Page tree

Versions Compared

Key

  • This line was added.
  • This line was removed.
  • Formatting was changed.


Expand
titleContent
Column
width60%
Panel
bgColorAzure

Table of Contents
indent10 px
stylecircle

Column
width40%



Definition



Mathematical model of multiphase wellbore flow predicts the temperature, pressure and flow speed distribution along the wellbore trajectory with account for:

  • tubing head pressure which is set by gathering system or injection pump

  • wellbore design

  • pump characterisits

  • fluid friction with tubing /casing walls

  • interfacial phase slippage

  • heat exchange between wellbore fluid and surrounding rocks


Mathematical Model



The multiphase wellbore flow in hydrodynamic and thermodynamic equilibrium is defined by the following set of 1D equations: 

LaTeX Math Block
anchorMatBal
alignmentleft
\frac{\partial (\rho_m A)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial l} \bigg( A \, \sum_\alpha \rho_\alpha \, u_\alpha \bigg) = 0
LaTeX Math Block
anchor NS
alignmentleft
\sum_\alpha \rho_\alpha \bigg[ \frac{\partial u_\alpha}{\partial t} + u_\alpha \frac{\partial u_\alpha}{\partial l}  - \nu_\alpha \Delta u_\alpha\bigg]  =  - \frac{dp}{dl} + \rho_m \, g \, \sin \theta - \frac{ f_m \, \rho_m \, u_m^2 \, }{2 d}
LaTeX Math Block
anchordivT
alignmentleft
(\rho \,c_p)_m \frac{\partial T}{\partial t} 
 
-  \sum_\alpha \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \eta_{s \alpha} \ \frac{\partial P_\alpha}{\partial t}  
 
+  \sum_\alpha \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ u_\alpha \frac{\partial T}{\partial l}
 \  =   \   \frac{1}{A}  \ \sum_\alpha \rho_\alpha \ c_{p \alpha} T_\alpha \frac{\partial  q_\alpha}{\partial l} 

where

LaTeX Math Inline
bodym

indicates a mixture of fluid phases

LaTeX Math Inline
body\alpha = \{w,o,g \}

water, oil, gas phase indicator

LaTeX Math Inline
bodyl

measure length along wellbore trajectory

LaTeX Math Inline
bodyu_\alpha(l)

in-situ velocity of

LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase fluid flow

LaTeX Math Inline
body\rho_\alpha(l)

LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase fluid density

LaTeX Math Inline
body\rho_m(l)
 

cross-sectional average fluid density

LaTeX Math Inline
body \theta(l)

wellbore trajectory inclination to horizon

LaTeX Math Inline
bodyd(l)

cross-sectional average pipe flow diameter

LaTeX Math Inline
bodyA(l)

in-situ cross-sectional area

LaTeX Math Inline
bodyA(l) = 0.25 \, \pi \, d^2(l)

LaTeX Math Inline
bodyf(l)

Darci flow friction coefficient

LaTeX Math Inline
body\nu_\alpha

kinematic viscosity of

LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase

LaTeX Math Inline
bodyT_\alpha(l)

temperature of

LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase fluid flowing from reservoir into a wellbore



Equations 

LaTeX Math Block Reference
anchorMatBal
 – 
LaTeX Math Block Reference
anchordivT
 define a closed set of 3 scalar equations on 3 unknowns: pressure 
LaTeX Math Inline
bodyp(l)
, temperature 
LaTeX Math Inline
bodyT(l)
 and mixture-average fluid velocity 
LaTeX Math Inline
bodyu_m(l)
 .


The model is set in 1D-model with 

LaTeX Math Inline
bodyl-
axis aligned with well trajectory 
LaTeX Math Inline
bodyl(x,y,z)
:


The disambiguation of the properties in the above equation is brought in The list of dynamic flow properties and model parameters.


Equation  

LaTeX Math Block Reference
anchorMatBal
 defines the continuity of the fluid components flow or equivalently represent the mass conservation of each mass component 
LaTeX Math Inline
body\{ m_W, \ m_O, \ m_G \}
 during its transportation along wellbore. 

Equation 

LaTeX Math Block Reference
anchor NS
 defines the motion dynamics of each phase (called Navier–Stokes equation), represented as linear correlation between phase flow speed  
LaTeX Math Inline
bodyu_\alpha
 and pressure profile of mutliphase fluid
LaTeX Math Inline
bodyp
.



The term 

LaTeX Math Inline
body\sum_\alpha \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ u_\alpha \frac{\partial T}{\partial l}
 represents heat convection defined by the wellbore mass flow. 


The term 

LaTeX Math Inline
body\sum_\alpha \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \eta_{s \alpha} \ \frac{\partial P_\alpha}{\partial t}
 represents the heating/cooling effect of the fast adiabatic pressure change.

This usually takes effect in the wellbore during the first minutes or hours after changing the well flow regime (as a consequence of choke/pump operation). 


The multiphase fluid density 

LaTeX Math Inline
body\rho_m
 is defined by exact formula:

LaTeX Math Block
anchor1
alignmentleft
\rho_m = \sum_\alpha \rho_\alpha s_\alpha

where 

LaTeX Math Inline
bodys_\alpha
 – fractional volumes of
LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase which are naturally constraint by:

LaTeX Math Block
anchors_norm
alignmentleft
\sum_\alpha s_\alpha = s_w + s_o + s_g = 1


The 

LaTeX Math Inline
bodys_\alpha
 can be also expressed as fraction of the total flowing cross-sectional area 
LaTeX Math Inline
bodyA
 occupied by 
LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase:

LaTeX Math Block
anchors_alpha
alignmentleft
s_\alpha = \frac{A_\alpha}{A}


The term 

LaTeX Math Inline
body(\rho \,c_p)_m
 defines mass-specific heat capacity of the multiphase mixture and defined by exact formula:

LaTeX Math Block
anchorrho_cp
alignmentleft
(\rho \,c_p)_m = \sum_\alpha \rho_\alpha c_\alpha s_\alpha


The in-situ velocities 

LaTeX Math Inline
bodyu_\alpha
 are usually expressed via the macroscopic flow velocity 
LaTeX Math Inline
bodyu_m
 using the 




Expand
titleDerivation


LaTeX Math Block
anchordivT
alignmentleft
(\rho \,c_{pt})_p \frac{\partial T}{\partial t} 
 
-  \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \eta_{s \alpha} \ \frac{\partial P_\alpha}{\partial t}  
 
+  \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ u_\alpha \frac{\partial T}{\partial l}
 \  =   \   \frac{\delta E_H}{ \delta V \delta t}


Equation 

LaTeX Math Block Reference
anchordivT
  defines the heat flow continuity or equivalently represents heat conservation due to heat conduction and convection with account for adiabatic and Joule–Thomson throttling effect.

The term 

LaTeX Math Inline
body\frac{\delta E_H}{ \delta V \delta t}
 defines the speed of change of  heat energy 
LaTeX Math Inline
bodyE_H
 volumetric density due to the inflow from formation into the wellbore.






Stationary Flow Model


Stationary wellbore flow is defined as the flow with constant pressure and temperature:  

LaTeX Math Inline
body\frac{\partial T}{\partial t} = 0
 and 
LaTeX Math Inline
body\frac{\partial P_\alpha}{\partial t} = 0
 .

This happens during the long-term (usually hours & days & weeks) production/injection or long-term (usually hours & days & weeks)  shut-in.


The temperature dynamic equation 

LaTeX Math Block Reference
anchordivT
 is going to be:

LaTeX Math Block
anchorTst
alignmentleft
\sum_\alpha \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ u_\alpha \frac{\partial T}{\partial l}
 \  =   \   \frac{1}{A}  \ \sum_\alpha \rho_\alpha \ c_{p \alpha} T_\alpha \frac{\partial  q_\alpha}{\partial l} 


The phase temperature 

LaTeX Math Inline
bodyT_\alpha
 is the temperature of the 
LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase flowing from reservoir into wellbore.

It carries the original reservoir temperature with heating/cooling effect from reservoir-flow throttling and well-reservoir contact throttling:

LaTeX Math Block
anchorTa
alignmentleft
T_\alpha = T_r + \epsilon_\alpha \, \delta P = T_r + \epsilon_\alpha \, (P_e - P_{wf})


The discrete computational scheme for 

LaTeX Math Block Reference
anchorTst
will be:

LaTeX Math Block
anchorENA46
alignmentleft
\bigg( \sum_\alpha \rho_\alpha^{k-1} \ c_{p \alpha}^{k-1} \ q_\alpha^{k-1} \bigg) T^{k-1} - \bigg( \sum_\alpha \rho_\alpha^k \ c_{p \alpha}^k \ q_\alpha^k \bigg) T^k
 =   \sum_\alpha \rho_\alpha^k \ c_{p \alpha}^k \ (q_\alpha^{k-1} - q_\alpha^k) \, (T_r^k + \epsilon_\alpha^k \delta p^k )

where 

LaTeX Math Inline
body\delta p^k = p_e^k - p_{wf}^k
 is drawdown, 
LaTeX Math Inline
bodyp_e^k
 – formation pressure in 
LaTeX Math Inline
bodyk
-th grid layer, 
LaTeX Math Inline
bodyp_{wf}^k
 – bottom-hole pressure across 
LaTeX Math Inline
bodyk
-th grid layer,
LaTeX Math Inline
bodyT_r^k
 – remote reservoir temperature of  
LaTeX Math Inline
bodyk
-th grid layer.

The

LaTeX Math Inline
bodyl
-axis is pointing downward along hole with 
LaTeX Math Inline
body(k-1)
-th grid layer sitting above the
LaTeX Math Inline
bodyk
-th grid layer.

If the flowrate is not vanishing during the stationary lift (

LaTeX Math Inline
body\sum_{a = \{w,o,g \}} |q_\alpha^{k-1}| > 0
) then  
LaTeX Math Inline
bodyT^{k-1}
 can be calculated iteratively from previous values of the wellbore temperature 
LaTeX Math Inline
bodyT^k
 as:

LaTeX Math Block
anchorW3ZX6
alignmentleft
T^{k-1} = \frac{\bigg( \sum_\alpha \rho_\alpha^k \ c_{p \alpha}^k \ q_\alpha^k \bigg)  T^k +   \sum_\alpha \rho_\alpha^k \ c_{p \alpha}^k \ (q_\alpha^{k-1} - q_\alpha^k) \, (T_r^k + \epsilon_\alpha^k \delta p^k )}{\bigg( \sum_\alpha \rho_\alpha^{k-1} \ c_{p \alpha}^{k-1} \ q_\alpha^{k-1} \bigg) } 




Expand
titleDeduction



LaTeX Math Block
anchordivT
alignmentleft
(\rho \,c_{pt})_p \frac{\partial T}{\partial t} 
 
- \ \phi \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \eta_{s \alpha} \ \frac{\partial P_\alpha}{\partial t}  
 
+ \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \epsilon_\alpha \ \mathbf{u}_\alpha \bigg)  \nabla P
 
+ \bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \  \nabla T 
 
 - \nabla (\lambda_t \nabla T) =  \frac{\delta E_H}{ \delta V \delta t}

The wellbore fluid velocity 

LaTeX Math Inline
bodyu_\alpha
 can be expressed thorugh the volumetric flow profile 
LaTeX Math Inline
bodyq_\alpha
 and tubing/casing cross-section area 
LaTeX Math Inline
body\pi r_f^2
 as:

LaTeX Math Block
anchor1
alignmentleft
u_\alpha = \frac{q_\alpha}{\pi r_f^2}

so that 

LaTeX Math Block
anchorN3VMD
alignmentleft
\bigg( \sum_{a = \{w,o,g \}} \rho_\alpha \ c_{p \alpha} \ \mathbf{u}_\alpha \bigg) \  \nabla T 
 =  \frac{\delta E_H}{ \delta V \delta t}






References



Beggs, H. D. and Brill, J. P.: "A Study of Two-Phase Flow in Inclined Pipes," J. Pet. Tech., May (1973), 607-617



Anchor
MFM
MFM


Show If
userama@naftacollege.com
Info
iconfalse
titleDraft

Физическая картина течения флюида


В зависимости от компонентного состава поток жидкости может классифицироваться как однофазный или многофазный. Первый характерен для газои водонагнетательных скважин, недавно введенных в эксплуатацию добывающих нефтяных и газовых скважин, а также сильно обводненных добывающих скважин, в то время как второй тип встречается, как правило, в большинстве скважин, находящихся в эксплуатации в течение длительного времени. В общем случае, анализ многофазного потока может быть произведен для четырехфазного потока, включающего следующие фазы: 

    • Пластовая вода;
    • Нагнетаемая вода;
    • Нефть/конденсат;
    • Газ.


ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕЧЕНИЯ ФЛЮИДА 
Для определения расхода потока жидкости или газа, или многофазного потока необходимо знать среднюю линейную скорость смеси. Причем общий расход жидкости Q соотносится со средней линейной скоростью потока (v ̅) следующим образом: 
Q=v̅A, (1.1) 
где Q – дебит скважины (м3/сут), а А – площадь поперечного сечения, рассчитываемого по внутреннему диаметру обсадной колонны/ствола скважины (м2). 



По данным механической расходометрии или термоиндикатора притока определяется кажущаяся линейная скорость потока vAPP. Средняя скорость потока прямо пропорциональна кажущейся скорости потока: 
v̅=kVPCF•vAPP, (1.2)
где kVPCF – поправочный коэффициент для профиля скорости, зависящего от режима потока в стволе и конфигурации механического расходомера, и определяемого как функция числа Рейнольдса (Re) и отношения радиуса лопастей вертушки (r) к внутреннему радиусу ствола (R) [2]: 
kVPCF=f(Re, ), (1.3)r
— R 
В механике жидкостей число Рейнольдса Re является безразмерной величиной, определяющей отношение инерционных сил к силам вязкости при заданном режиме потока [2]:

  • Турбулентный поток реализуется при высоких значениях числа Рейнольдса, при этом преобладают инерционные силы, что приводит к образованию хаотических завихрений и прочих нестабильностей потока. Значение числа Рейнольдса, как правило, выше 2300.


ИЗМЕРЕНИЕ МНОГОФАЗНОГО ПОТОКА 
Датчики расхода и датчики состава, включенные в связку приборов Indigo PLT, измеряют средние характеристики по поперечному сечению прибора, которые зависят от режима течения многофазной смеси.
В многофазном потоке типичные режимы течения можно выделить по соотношению между приведенными скоростями фаз.
Режимы газо-жидкостного потока в вертикальных и горизонтальных трубах показаны, соответственно, на рис. 1.16 и 1.17.
Для вертикальных потоков общепринятым является выделение пузырькового (bubble), снарядного (slug), эмульсионного (churn),
Re==, (1.4)inertial forces ρvd 

где
———————— ——
viscous forcesμ
дисперсно-кольцевого (annular with droplets)
и кольцевого (annular) режима течения (рис. 1.16). В случаях, когда приведенная скорость
ρ – плотность смеси
v – скорость потока
d – внутренний диаметр колонны
μ – динамическая вязкость 
Число Рейнольдса зависит от скорости потока и является важным параметром, показывающим, является ли поток ламинарным или турбулентным [2]: 

  • Ламинарный поток имеет место при низких значениях числа Рейнольдса, при которых вязкие силы являются преобладающими, и характеризуется плавным и стабильным движением жидкости. Значение числа Рейнольдса, как правило, не превышает 2300.

газовой фазы мала, пузырьковый режим течения является преобладающим. По мере возрастания приведенной скорости газовой фазы проявляется тенденция к слиянию пузырьков с образованием «пузырьков Тейлора», при этом пузырьковый режим сменяется снарядным. При дальнейшем увеличении скорости газовой фазы снарядный режим переходит в эмульсионный режим и далее в кольцевой, при котором газ движется в ядре потока, а вся жидкость движется по стенке трубы. При кольцевом режиме течения и относительно небольших скоростях газа, часть жидкости в виде капелек может двигаться в газовом ядре потока [3]. 



Для горизонтальных потоков принято выделять кольцевой (annular) дисперсионно-пузырьковый (dispersed bubble), снарядный (slug), пузырьковый с горизонтально-удлиненными пузырьками (elongated bubble flow), расслоенно-волновой (stratified wavy) и расслоенный (stratified) режимы течения (рис. 1.17). Особенностью течения в горизонтальных и наклонных трубах является асимметрия в распределении фаз по сечению канала за счет действия силы тяжести [3]. 
В многофазном потоке каждая фаза имеет собственную относительную скорость. Разница между скоростями фаз зависит от физических свойств каждой фазы, угла наклона ствола скважины и режима течения. Разница скоростей каждой дисперсной фазы относительно непрерывной фазы называется скоростью проскальзывания v21:
v21=v2̅ v1̅ , (1.5)
где v1 – скорость непрерывной фазы, а v2 – скорость дисперсной фазы. Благодаря эффекту проскальзывания истинная насыщенность фаз не соответствует расходной насыщенности. Истинная насыщенность фазы в поперечном сечении определяется как доля, занимаемая той или иной фазой в поперечном сечении ствола скважины [4,5]: 
αi=—. (1.6)Ai A 
Существует ряд корреляций – эмпирических, основанных на экспериментальных данных, и механистических, основанных на принципах механики жидкостей, – для определения режимов течения и скорости проскальзывания v21. Краткое описание наиболее распространенных корреляций и областей их применения приведено в Таблицах 1.1 и 1.3. 




 
Рис. 1.16. Режимы течения многофазного потока «газ-жидкость» в вертикальной трубе [4,5]. 


 
Рис. 1.17. Режимы течения многофазного потока «газ-жидкость» в горизонтальной трубе [4,5]. 
Таблица 1.1. Описание корреляций «жидкость-газ» («нефть-газ» или «вода-газ») 


Модель

Модель 
Тип скважины по углу наклона

Режимы многофазного потока


Примечания


Ансари [6]

Вертикальная или с незначительным углом


Пузырьковый, снарядный, дисперсный


Механистическая модель



Бегз и Брилл [7]

Горизонтальная или сильно наклонная (с большим зенитным углом)


Расслоенный, прерывистый (снарядный), дисперсный (пузырьковый)



Эмпирическая модель


Стенфордская модель скорости дрейфа трехфазной смеси 
(газ-жидкость) [8,9]





0–88°





От пузырькового до кольцевого

Полумеханистическая модель, основанная на теории скорости дрейфа, с использованием эмпирически определенных параметров и соблюдением условия непрерывности между различными режимами течения. Применяется при объемных содержаниях газа свыше 0.06.




Таблица 1.2. Описание корреляций «жидкость-жидкость» («нефть-вода»)



Модель


Тип скважины по углу наклона


Режимы многофазного потока



Примечания






Шокетт





Вертикальная или с незначительным углом






Пузырьковый

Эмпирическая модель, в которой скорость проскальзывания фаз определяется с использованием семейства кривых, представляющих зависимость скорости проскальзывания от разницы плотности фаз и удельного содержания тяжелой фазы α_w (влагосодержание). Данная модель не учитывает различия между гидрофильными (капельки нефти в воде) и гидрофобными (капельки воды в нефти) смесями.




Николас и Виттерхольт [10]



Вертикальная или наклонная (с зенитным углом до 70о)



Пузырьковый, псевдоснарядный

Полуэмпирическая модель, основанная на данных экспериментального исследования и допущениях модели скорости дрейфа. Данная модель не учитывает различия между гидрофильными (капельки нефти в воде) 
и гидрофобными (капельки воды в нефти) смесями.

Стенфордская модель скорости дрейфа («жидкость-жидкость») 
[4,5]



0–88°


Пузырьковый, псевдоснарядный


Полумеханистическая модель, основанная на теории скорости дрейфа, с использованием эмпирически определенных параметров.


Таблица 1.3. Описание корреляций трехфазной смеси («газ-нефть-вода»)



Модель

Тип скважины по углу наклона

Режимы многофазного потока



Примечания


Стенфордская модель скорости дрейфа трехфазной смеси 
[8,9]




0–88°



От пузырькового до кольцевого

Полумеханистическая модель, основанная на теории скорости дрейфа, с использованием эмпирически определенных параметров и соблюдением условия непрерывности между различными режимами течения. Применяется при объемных содержаниях газа свыше 0,06.


Дебиты фаз 


Section
Column
width25%
LaTeX Math Block
anchor123
alignmentleft
Q_w = \sigma_{bh} \ \xi_w  \ u_w
LaTeX Math Block
anchorVB037
alignmentleft
Q_o = \sigma_{bh} \ \xi_o \ u_o
LaTeX Math Block
anchor3FI60
alignmentleft
Q_g = \sigma_{bh} \ \xi_g \ u_g
Column
width20%
LaTeX Math Block
anchor88A3F
alignmentleft
u_w = \sigma_{bh} \ \frac{\xi_w}{\mu_w} \frac{d P_{\delta}}{dh}
LaTeX Math Block
anchorR31ZD
alignmentleft
u_o = \sigma_{bh} \ \frac{\xi_o}{\mu_o} \frac{d P_{\delta}}{dh}
LaTeX Math Block
anchor6AW4Y
alignmentleft
u_g = \sigma_{bh} \ \frac{\xi_g}{\mu_g} \frac{d P_{\delta}}{dh}
Column
width30%



Распределение давления 


LaTeX Math Block
anchorMOM9U
alignmentleft
Q(h) = Q_w + Q_o + Q_g = \int_{\Gamma_h} \big( q_w(h) + q_o(h) + q_g(h) \big) \ dh



LaTeX Math Block
anchor7XHB3
alignmentleft
Q(h) = \sigma_{bh}^2 \bigg( \frac{\xi_w^2}{\mu_w} + \frac{\xi_o^2}{\mu_o} + \frac{\xi_g^2}{\mu_g}  \bigg)\frac{d P_{\delta}}{dh}


откуда

LaTeX Math Block
anchorJRAJZ
alignmentleft
P_{\delta}(t, \delta h) = \int_0^{\delta h} \frac{Q(h) \ dh}{\sigma_{bh}^2 \bigg( \frac{\xi_w^2}{\mu_w} + \frac{\xi_o^2}{\mu_o} + \frac{\xi_g^2}{\mu_g}  \bigg)}


Anchor
Nomenclature
Nomenclature

The list of dynamic flow properties and model parameters



LaTeX Math Inline
body(t,x,y,z)

time and space corrdinates ,

LaTeX Math Inline
body z
-axis is orientated towards the Earth centre,

LaTeX Math Inline
body(x,y)
define transversal plane to the
LaTeX Math Inline
body z
-axis

LaTeX Math Inline
body\mathbf{r} = (x, \ y, \ z)

position vector at which the flow equations are set

LaTeX Math Inline
bodyl (x, \ y, \ z)

measured depth along borehole trajectory

LaTeX Math Inline
bodydl^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2
starting from tubing head
LaTeX Math Inline
bodyl (x = x_0, \ y=y_0, \ z = z_{THP}) = 0

LaTeX Math Inline
bodyq_{mW} = \frac{d m_W}{dt}

speed of water-component mass change in wellbore draining points

LaTeX Math Inline
bodyq_{mO} = \frac{d m_O}{dt}

speed of oil-component mass change in wellbore draining points

LaTeX Math Inline
bodyq_{mG} = \frac{d m_G}{dt}

speed of gas-component mass change in wellbore draining points

LaTeX Math Inline
bodyq_W = \frac{1}{\rho_W^{\LARGE \circ}} \frac{d m_W}{dt} = \frac{d V_{Ww}^{\LARGE \circ}}{dt} = \frac{1}{B_w} q_w

volumetric water-component flow rate in wellbore draining points recalculated to standard surface conditions

LaTeX Math Inline
bodyq_O = \frac{1}{\rho_O^{\LARGE \circ}} \frac{d m_O}{dt} = \frac{d V_{Oo}^{\LARGE \circ}}{dt} + \frac{d V_{Og}^{\LARGE \circ}}{dt} = \frac{1}{B_o} q_o + \frac{R_v}{B_g} q_g

volumetric oil-component flow rate in wellbore draining points recalculated to standard surface conditions

LaTeX Math Inline
bodyq_G = \frac{1}{\rho_G^{\LARGE \circ}} \frac{d m_G}{dt} = \frac{d V_{Gg}^{\LARGE \circ}}{dt} + \frac{d V_{Go}^{\LARGE \circ}}{dt} = \frac{1}{B_g} q_g + \frac{R_s}{B_o} q_o

volumetric gas-component flow rate in wellbore draining points recalculated to standard surface conditions

LaTeX Math Inline
bodyq_w = \frac{d V_w}{dt}

volumetric water-phase flow rate in wellbore draining points

LaTeX Math Inline
bodyq_o = \frac{d V_o}{dt}

volumetric oil-phase flow rate in wellbore draining points

LaTeX Math Inline
bodyq_g = \frac{d V_g}{dt}

volumetric gas-phase flow rate in wellbore draining points

LaTeX Math Inline
bodyq^S_W =\frac{dV_{Ww}^S}{dt}

total well volumetric water-component flow rate

LaTeX Math Inline
bodyq^S_O = \frac{d (V_{Oo}^S + V_{Og}^S )}{dt}

total well volumetric oil-component flow rate

LaTeX Math Inline
bodyq^S_G = \frac{d (V_{Gg}^S + V_{Go}^S )}{dt}

total well volumetric gas-component flow rate

LaTeX Math Inline
bodyq^S_L = q^S_W + q^S_O

total well volumetric liquid-component flow rate

LaTeX Math Inline
body\vec u_w = \vec u_w (t, \vec r)

water-phase flow speed distribution and dynamics

LaTeX Math Inline
body\vec u_o = \vec u_o (t, \vec r)

oil-phase flow speed distribution and dynamics

LaTeX Math Inline
body\vec u_g = \vec u_g (t, \vec r)

gas-phase flow speed distribution and dynamics

LaTeX Math Inline
body\vec g = (0, \ 0, \ g)

gravitational acceleration vector

LaTeX Math Inline
bodyg = 9.81 \ \rm m/s^2

gravitational acceleration constant

LaTeX Math Inline
body\rho_\alpha(P,T)

mass density of

LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase fluid

LaTeX Math Inline
body\mu_\alpha(P,T)

viscosity of

LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase fluid

LaTeX Math Inline
body\lambda_t(P,T,s_w, s_o, s_g)

effective thermal conductivity of the rocks with account for multiphase fluid saturation

LaTeX Math Inline
body\lambda_r(P,T)

rock matrix thermal conductivity

LaTeX Math Inline
body\lambda_\alpha(P,T)

thermal conductivity of

LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase fluid

LaTeX Math Inline
body\rho_r(P,T)

rock matrix mass density

LaTeX Math Inline
body\eta_{s \alpha}(P,T)

differential adiabatic coefficient of

LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase fluid

LaTeX Math Inline
bodyc_{pr}(P,T)

specific isobaric heat capacity of the rock matrix

LaTeX Math Inline
bodyc_{p\alpha}(P,T)

specific isobaric heat capacity of

LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase fluid

LaTeX Math Inline
body \epsilon_\alpha (P, T)

differential Joule–Thomson coefficient of

LaTeX Math Inline
body\alpha
-phase fluid

дифференциальный коэффициент Джоуля-Томсона фазы 

LaTeX Math Inline
body\alpha