Зависимость кинетических коэффициентов от пластового давления

Модель плоскопараллельного течения Дарси дается следующим уравнением:

{\bf u}= - \frac{k}{\mu}  \nabla p 

k=k(p)

и

\mu = \mu(p)

Зависимость проницаемости от депрессии 

В сильно-сжимаемых коллекторах при больших депрессиях (или репрессиях) наблюдается падение проницаемости 

k=k(|\nabla p|)

Как правило используется экспоненциальный закон

k=k_0 \, e^{-\beta_G |\nabla p|}

Так как максимальная депрессия формируется в ближайшей зоне пласта вокруг скважины, то именно там и проявляются нелинейные эффекты в первую очередь.

При практическом анализе это выглядит как скин-фактор, зависящий от депрессии (или от дебита) и часто моделируется в первом приближении как пересечение линейной модели с постоянной проницаемостью и динамическим скин-фактором. 

Threshold pressure gradient (TPG)

Зависимость проницаемости от скорости потока 

При больших линейных скоростях течения сильно-сжимаемого флюида через пористую среду наблюдается отклонение от линейного закона течения Дарси, вызванное дополнительным сопротивлением от турбулентности и которое выражается  в виде зависимости проницаемости коллектора от скорости флюида.

k=k(|\bf u|)

Обычно это явление проявляется только в небольшой окрестности скважины.

Есть разные модели этого явления и наиболее популярной на практике является модель Форхгеймера.

Forchheimer model

Обобщенное уравнение нелинейного течения

Все вышеприведенные нелинейные модели сводятся  к универсальному закону обобщенной фильтрации: 

{\bf u} =  - \alpha(P, |\nabla p|) \nabla p

с нелинейной зависимостью подвижности от значения давления и его пространственного градиента:

\alpha =  \alpha(p, |\nabla p|) 

и может быть представлена как

\alpha = \frac{k_0}{\mu_0} \xi(p, |\nabla p|) 

где