Page History

...

В отличие от задач гидравлики процессы теплообмена существенно нестационарны и температурный профиль жидкости и окружающих скважину пород будет непрерывно меняться в процессе закачки.

Хотя со временем изменения могут становиться настолько малы, что ими можно пренебречь в пределах погрешности измерительной аппаратуры в пределах времени конкретного исследования скважины.

В этом случае говорят о квазистационарном распределении температурного поля.

Помимо этого процесс распространения тепла идет не только в стволе скважины, где распространяется поток, но и далеко за ее пределами, что приводит к необходимости решать задачу и температурном поле скважины в совокупности с прилегающими к ней породами, что увиливает размерность задачи с одномерной до трехмерной (или двухмерной в случае осевой симметрии теплофизических параметров пород).

Поэтому решение задачи термометрии в стволах скважины формулируется на две температурные функции:

Температурный профиль

\rho \, c \, \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{d}{dl} \, \bigg( \lambda \, \frac{dT}{dl} \bigg)  - \rho \, c \, v \, \frac{dT}{dl}

с начальным условием:

T(t=0, l) = T_g(l)

и граничным условием на поверхности:

T(t, l=0) = T_s(t)

Распределение температуры в массиве горных пород

\rho_e \, c_e \, \frac{\partial T_e}{\partial t} = \nabla ( \lambda_e \nabla T_e)

с начальным условием:

T_e(t=0, l, r) = T_g(l)

и граничным условием на бесконечном удалении от скважины:

T_e(t, l, r \rightarrow \infty) = T_g(l)

Геотермическое распределение температуры (также называемое геотермой) вдоль ствола скважины

T_g(l) = T_{0e} + \int_{z_0}^{z(l)} G_T(z) dz = T_{0e} + \int_{l_0}^l G_T(z(l)) \sin \theta dl 

геотермический градиент задается отношением регионального теплового потока из недр Земли

G_T(z(l)) = \frac{j_e}{\lambda_e(l)}

где

В регионах, где геотермический градиент остается постоянным

T_g(l) = T_{0e} + G_T \, z 

Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле

Справедливости ради стоит заметить, что эта проблема становится актуальной при анализе термограмма в бурящих и добывающих скважинах, а при анализе водяных нагнетательных скважин, использование постоянного усредненного термоградиента вполне допустимо.

Замыкает систему уравнений условие теплобмена между жидкостью в стволе скважины и окружающими горными породами, задаваемое условием непрерывности радиального теплового потока:

2 \pi \, \lambda_e \, r_w \, \frac{\partial T_e}{\partial r} \, \bigg|_{r=r_w} = 2 \pi \, r_f \, U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg)

где

j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_f } =  \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_f  } = U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg) 

j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_w } =  \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_w  } = \lambda \, \frac{\partial T}{\partial r}

Эта задача решается численными методами.

Но для простых случаев есть аналитические оценки, которые правильно воспроизводят крупномасштабные формы температурного профиля.

Одна из популярных аналитических моделей для стационарной (

(

T(t, l) = T_{0e} + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta  +  \big( T_s - T_{0e} + R(t) \, G_T \, \sin \theta \big)  \, e^{ - l/R(t)} 

где

R(t) = \frac{q_s}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg)

T_D(t) = \ln \big[ e^{-0.2 \, t_D} + (1.5 - 0.3719 \, e^{-t_D}) \, \sqrt{t_D} \big]  

t_D(t) = \frac{a_e \, t}{r_w^2}

a_e = \frac{\lambda_e}{ c_e \, \rho_e}

q

При больших дебитах скважины формула 

...