Motivation
...
One of the key challenges in Pipe Flow Dynamics is to predict the along-hole temperature distribution during the stationary fluid transport.
In many practical cases the temperature distribution for the stationary fluid flow can be approximated by homogenous fluid flow model.
Pipeline Flow Temperature Model is addressing this problem with account of the varying pipeline trajectory, pipeline contraction schematic and heat transfer with the matter around pipeline.One of the key challenges in Pipe Flow Dynamics is to predict the along-hole pressure distribution during the stationary fluid transport.
In many practical cases the pressure distribution can the along-hole temperature distribution during the stationary fluid flow can be approximated by Isothermal or Quasi-isothermal model of homogenous fluid flow model.
Pipeline flow simulator is addressing this problem with account of the varying pipeline trajectory, gravity effects and fluid friction with pipeline walls.
Definition
Given
...
Outputs
...
...
| along-pipe temperature distribution and evolution in time |
Inputs
...
...
| --uriencoded--%7B\bf r%7D(l) |
|
| |
...
...
| --uriencoded--%7B\bf r%7D(l) = \%7B x(l), \, y |
|
|
...
...
...
...
...
...
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \{ x_s = 0, \, y_s = 0, \, z_s = 0 \} |
|---|
|
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
| initial temperature of the medium around the pipeline |
|
...
...
...
...
...
...
...
...
Simulate
...
...
...
...
...
...
| user | ama@naftacollege.com |
|---|
| group | sofoil |
|---|
123
123
В отличие от задач гидравлики процессы теплообмена существенно нестационарны и температурный профиль жидкости и окружающих скважину пород будет непрерывно меняться в процессе закачки.
Хотя со временем изменения могут становиться настолько малы, что ими можно пренебречь в пределах погрешности измерительной аппаратуры в пределах времени конкретного исследования скважины.
В этом случае говорят о квазистационарном распределении температурного поля.
Помимо этого процесс распространения тепла идет не только в стволе скважины, где распространяется поток, но и далеко за ее пределами, что приводит к необходимости решать задачу и температурном поле скважины в совокупности с прилегающими к ней породами, что увиливает размерность задачи с одномерной до трехмерной (или двухмерной в случае осевой симметрии теплофизических параметров пород).
Поэтому решение задачи термометрии в стволах скважины формулируется на две температурные функции:
...
...
температурный профиль потока воды вдоль ствола скважины
, отсчитываемой вниз от поверхности...
...
распределение температуры в массиве горных пород
Assumptions
...
Equations
...
Температурный профиль
потока воды ствола скважины формируется кондукцией и конвекцией вдоль потока и теплообменом с окружающими породами и описывается следующим уравнением:| LaTeX Math Block |
|---|
| \rho \, c \, \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{d}{dl} \, \bigg( \lambda \, \frac{dT}{dl} \bigg) - \rho \, c \, v \, \frac{dT}{dl |
|
...
с начальным условием:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
T(t=0, l) = T_g(l) |
и граничным условием на поверхности:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
T(t, l=0) = T_s(t) |
...
...
} + \frac{U}{r_w} \cdot \big( T_e(t, l, r_w) - T \big) |
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| \rho_e \, c_e \, \frac{\partial T_e}{\partial t} = \nabla ( \lambda_e \nabla T_e) |
|
с начальным условием:
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
где
...
...
...
...
...
отметка нейтрального слоя вдоль траектории скважины (обычно
так как начальные участки скважин не имеют сильного отклонения от вертикали)В регионах, где геотермический градиент остается постоянным
до глубины залегания продуктивных пластов, геотермическое распределение температуры в породах принимает простой вид:...
| anchor | T_g_const |
|---|
| alignment | left |
|---|
...
e(t, l, r \rightarrow \infty) = T_{ |
|
...
Однако в большом количестве практических случаев это не так и применение среднего по всему разрезу значения геотермического градиента для оценки геотермического распределения температур по формуле
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
может привести к значительным погрешностям....
|
| LaTeX Math Block |
|---|
| 2 \pi \, \lambda_e \, r_w \, \frac{\partial T_e}{\partial r} \, \bigg|_{r=r_w} = 2 \pi \, r_f \, U \ |
|
...
где
– радиальное направление к оси скважины....
| title | Вывод условия теплообмена |
|---|
Если между внутренней стенкой НКТ и внутренней стенкой скважины по долоту нет источников или стоков тепла, то линейная плотность радиального потока тепла
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h} |
|---|
|
(количество тепла переносимого вдоль радиального направления в единицу времени на метр длины скважины) будет сохраняться вдоль радиального направления.Плотность радиального теплового потока между закачиваемой жидкостью и стенкой трубки НКТ может быть выражена через коэффициент теплопередачи
между средами:...
...
cdot \left( T_e \, \bigg|_{r=r_w} - T \ |
|
...
...
Approximations
...
Это по-сути эта формула является определением коэффициента теплопередачи.
Плотность радиального теплового потока между стенкой скважины и породами определяется законом теплопроводности Фурье:
| LaTeX Math Block |
|---|
|
j = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta S_w } = \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h \: 2 \pi \, r_w } = \lambda \, \frac{\partial T}{\partial r} |
Исключая из вышеприведенных уравнений линейную плотность теплового потока
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \frac{\delta \, E_T}{\delta \, t \: \delta h} |
|---|
|
получим условие теплообмена | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
.Эта задача решается численными методами.
Но для простых случаев есть аналитические оценки, которые правильно воспроизводят крупномасштабные формы температурного профиля.
Одна из популярных аналитических моделей для стационарной (
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | q_s = {\rm const}, \quad T_s(t) = T_s = \rm const |
|---|
|
) закачки в скважину с постоянным наклоном (| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \theta(l) = \rm const |
|---|
|
), в окружении акисально-симметричного однородного пласта(
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | \rho_e = {\rm const}, \lambda_e (l) = {\rm const}, \, c_e (l) = {\rm const} |
|---|
|
) с постоянным геотермическим градиентом вдали от поверхности | LaTeX Math Inline |
|---|
| body | l \, \sin \theta \gg r_w |
|---|
|
, дается следующей формулой (Ramey, 1962):| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | Tf_Ramey |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
T(t, l) = T_{0e} + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta + \big( T_s - T_{0e} + R(t) \, G_T \, \sin \theta \big) \, e^{ - l/R(t)} |
где
| LaTeX Math Block |
|---|
| anchor | RelaxationRamey |
|---|
| alignment | left |
|---|
|
R(t) = \frac{q_s}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg) |
релаксационное расстояние
| LaTeX Math Block |
|---|
|
T_D(t) = \ln \big[ e^{-0.2 \, t_D} + (1.5 - 0.3719 \, e^{-t_D}) \, \sqrt{t_D} \big] |
безразмерная температура (Hasan, Kabir, 1994)
| LaTeX Math Block |
|---|
|
t_D(t) = \frac{a_e \, t}{r_w^2} |
безразмерное время
| LaTeX Math Block |
|---|
|
a_e = \frac{\lambda_e}{ c_e \, \rho_e} |
температуропроводность пород
...
...
...
...
...
...
радиус трубы вдоль контрой идет движение флюида
...
...
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | G_T = \frac{dT_G}{dz} |
|---|
|
...
...
...
...
q
При больших дебитах скважины формула
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
предсказывает малое значение и следовательно в экспоненте формулы | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
можно удержать только линейный член разложения по :| LaTeX Math Block |
|---|
|
T(t, l) \approx T_s + (T_{0e} - T_s) \, \frac{l}{R(t)} \ = \ T_s + \frac{1}{q_s} \frac{ 2 \pi \, a_e \, (T_{0e} - T_s) }{ T_D(t) + \frac{\lambda}{r_f \, U}} |
откуда видно, что прогрев температуры по стволу скважины уменьшается с ростом дебита скважины
, что соответствует практическим наблюдениям.При малых дебитах скважины формула
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
предсказывает большое значение и следовательно экспонентой в формуле | LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
можно пренебречь:| LaTeX Math Block |
|---|
|
T(t, l) \approx T_s + G_T \, z - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - R(t) \, G_T \, \sin \theta \ = \ T_g(l) - q_s \, \frac{G_T \, \sin \theta}{2 \pi \, a_e} \, \bigg( T_D(t) + \frac{\lambda_e}{r_f \, U} \bigg) |
то есть поток воды прогревается породами до геотермической температуры, что соответствует практическим наблюдениям.
Также формула
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
предсказывает логарифмический рост со временем:| LaTeX Math Block |
|---|
|
T_D(t) = \ln ( 1.5 \sqrt{t_D} ) = 0.4055 + 0.5 \, \ln ( t_D ) |
и начиная с какого-то момента времени неминуемо достигается соотношение
| LaTeX Math Inline |
|---|
| body | T_D(t) \gg \frac{\lambda}{r_f \, U} |
|---|
|
, то есть температура в стволе скважины перестает зависеть от радиуса НКТ и значения коэффициента теплопередачи, что тоже соответствует практическим наблюдениям....
Таким образов формула
| LaTeX Math Block Reference |
|---|
|
работает в широких пределах дебетов и имеет правильные асимптоты и вполне пригодна для различного рода оценок.See also
References
...
https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy_friction_factor_formulae
https://neutrium.net/fluid_flow/pressure-loss-in-pipe/
H. J. Ramey, Wellbore Heat Transmission - SPE-96-PA - 1992
R. Shankar, Pipe Flow Calculations, Clarkson University
Studopedia
solverbook.com – Коэффициент теплоотдачи
...
...
