теплопередачи

j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_f } =  \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_f  } = U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg) 

Это по-сути эта формула является определением коэффициента теплопередачи.

Плотность радиального теплового потока между стенкой скважины и породами определяется законом теплопроводности Фурье:

j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_w } =  \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_w  } = \lambda \, \frac{\partial T}{\partial r}

Исключая из вышеприведенных уравнений линейную плотность теплового потока

Эта задача решается численными методами.

Но для простых случаев есть аналитические оценки, которые правильно воспроизводят крупномасштабные формы температурного профиля.

Одна из популярных аналитических моделей для стационарной (

(

T(t, l) = T_{0e} + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta  +  \big( T_s - T_{0e} + R(t) \, G_T \, \sin \theta \big)  \, e^{ - l/R(t)} 

где

R(t) = \frac{q_s}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg)

релаксационное расстояние

T_D(t) = \ln \big[ e^{-0.2 \, t_D} + (1.5 - 0.3719 \, e^{-t_D}) \, \sqrt{t_D} \big]  

безразмерная температура  (Hasan, Kabir, 1994)

t_D(t) = \frac{a_e \, t}{r_w^2}

безразмерное время

a_e = \frac{\lambda_e}{ c_e \, \rho_e}

температуропроводность пород

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

q

При больших дебитах скважины формула 

T(t, l) \approx T_s + (T_{0e} - T_s) \, \frac{l}{R(t)} \ = \ T_s + \frac{1}{q_s} \frac{ 2 \pi \, a_e \, (T_{0e} - T_s) }{ T_D(t) + \frac{\lambda}{r_f \, U}} 

откуда видно, что прогрев температуры по стволу скважины уменьшается с ростом дебита скважины 

При малых дебитах скважины формула 

T(t, l) \approx T_s + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - R(t) \, G_T \, \sin \theta \  = \ T_g(l) - q_s \,  \frac{G_T \, \sin \theta}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg)

то есть поток воды прогревается породами до геотермической температуры, что соответствует практическим наблюдениям.

Также формула 

T_D(t) = \ln ( 1.5 \sqrt{t_D} ) = 0.4055 + 0.5 \, \ln ( t_D )

и начиная с какого-то момента времени неминуемо достигается соотношение 

...

Таким образов формула 

References

...

solverbook.com – Коэффициент теплоотдачи

...