...

Эти замкнутая система уравнений для стационарного распределения давления и скорости потока вдоль трубы.

Уравнение

 A(l) \, \rho(l) \, v(l) = \rm const

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl} - \frac{ f \, \rho \, v^2 \, }{2 d}

\frac{dp}{dl} =  \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v + \bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_f

где

\bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_g = \rho \, g \, \sin \theta,

\bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_v = - \rho \, v \, \frac{dv}{dl},

кинетическая компонента вариация давления, формируемая вариацией скорости потока

\bigg( \frac{dp}{dl} \bigg)_f = - \frac{ f \, \rho v^2}{2 d},

фрикционная компонента вариации давления, формируемая трением флюида со стенкой скважины

она всегда имеет отрциательный знак и приводит к потере давления вдоль направления движения потока

Для несжимаемой жидкости

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \rho \, v \, \frac{dv}{dl}

и может быть явно проинтегрировано:

p(l) - \rho \, g \, l \, \sin \theta +  \frac{1}{2} \rho \, v^2 = \rm const

и называется уравнением Бернулли.

Уравнение неразрывности одномерного потока с линейной плотностью

\frac{\partial (\rho A)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial l} \big( A \, \rho \, v \big) = 0

для стационарного режима течения принимает вид:

\frac{\partial (\rho A)}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial l} \big( A \, \rho \, v \big) = 0

откуда и следует формула

Для вывода уравнения

Рассмотрим стационарное (то есть установившееся во времени) течение потока по трубе.

Движение поперек трубы отсуствует и, следовательно, сумма проекций всех сил на трансверсальное направление

dF_p \bigg |_{l_{\perp}} + dF_g \bigg |_{l_{\perp}} + dF_f \bigg |_{l_{\perp}}+ dF_N \bigg |_{l_{\perp}} =0

и выполняется автоматически, при наличии достаточного запаса прочности трубы

Уравнение движения флюида вдоль оси трубы

 dF_p \bigg |_l + dF_g \bigg |_l + dF_f \bigg |_l+ dF_N \bigg |_l = \frac{d I}{dt}\bigg |_l

где

Изменение импульса c учетом стационарности скорости потока

Сила, формируемая гидравлическим напором

Проекция гравитационной силы

Сила трения со стенками трубы дается феноменологическим уравнением Дарси-Вейсбаха:

Аксиальная компонента реакции опоры труб по определению отсутствует

Подставляя вышеприведенные выражения в уравнение

- A dp + \rho \, A\, \delta l \, g \, \sin \theta - \frac{f \, \rho \, v^2}{2 d} \, A \, \delta l = \rho \, A \, v \, dv

Разделив уравнение на бесконечно малый объем элемента

Если дебит скважины на устье составляет

A \, \rho \, v = \rho_s \, q_s

откуда можно выразить явно профиль скорости потока по стволу:

v(l) = \frac{\rho_s \, q_s}{\rho(p) \, A(l)}

Подставляя 

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \sin \theta - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Далее учтем, что угол наклона к горизонту

\sin \theta = \frac{dz}{dl}

и уравнение для давление примет вид:

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} -  \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{A \, \rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Диаметр труб, вдоль которых идет движение воды, остается постоянным на долгом протяжении и меняется редко (например, километр НКТ и потов выход потока в колонну), и это позволяет решать задачу нахождения профиля давления на кусках постоянного диаметра 

\frac{dp}{dl} = \rho \, g \, \frac{dz}{dl} - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}  \frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f}{\rho}

Процесс движения воды вдоль трубы происходит в состоянии термодинамического равновесия и плотность воды является функцией только давления

\frac{d}{dl} \bigg( \frac{1}{\rho} \bigg) = -\frac{1}{\rho^2} \frac{d \rho}{ dl} 
= - \frac{1}{\rho^2}\frac{d \rho}{dp} \frac{dp}{ dl}
=- \frac{c}{\rho} \frac{dp}{ dl}

где

\bigg( 1 -  \frac{c(p) \, \rho_s^2 \, q_s^2}{A^2}   \bigg )  \frac{dp}{dl} = \rho(p) \, g \, \frac{dz}{dl}  - \frac{\rho_s^2 \, q_s^2 }{2 A^2 d} \frac{f(p)}{\rho(p)}

Как будет показано ниже коэффициент трения

Если предположить постоянство коэффициента трения

p(l) = p_s + \rho \, g \, z(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s \, l

Pressure gradient will be:

\frac{dp}{dl} = \cos \theta(l) - \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s 

where

The first term defines the hydrostatic column of static fluid while the last term defines the friction losses under fluid movement:

\frac{dp}{dl} \Bigg|_{loss} =  \frac{\rho_s \, q_s^2 }{2 A^2 d} \, f_s 

В калькуляторе Well Flow Performance Calculator можно оценить величину потерь на трения для различных сценариев диаметров труб и дебитов скважин.

Коэффициент трения

Коэффициент трения Дарси

Для гладкой трубы

f = 64 \, \rm Re^{-1}

переходной режим течение

f = 0.32 \, \rm Re^{-0.25}

турбулентный режим течения

f = 0.184 \, \rm Re^{-0.2}

сильно турбулентный поток режим течения

где

число Рейнольдса

Для переходных и турбулентных режимов течения коэффициент трения удовлетворяет эмпирической модели Колбрука-Уайта (Colebrook–White), которая учитывает шероховатость внутренней поверхности трубы

\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \, \log \Bigg( \frac{\epsilon}{3.7 \, d}  + \frac{2.51}{{\rm Re} \sqrt{f}} \Bigg)

Типичное значение шероховатости труб

Существует множество явных аппроксимаций решения уравнения

f = 0.25 \, \bigg[ \log \bigg( \frac{\epsilon / d}{3.7065} - \frac{5.0272}{\rm Re} \log \Lambda \bigg)   \bigg]^{-2}

где

\Lambda = \frac{(\epsilon/d)}{3.827} - \frac{4.657}{\rm Re} \log \Bigg[  \bigg( \frac{\epsilon/d}{7.7918} \bigg)^{0.9924} + \bigg( \frac{5.3326}{208.815+Re} \bigg)^{0.9345} \Bigg]

Однако, в пределах измерительной погрешности (< 2 %) можно пользоваться универсальной корреляцией (Churchil) для всех режимов течения, от ламинарного до сильно турбулентного:

f = \frac{64}{\rm Re} \, \Bigg [ 1+ \frac{\big(\rm Re / 8 \big)^{12} }{ \big( \Theta_1 + \Theta_2 \big)^{1.5} }  \Bigg]^{1/12}

где

Как видно из вышеприведенных корреляций, коэффициент трения меняется в зависимости от скорости потока и соответствующего числа Рейнольдса.

Основным вкладом в вариабельность коэффициента трения вдоль трубы является диаметр трубы в данной точке траектории скважины, который может приводить к значительным изменениям скорости потока.

Тем не менее, зависимость от дебита является слабой. Из формулы

Зависимость коэффициента трения от давления формируется только через число Рейнольдса:

{\rm Re} = \frac{ d \, \rho_s \, q_s}{A \, \mu(p)}

отсюда следует, что зависимость коэффициента трения от давления формируется вязкостью

δμ/μ = 25 % при вариации μ = 2.4·10^-5 Па · с для p = 1 атм до μ = 3.0·10^-5 Па · с для 300 атм (cм. Свойства воды).

Для оценки числа Рейнольдса для нагнетаемой по 2.5 " НКТ воды можно пользоваться формулой

Отсюда видно, что при дебитах более 18 м³/сут число Рейнольдса становится больше 4,000 и режим течения является турбулентным и коэффициент трения можно считать практически постоянным вдоль ствола нагнетательной скважины.

А учитывая, что рост давления с глубиной сопровождается увеличением температуры, что компенсирует рост вязкости воды, то для большинства практических реализаций ППД можно полагать, что вариация коэффициента трения вдоль ствола не превышает 2-3 % и в оценках потери напора на трение принимать коэффициент трения постоянным

Профиль температуры 

В отличие от задач гидравлики процессы теплообмена существенно нестационарны и температурный профиль жидкости и окружающих скважину пород будет непрерывно меняться в процессе закачки.

Хотя со временем изменения могут становиться настолько малы, что ими можно пренебречь в пределах погрешности измерительной аппаратуры в пределах времени конкретного исследования скважины.

В этом случае говорят о квазистационарном распределении температурного поля.

Помимо этого процесс распространения тепла идет не только в стволе скважины, где распространяется поток, но и далеко за ее пределами, что приводит к необходимости решать задачу и температурном поле скважины в совокупности с прилегающими к ней породами, что увиливает размерность задачи с одномерной до трехмерной (или двухмерной в случае осевой симметрии теплофизических параметров пород).

Поэтому решение задачи термометрии в стволах скважины формулируется на две температурные функции:

Температурный профиль

\rho \, c \, \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{d}{dl} \, \bigg( \lambda \, \frac{dT}{dl} \bigg)  - \rho \, c \, v \, \frac{dT}{dl}

с начальным условием:

T(t=0, l) = T_g(l)

и граничным условием на поверхности:

T(t, l=0) = T_s(t)

Распределение температуры в массиве горных пород

\rho_e \, c_e \, \frac{\partial T_e}{\partial t} = \nabla ( \lambda_e \nabla T_e)

с начальным условием:

T_e(t=0, l, r) = T_g(l)

и граничным условием на бесконечном удалении от скважины:

T_e(t, l, r \rightarrow \infty) = T_g(l)

Геотермическое распределение температуры (также называемое геотермой) вдоль ствола скважины

T_g(l) = T_{0e} + \int_{z_0}^{z(l)} G_T(z) dz = T_{0e} + \int_{l_0}^l G_T(z(l)) \sin \theta dl 

геотермический градиент задается отношением регионального теплового потока из недр Земли

G_T(z(l)) = \frac{j_e}{\lambda_e(l)}

где

В регионах, где геотермический градиент остается постоянным

T_g(l) = T_{0e} + G_T \, z 

Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле

Справедливости ради стоит заметить, что эта проблема становится актуальной при анализе термограмма в бурящих и добывающих скважинах, а при анализе водяных нагнетательных скважин, использование постоянного усредненного термоградиента вполне допустимо.

Замыкает систему уравнений условие теплобмена между жидкостью в стволе скважины и окружающими горными породами, задаваемое условием непрерывности радиального теплового потока:

2 \pi \, \lambda_e \, r_w \, \frac{\partial T_e}{\partial r} \, \bigg|_{r=r_w} = 2 \pi \, r_f \, U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg)

где

j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_f } =  \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_f  } = U \, \bigg( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \bigg) 

j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_w } =  \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_w  } = \lambda \, \frac{\partial T}{\partial r}

Эта задача решается численными методами.

Но для простых случаев есть аналитические оценки, которые правильно воспроизводят крупномасштабные формы температурного профиля.

Одна из популярных аналитических моделей для стационарной (

(

T(t, l) = T_{0e} + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta  +  \big( T_s - T_{0e} + R(t) \, G_T \, \sin \theta \big)  \, e^{ - l/R(t)} 

где

R(t) = \frac{q_s}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg)

T_D(t) = \ln \big[ e^{-0.2 \, t_D} + (1.5 - 0.3719 \, e^{-t_D}) \, \sqrt{t_D} \big]  

t_D(t) = \frac{a_e \, t}{r_w^2}

a_e = \frac{\lambda_e}{ c_e \, \rho_e}

...